例谈等面积法在初数学解题中的应用.doc

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例谈等面积法在初中数学解题中的应用

贵州省榕江县三江中学潘光联

等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。

它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。

在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。

下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：

一．求三角形的高

例1.如图1所示，在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB边上的高CD的长.

解：

在△ABC中，

∴△ABC是直角三角形.

利用三角形面积计算公式得,

即

二．求图形的面积

例2.如图2所示，⊙O的半径为3，OA=6,AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积是多少？

分析：

连接OB、OC，将图中不规则的阴影部分的面积转化为扇形0BC的面积是解决此问题的切入点和关键.

解:

连接OB、OC，

由BC∥OA知，△OCB与△ACB的边CB上的高相等.

故由等积性质可知,

易知，∠BOC=.

所以.

三.求三角形内切圆半径

例3.如图3所示,已知⊙O是△ABC的内切圆，∠C=，AC=4，BC=3.求

⊙O的半径.

解:

设⊙O的半径为r，连接0A、0B、OC、OE、OF、OG..

∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴OG⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且

OE=OF=OG=r.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

于是由，得

即

∴

四．求函数的解析式

例4．如图4所示，线段AB=8，直线m与⊙o相切于点 D,且m∥AB，P是直线m上的一点,PB交以AB为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y与x的函数关系式.

分析：

因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BP，又因为把直线m与⊙o相切于点 D,且m∥AB，所以DO⊥AB,BP和AC看成三角形的底和高，于是很自然地连接AP、OD，利用同一个三角形的面积相等的性质，就可以得到x与y的关系.

解:

连结AP，

∵AB是⊙O的直径，

∴AC⊥BP.

又∵直线m与⊙o相切于点 D,且m∥AB，

∴DO⊥AB

即△ABP的AB边上的高是4,

∴即xy=8×4.

（x＞4）.

五.在探究规律题中的应用

例5.如图-5所示，将一个边长为1的正方形平均分成两个面积是矩形，又将一个面积为矩形平均分成两个面积是的矩形，再将一个面积为的矩形平局分成两个面积是的矩形，如此进行分割下去，如果分割n次后，按图中揭示的规律计算：

分析：

分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积根,得

于是利用这个规律就可以把问题解决.

解：

=

总之，等面积法是一种重要的数学解题思想方法。

利用此法解决相关数学问题时，不但思路清晰、过程简捷，而且更能体现出知识间的相互联系，更有利于培养学生的数学思维能力，发展学生的数学能力。

在数学解题教学中值得借鉴。

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