中考数学二次函数最后一道大题练习卷.doc

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1、如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；

（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？

若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

2、如图9

（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；

（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；

（3）如图9

（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

3、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系，如图②所示（注：

利润与投资成本的单位：

万元）

图①                    图②

（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？

他能获取的最大利润是多少？

4、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以个单位每秒速度运动，运动时间为．求：

（1）的坐标为               ；

（2）当为何值时，与相似？

（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．

5、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为，顶点C,D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E（4,0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求正方形ABCD的边长．

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度．

（3）求

（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．

（4）若点P,Q保持

（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使∠OPQ=90°的点有　　　　　个．

6、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．

（1）求边的长；

（2）当为何值时，与相互平分；

（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？

最大值是多少？

7、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.

（1）填空：

试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；

（2）如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；

（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

8、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A（x0，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D．

（1）确定A.C.D三点的坐标；

（2）求过B.C.D三点的抛物线的解析式；

（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与

（2）小题中所求抛物线交于M.N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．

（4）当＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．

9、如图，直线AB过点A（m,0），B（0,n）（m>0,n>0）反比例函数的图象与AB交于C，D两点，P为双曲线一点，过P作轴于Q，轴于R，请分别按

（1）

（2）（3）各自的要求解答闷题。

（1）若m+n=10，当n为何值时的面积最大?

最大是多少?

（2）若，求n的值：

（3）在

（2）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少?

10、已知A1、A2、A3是抛物线上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C。

（1）如图1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。

（2）如图2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长。

（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。

11、如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．

（1）求直线所对应的函数关系式；

（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：

①点到轴的距离与线段的长是否总相等？

请说明理由；

②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．

12、OM是一堵高为2.5米的围墙的截面，小鹏从围墙外的A点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿CD的B点处，经过的路线是二次函数图像的一部分，如果沙包不被竹竿挡住，将通过围墙内的E点，现以O为原点，单位长度为1，建立如图所示的平面直角坐标系，E点的坐标（3，），点B和点E关于此二次函数的对称轴对称，若tan∠OCM=1（围墙厚度忽略不计）。

（1）求CD所在直线的函数表达式；

（2）求B点的坐标；

（3）如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多远的地方?

13、已知：

在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。

若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足

（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

14、如图，抛物线交轴于A．B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C．D两点.

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A．B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.

15、已知四边形是矩形，，直线分别与交与两点，为对角线上一动点（不与重合）．

（1）当点分别为的中点时，（如图1）问点在上运动时，点、、能否构成直角三角形？

若能，共有几个，并在图1中画出所有满足条件的三角形．

（2）若，，为的中点，当直线移动时，始终保持，（如图2）求的面积与的长之间的函数关系式．

答案解析

1、解：

（1）由题意可设抛物线的解析式为．

抛物线过原点，

．

．

抛物线的解析式为，

即．

（2）如图1，当四边形是平行四边形时，

．

由，

得，，

，．

点的横坐标为．

将代入，

得，

；

根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为，

当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．・・・・・

（3）如图2，由抛物线的对称性可知：

，．

若与相似，

必须有．

设交抛物线的对称轴于点，

显然，

直线的解析式为．

由，得，．

．

过作轴，

在中，，，

．

．．

与不相似，

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．

所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．

2、解：

（1）∵抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，

∴   解得：

抛物线的解析式为：

∵由，解得：

∴          

∵由

∴D（1,4）           

（2）∵四边形AEBF是平行四边形，

∴BF=AE．

设直线BD的解析式为：

，则

∵B（0，3），D（1,4）

∴        解得：

∴直线BD的解析式为：

当y=0时，x=-3  ∴E（-3，0），∴OE=3，

∵A（-1，0）

∴OA=1，  ∴AE=2    ∴BF=2，

∴F的横坐标为2， ∴y=3，  ∴F（2，3）；

（3）如图，设Q，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），

∴AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3 

∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA

=

=

∴S△PQA=

∴当时，S△PQA的最大面积为，

此时Q   

3、

（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），

所以2=k•1，k=2，

故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，

∵该抛物线的顶点是原点，

∴设y2=ax2，

由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），

∴2=a•22，，

故利润y2关于投资量x的函数关系式是：

y2=x2；

（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8－x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8－x）+x2=x2－2x+16=（x－2）2+14，

当x=2时，z的最小值是14，

∵0≤x≤8，∴当x=8时，z的最大值是32．

4、

（1）Ｃ（４，１）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．       ２分

（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）（1分）

当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，（1分）   Ｓ＝   （1分）

当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，          Ｓ＝    （1分）

当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，          Ｓ＝    （1分）

5、解：

（1）作BF⊥y轴于F。

因为A（0，10），B（8，4）

所以FB=8，FA=6

所以

（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10秒。

又因为AB=10，10÷10=1

所以P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位。

（3）方法一：

作PG⊥y轴于G

则PG//BF

所以，即

所以

所以

因为OQ=4+t

所以

即

因为

且

当时，S有最大值。

方法二：

当t=5时，OG=7，OQ=9

设所求函数关系式为

因为抛物线过点（10，28），（5，）

所以

所以

所以

因为

且

当时，S有最大值。

此时

所以点P的坐标为（）。

（4）当点P沿AB边运动时，∠OPQ由锐角→直角→钝角；当点P沿BC边运动时，∠OPQ由钝角→直角→锐角（证明略），故符合条件的点P有2个。

6、解：

（1）作于点，

如图所示，则四边形为矩形．

又

在中，由勾股定理得：

（2）假设与相互平分．

由

则是平行四边形（此时在上）．

即

解得即秒时，与相互平分．

（3）①当在上，即时，

作于，则

即

=

当秒时，有最大值为

②当在上，即时，

=

易知随的增大而减小．

故当秒时，有最大值为

综上，当时，有最大值为

7、

（1）.

（2）由题意得点与点′关于轴对称，，

将′的坐标代入得，

（不合题意，舍去），.

，点到轴的距离为3.

，，直线的解析式为，

它与轴的交点为点到轴的距离为.

.

（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，

把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，

得：

（不舍题意，舍去），，

.

当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，

．

与关于原点对称，，

将点坐标代入抛物线解析式得：

，

（不合题意，舍去），，．

存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．

8、解：

（1）∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是（2，0）

∴点A的坐标是（－4，0）               

由tan∠BAC＝2可得OC＝8

∴C（0，8）                            

∵点A关于y轴的对称点为D

∴点D的坐标是（4，0）                  

（2）设过三点的抛物线解析式为y＝a（x－2）（x－4）

代入点C（0，8），解得a＝1             

∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8      

（3）∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点（0，3）平行于x轴的直线相交于M点和N点

∴M（1，3），N（5，3），＝4              

而抛物线的顶点为（3，－1）

当y＞3时

S＝4（y－3）＝4y－12

当－1≤y＜3时

S＝4（3－y）＝－4y＋12                     

（4）以MN为一边，P（x，y）为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大

∴当x＝3，y＝－1时，h＝4

S＝•h＝4×4＝16

∴满足条件的平行四边形面积有最大值16 

9、解：

（1）

所以n=5时，面积最大值是            

（2）当时，有AC=CD=DB   

过C分别作x轴，y轴的垂线可得c坐标为（）             

代入得         

（3）当时，得

设解析式为得，             

所以对称轴             

因为P（x，y）在上

所以四边形PROQ的面积   

10、解：

（1）∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，

∴A1B1=，A2B2＝，A3B3＝

设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b。

∴ 解得

∴直线A1A2的解析式为。

∴CB2＝2×2－＝

∴CA2=CB2－A2B2=－2＝。

（2）设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。

               则A1B1=，A2B2=n2－n＋1，

                 A3B3=（n＋1）2－（n＋1）＋1。

设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b

∴

解得

∴直线A1A3的解析式为

∴CB2＝n（n－1）－n2＋＝n2－n＋

∴CA2=CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。

          （3）当a＞0时，CA2＝a；当a＜0时，CA2＝－a

11、解：

（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知两点的坐标分别为．设直线所对应的函数关系式为．

有解得

所以，直线所对应的函数关系式为．

（2）①点到轴距离与线段的长总相等．

因为点的坐标为，

所以，直线所对应的函数关系式为．

又因为点在直线上，

所以可设点的坐标为．

过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．

因为点在直线上，所以有．

因为纸板为平行移动，故有，即．

又，所以．

法一：

故，

从而有．

得，．

所以．

又有．

所以，得，而，

从而总有．

法二：

故，可得．

故．

所以．

故点坐标为．

设直线所对应的函数关系式为，

则有解得

所以，直线所对的函数关系式为．

将点的坐标代入，可得．解得．

而，从而总有．

②由①知，点的坐标为，点的坐标为．

．

当时，有最大值，最大值为．

取最大值时点的坐标为．

12、解：

（1）∵OM=2.5，tan∠OCM=1，

       ∴∠OCM=，OC=OM=2.5。

       ∴C（2.5，0），M（0，2.5）。

   设CD的解析式为y=kx+2.5（k≠o），

      2.5k+2.5=0，

      k=一1。

   ∴y=―x+2.5。

（2）∵B、E关于对称轴对称，∴B（x，）。

   又∵B在y=一x+2.5上，∴x=一l。

   ∴B（―1，）。

 （3）抛物线y=经过B（一1，），E（3，），

∴

   ∴y=，

   令y=o，则=0，解得或。

 所以沙包距围墙的距离为6米。

13、

（1）解法一：

∵一次函数的图象与x轴交于点A

   ∴点A的坐标为（4，0）

   ∵抛物线经过O、A两点

 解法二：

∵一次函数的图象与x轴交于点A

   ∴点A的坐标为（4，0）

   ∵抛物线经过O、A两点

   ∴抛物线的对称轴为直线

（2）解：

由抛物线的对称性可知，DO＝DA

   ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO

   又由

（1）知抛物线的解析式为

   ∴点D的坐标为（）

   ①当时，

   如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'

   ∴点D'与点D也关于x轴对称

   ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切

   ∴点O为切点       ∴D'O⊥OD

   ∴∠DOA＝∠D'OA＝45°

∴△ADO为等腰直角三角形     

∴点D的纵坐标为-2

   ∴抛物线的解析式为

   ②当时，

   同理可得：

   抛物线的解析式为

   综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或

（3）解答：

抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得

   设点P的坐标为（x，y），且y＞0

①    当点P在抛物线上时（如图2）

   ∵点B是⊙D的优弧上的一点

   过点P作PE⊥x轴于点E

   由解得：

（舍去）

   ∴点P的坐标为

   ②当点P在抛物线上时（如图3）

   同理可得，

   由解得：

（舍去）

   ∴点P的坐标为

   综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：

   或

二、计算题

14、解：

（1）令

抛物线向右平移2个单位得抛物线,

.

抛物线为

即。

（2）存在。

令

抛物线是向右平移2个单位得到的，

在上，且

又.

四边形为平行四边形。

同理，上的点满足

四边形为平行四边形

,即为所求。

（3）设点P关于原点得对称点

且

将点Q得横坐标代入，

得

点Q不在抛物线上。

15、解：

（1）能，共有4个．

　　点位置如图所示：

（2）在矩形中

　　　　，，．

　　　　∵S△ABC=BC・AB，

　　　　．

　　　，．

　　　在中

　　　，

　　　∴△BEF∽△BAC．

　　　．

　　　．

　　　．

　　　，，

　　　∴S△AEP=S△CPF=CP・FC・sin∠ACB．

　　　，

　　　．