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教师辅导讲义
课题
一元二次方程的解法
教学目标
1.理解一元二次方程及其有关概念
2.会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解
重点、难点
1.一元二次方程的判定,求根公式
2.一元二次方程的解法与应用
考点及考试要求
1.一元二次方程的定义,一般形式,配方式
2.熟练一元二次方程的解法能灵活运用:
直接开平法,配方法.,因式分解,公式法去
3.一元二次方程在实际问题中的综合应用
教学内容
考点一、概念
(1)定义:
①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式:
注:
当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式
(3)四个特点:
(1)只含有一个未知数;
(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为的形式,则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式:
时,应满足(a≠0)
(4)难点:
如何理解“未知数的最高次数是2”:
①该项系数不为“0”;
②未知数指数为“2”;
③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()
AB C D
变式:
当k时,关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为。
考点二、方程的解
⑴概念:
使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
⑵应用:
利用根的概念求代数式的值;
典型例题:
例1、已知的值为2,则的值为。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为。
说明:
任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为。
说明:
本题的关键点在于对“代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为。
例5、已知,,,求
变式:
若,,则的值为。
6、方程的一个根为()
AB1CD
7、若。
考点三、方程解法
(1)基本思想方法:
解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
(2)方法:
①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法
类型一、直接开方法:
就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如
※对于,等形式均适用直接开方法
典型例题:
例1、解方程:
(2)
(4)(5)
例2、解关于x的方程:
3.下列方程无解的是()
A.B.C.D.
类型二、配方法
基本步骤:
1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为1
3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式:
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题:
例1、试用配方法说明的值恒大于0,的值恒小于0。
例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值。
变式:
若,则t的最大值为,最小值为。
例3、已知为实数,求的值。
变式1:
已知,则.
变式2:
如果,那么的值为。
例4、分解因式:
类型三、因式分解法:
把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
※方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,
※方程形式:
如,,
※分解方法:
提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法
针对练习:
例1、的根为()
ABCD
例2.
(1)(平方差)
(2)(提公因式)
(3)(平方差)(4)(完全平方式)
(5)(完全平方式)(6)(十字相乘法)
(7)(十字相乘法)(8)(提公因式)
例3、若,则4x+y的值为。
例4、方程的解为()
A.B.C.D.
例5、解方程:
例6、已知,则的值为。
变式:
已知,且,则的值为。
例7、解下列方程
(1)(2x–3)2=(3x–2)2
(2)-=x+2
(4)5m2–17m+14=0(5)(x2+x+1)(x2+x+12)=42(6)2x2+(3a-b)x–2a2+3ab-b2=0
例8、解关于x的方程x2+x–2+k(x2+2x)=0(对k要讨论)
类型四、公式法:
把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式的值,当判别式大于等于零时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。
⑴条件:
⑵公式:
典型例题:
例1、选择适当方法解下列方程:
⑴⑵⑶
⑷⑸
说明:
解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法;一般不选择配方法。
例2、在实数范围内分解因式:
(1);
(2).⑶
说明:
①对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这
种方法首先令=0,求出两根,再写成=.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、“降次思想”的应用
主要内容:
⑴求代数式的值;⑵解二元二次方程组。
典型例题:
例1、已知,求代数式的值。
例2、如果,那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。
说明:
在运用降次思想求代数式的值的时候,要注意两方面的问题:
①能对已知式进行灵活的变形;②能利用已知条件或变形条件,逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂,最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组
说明:
解二元二次方程组的具体思维方法有两种:
①先消元,再降次;②先降次,再消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.
考点四、根与系数的关系
⑴前提:
对于而言,当满足①、②时,才能用韦达定理。
⑵主要内容:
⑶应用:
整体代入求值。
典型例题:
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三
角形的斜边是()
A.B.3C.6D.
说明:
要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系,必须熟练掌握、、、之间的运算关系.
例2、解方程组:
说明:
一些含有、、的二元二次方程组,除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系,将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时,后者显得更为简便.
例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。
例4、当取何值时,方程的根与均为有理数?
例5、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗?
其正确解应该是多少?
例6、已知,,,求
变式:
若,,则的值为。
例7、已知是方程的两个根,那么.
测试题目:
一、选择题
1.解方程:
3x2+27=0得( ).
(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个
2.方程(2-3x)+(3x-2)2=0的解是( ).
(A),x2=-1 (B) ,
(C)x1=x2= (D),x2=1
3.方程(x-1)2=4的根是( ).
(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2
4.用配方法解方程:
正确的是( ).
(A) (B)
(C),原方程无实数解 (D)原方程无实数解
5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是( ).
(A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2
(C)a=-1,b=-,c=-2 (D)a=-1,b=,c=2
6.用公式法解方程:
3x2-5x+1=0,正确的结果是( ).
(A) (B) (C) (D)都不对
二、填空
7.方程9x2=25的根是___________...
8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.
9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.
10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.
三、用适当的方法解下列关于x和y的方程
12.(x+2)(x-2)=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2
14.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.
16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.
18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.
20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0).21.(b-c)x2-(c-a)x+(a-b)=0(a≠c)
22.用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.
(A)因式分解法 (B)配方法(C)公式法
23.解方程:
(1)
(2)
24.解关于x的方程:
x2-2x+1-k(x2-1)=0
25.已知|2m-3|=1,试解关于x的方程3mx(x+1)-5(x+1)(x-1)=x2
26、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:
(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
27、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。
(3)两个正方形的面积之和最小为多少?
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