求二次函数解析式的基本方法及练习题.doc

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求二次函数解析式的基本方法及练习题

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：

y=ax+bx+c（a≠0）。

2、顶点式：

y=a（x－h）+k（a≠0），其中点（h,k）为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：

y=a（x－x）（x－x）（a≠0），其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。

探究问题，典例指津：

例1、已知二次函数的图象经过点和．求这个二次函数的解析式．

分析：

由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c（a≠0）。

解：

设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c（a≠0）

依题意得：

解这个方程组得：

∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4。

例2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。

分析：

此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的，重新设顶点式y=a（x－h）+k（a≠0），其中点（h,k）为顶点。

解：

依题意，设这个二次函数的解析式为y=a（x－4）－1（a≠0）

又抛物线与轴交于点。

∴a（0－4）－1=3∴a=

∴这个二次函数的解析式为y=（x－4）－1，即y=x－2x+3。

例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。

求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

分析：

A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a（x－x）（x－x）（a≠0），其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。

解：

依题意，设这个二次函数的解析式为y=a（x+8）（x－2）

又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：

OC=AC·BC=8×2∴OC=4

即C（0,4）。

∴a（0+8）（0－2）=4∴a=

∴这个二次函数的解析式为y=（x+8）（x－2），即y=x－x+4。

变式练习，创新发现

1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1个单位长度）．

（l）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；

（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数

的解析式．

2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。

求这条抛物线的解析式。

）

4.根据下列条件求二次函数解析式．

（1）若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶（-3）．

（2）若函数有最大值2，且过点A（-1，0）、B（3，0）．（3）若函数当x＞-2时y随x增大而增大（x＜-2时，y随x增大而减小），且图象过点（2，4）在y轴上截距为-2．

参考答案：

1、

（1）A（2,3）;B（4,1）;C（8,9）。

（2）y=x－4x+9。

2、y=（x－2）+1，即y=x－4x+5。

3、y=－（x+2）（x－1），即y=－x－x+2。

4.分析：

（1）由a∶b∶c=1∶2∶（-3）可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k

（2）由抛物线的对称性可得顶点是（1，2）（3）由函数性质知对称轴是x=-2

　　解：

（1）设y=ax2＋bx+c∵a∶b∶c=1∶2∶（-3）

　　∴设a=k，b=2k，c=-3k∵有最小值-8

　　∴解析式y=2x2+4x-6

（2）∵图象过点A（-1，0）、B（3，0），A、B两点均在x轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为（1，2），∴设解析式为y=a（x-1）2＋2．

　　（3）∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y随x增大而减小

　　∴对称轴为x=-2设y=a（x+2）2+n

　　∵过点（2，4）在y轴上截距为-2，即过点（0，-2）

　　说明：

题（3）也可设成y=ax2＋bx＋c，得：

　　题

（2）充分利用对称性可简化计算．