圆与抛物线共存的综合题.doc
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圆与抛物线共存的综合题
1．28．（2010青海，28,11分）如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l.
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长．
图10
【分析】
（1）设顶点式，把A、C代入求出
（2）见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形（3）由相似得到对应线段成比例，从而求出BF的长．
【答案】
解：
（1）设抛物线的解析式为
∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9）
∴
解得：
∴
（2）连接AE
∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3
∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点
∴AB=BD=3
∴AD=6
在Rt△ADE中，
∴
（3）当BF⊥ED时
∵∠AED=∠BFD=90°
∠ADE=∠BDF
∴△AED∽△BFD
∴
即
∴
当FB⊥AD时
∵∠AED=∠FBD=90°
∠ADE=∠FDB
∴△AED∽△FBD
∴
即
∴BF的长为或.
【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理
2．（12分）一条抛物线经过点与．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1、圆心在抛物线上运动的动圆，当与坐标轴相切时，求圆心的坐标；
O
图15
（3）能与两坐标轴都相切吗？
如果不能，试通过上下平移抛物线使与两坐标轴都相切（要说明平移方法）．
2．本小题满分12分
（1）∵抛物线过两点，
∴ 1分
解得 2分
∴抛物线的解析式是，顶点坐标为． 3分
（2）设点的坐标为，
当与轴相切时，有，∴． 5分
由，得；
由，得．
此时，点的坐标为． 6分
当与轴相切时，有，∴． 7分
由，得，解得；
由，得，解得．
此时，点的坐标为，． 9分
综上所述，圆心的坐标为：
，，．
注：
不写最后一步不扣分．
（3）由
（2）知，不能． 10分
设抛物线上下平移后的解析式为,
若能与两坐标轴都相切，则,
即x0=y0=1；或x0=y0=-1；或x0=1，y0=-1；或x0=-1，y0=1． 11分
取x0=y0=1，代入，得h=1．
∴只需将向上平移1个单位，就可使与两坐标轴都相切．
12
3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（第23题）
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：
当点运动到什么位置时，的面积最大？
并求出此时点的坐标和的最大面积.
3．
（1）解：
设抛物线为.
∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.
∴抛物线为. ……………………………3分
（2）答：
与⊙相交.…………………………………………………………………4分
证明：
当时，，.
∴为（2，0），为（6，0）.∴.
设⊙与相切于点，连接，则.
∵，∴.
又∵，∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分
∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………7分
（3）解：
如图，过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.…………………………………………8分
设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.
∴.
∵,
∴当时，的面积最大为.
此时，点的坐标为（3，）.…………………………………………10分
4.（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（第24题图）
x
y
O
A
C
B
D
E
F
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
4.（本小题满分12分）
解：
（1）∵抛物线经过点，，．
∴，解得.
∴抛物线的解析式为：
.…………………………3分
（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．…………………………4分
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．…………………………6分
∴劣弧EF的长为：
．…………………………7分
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b.∵直线AC经过点.
∴，解得.∴直线AC的解析式为：
.………8分
设点，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.∵.
x
y
O
A
C
B
D
E
F
P
G
N
M
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：
m1=－3，m2=2（舍去）.
当m=－3时，=.
∴此时点P的坐标为.…………………………10分
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1，PG=3GN.
即=.
解得：
，（舍去）.当时，=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．…………………12分
5．（12分）如图，已知点A（－3，0）和B（1，0），直线y＝kx－4经过点A并且与y轴交于点C．
A
C
B
P
O
x
y
5
－3
－6
（1）求点C的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）半径为1个单位长度的动圆⊙P的圆心P始终
在抛物线的对称轴上．当点P的纵坐标为5时，将
⊙P以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上
移动．那么，经过几秒，⊙P与直线AC开始有公共点？
经过几秒后，⊙P与直线AC不再有公共点？
6．（本题满分14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=a，∠CBE=b，求sin（a－b）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？
若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
6．
（1）由题意可知C（0，－3），，
∴抛物线的解析式为y=ax2－2ax－3（a＞0），
过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，，
∴CN=2，于是m=－1．
同理可求得B（3，0），
∴a×32－2－2a×3－3=0，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3．
（2）由
（1）得A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．
∴在Rt△BCE中，，，
∴，，∴，即，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=b，
因此sin（a－b）=sin（∠DBC－∠OBD）=sin∠OBC=．
（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．
过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得．
过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．
故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．
图7
O
D
x
C
A.
y
B
7．（本题满分12分，每小题满分各4分）
如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，
5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点．
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点，
求这个二次函数解析式；
（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与
x轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F，
当⊿CPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．
7．解：
（1）∵点A的坐标为，线段，∴点D的坐标．－－－－（1分）
连结AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．－－－－－（1分）
∴点C的坐标为；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（1分）
同理可得点B坐标为．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（1分）
（2）设所求二次函数的解析式为，
由于该二次函数的图像经过B、C、D三点，则
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）
解得∴所求的二次函数的解析式为；－－－－－－－（1分）
（3）设点P坐标为，由题意得，－－－－－－－－－－－－－－－－（1分）
且点F的坐标为，，，
∵∠CPF=90°，∴当△CPF中一个内角的正切值为时，
①若时，即，解得，（舍）；－－－－－－－（1分）
②当时，解得（舍），（舍），－－－－－－－（1分）
所以所求点P的坐标为（12，0）．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（1分）
8．抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。
若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM的形状，并说明理由。
（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。
8．解：
（1）令
得
由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知
△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形
（2）设
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜边上的中线等于斜边的一半
又顶点M（－2，－1）
∴，即AB＝2
∴A（－3，0），B（－1，0）
将B（－1，0）代入中得
∴抛物线的解析式为，即
图略
（3）设平行于轴的直线为
解方程组
得，（
∴线段CD的长为
∵以CD为直径的圆与轴相切
据题意得
∴
解得
∴圆心坐标为和
10．（12分）在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x
轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上？
（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与
△AOC相似？
直接写出两组这样的点．
10．本小题满分12分
解:
（1）方法一：
连结，则．
∵，∴OC=．………1分
又Rt△AOC∽Rt△COB，∴．
∴OB=6．………………………………………………………2分
∴点坐标为，点坐标为．
设直线的解析式为y=kx+b，………………………………………………3分
可求得直线的解析式为．……………………………………4分
方法二：
连结，则．
∵，∴∠ACO=30o，∠CAO=60o．……………………………1分
∴∠CBA=30o．∴AB=2AC=8．
∴OB=AB-AO=6．……………………………2分
以下同证法一．
（2）由题意得，与轴的交点分别为、，抛物线的对称轴过点为直线．………………………………5分
∵抛物线的顶点在直线上，
∴抛物线顶点坐标为．……………………………………6分
设抛物线解析式为，……………………………………7分
C1
∵抛物线过点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为，
即．…………………………………………………8分
（3）点在抛物线上．因为抛物线与轴的交点坐标为，如图．…………………10分
（4）存在，这三点分别是E、C、F与E、C1、F，C1的坐标为（4，）．
即△ECF∽△AOC、△EC1F∽△AOC，如图．…………………………………………12分
说明：
每找对一个三角形，给1分．
11．（本题满分10分）
两个直角边为6的全等的等腰直角三角形和按图1所示的位置放置与重合，与重合．
（1）求图1中，三点的坐标．
（2）固定不动，沿轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当点运动到与点重合时停止，设运动秒后和重叠部分面积为，求与之间的函数关系式．
（3）当以
（2）中的速度和方向运动，运动时间秒时运动到如图2所示的位置，求经过三点的抛物线的解析式．
图1
图2
（4）现有一半径为2，圆心在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问在运动过程中是否存在与轴或轴相切的情况，若存在请求出的坐标，若不存在请说明理由．
图11图
如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
C
A
M
B
x
y
O
D
E
11.解：
（1）由已知，得 A（2，0），B（6，0），
∵ 抛物线过点A和B，则
解得
则抛物线的解析式为 ．
故 C（0，2）． …………………………（2分）
（说明：
抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确） …………………………（3分）
（2）如图①，抛物线对称轴l是 x＝4．
∵ Q（8，m）抛物线上，∴ m＝2．
过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK＝2，AK＝6，
∴ AQ＝． …………………………（5分）
又∵ B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴ PQ＋PB的最小值＝AQ＝．
C
A
M
B
x
y
O
D
E
Q
P
K
图①
l
C
A
M
B
x
y
O
D
E
图②
（3）如图②，连结EM和CM．
由已知，得 EM＝OC＝2．
CE是⊙M的切线，∴ ∠DEM＝90º，则 ∠DEM＝∠DOC．
又∵ ∠ODC＝∠EDM．
故 △DEM≌△DOC．
∴ OD＝DE，CD＝MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC．
则 OE∥CM． …………………………（7分）
设CM所在直线的解析式为y＝kx＋b，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴ 解得
直线CM的解析式为．
又∵ 直线OE过原点O，且OE∥CM，
则 OE的解析式为 y＝x． …………………………（8分）
28．（本题满分10分）
两个直角边为6的全等的等腰直角三角形和按图1所示的位置放置与重合，与重合．
（1）求图1中，三点的坐标．
（2）固定不动，沿轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当点运动到与点重合时停止，设运动秒后和重叠部分面积为，求与之间的函数关系式．
（3）当以
（2）中的速度和方向运动，运动时间秒时运动到如图2所示的位置，求经过三点的抛物线的解析式．
图1
图2
（4）现有一半径为2，圆心在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问在运动过程中是否存在与轴或轴相切的情况，若存在请求出的坐标，若不存在请说明理由．
y
x
B
E
H
O
D
J
G
C
A
I
图Ａ
28．解：
（1），， 2分
（2）当时，位置如图Ａ所示，
作，垂足为，可知：
，，
，，
D
H
B
E
x
O
G
C
y
A
图Ｂ
3分
当时，位置如图Ｂ所示．
可知：
4分
（求梯形的面积及的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）
与的函数关系式为：
5分
（3）图2中，作，垂足为，当时，，
，
可知：
，， 6分
经过三点的抛物线的解析式为：
7分
（4）当在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况，设点坐标为
当与轴相切时，有，，由得：
，
由，得，
当与轴相切时，有
，得：
，
综上所述，符合条件的圆心有三个，其坐标分别是：
，， 10分（每求出一个点坐标得1分）
24．（本题满分12分）
·
·
1
抛物线交轴于、两点，
交轴于点,已知抛物线的对称轴为，
，
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、
两点距离之差最大？
若存在，求出点坐标；若不存在，请说
明理由；
（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，
若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．
24．解：
（1）将代入，
得．
将，代入，
得．……….
（1）
∵是对称轴，
∴．
（2）…2分
将
（2）代入
（1）得
，．
所以，二次函数得解析式是．
…………………………………………………………………………4分
（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴直线的解析式是，
又对称轴为，
∴点的坐标．………………………………………………………7分
（3）设、，所求圆的半径为r，
则，…………….
（1）
∵对称轴为，
∴．…………….
（2）
由
（1）、
（2）得：
．……….（3）
将代入解析式，
得，………….（4）
整理得：
．………………………………………………………………10分
由于r=±y，
当时，，
解得，，（舍去），
当时，，
解得，，（舍去）．
所以圆的半径是或．……………………………………………12分
说明：
解答题各小题只给出了一种解法，其他解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数．
28．（13分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于B、C两点．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）直线与直线交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP=t）.过点P作PQ∥轴交直线BC于点Q．
①若点P在线段OA上运动时（如图1），过P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S，写出S和t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
O
C
B
A
P
Q
图
（1）
M
N
②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时,过P、Q、O三点的圆与轴相切.
O
C
B
A
备用图
28.
（1）B（12，0）C（0，6）4分
（2）①点P在y=x上，OP=t，点P坐标（t/2,t/2）点Q坐标/2）
/2/26分
8分
当时，S的最大值为129分
②、若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，过P、Q、O三点的圆与轴相切，则圆心在轴上，且轴垂直平分PQ11分
∴∠POC＝45°∴∠QOC＝45°∴/213分
28．（12分）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的
顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．
（1）求、的值；
（2）求直线PC的解析式；
（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系，并说明理由．（参考数：
，，）
28．本小题满分12分
解：
（1）由已知条件可知：
抛物线经过A（-3，0）、B（1，0）两点．
∴……………………………………2分
解得．………………………3分
（2）∵，∴P（-1，-2），C．…………………4分
设直线PC的解析式是，则解得．
∴直线PC的解析式是．…………………………6分
说明：
只要求对，不写最后一步，不扣分．
（3）如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．
设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为（3，0）．………………………7分
在Rt△OCD中，∵OC=，，
∴．…………8分
∵OA=3，，∴AD=6．…………9分
∵∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，
∴△COD∽△AED．……………10分
∴，即．∴．…………………11分
∵，
∴以点A为
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