新人教版八年级下册数学知识点及典型例题总结.doc
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第十六章二次根式
1.二次根式：
式子（≥0）叫做二次根式。
定义包含三个内容:
Ⅰ必需含有二次根号“”；Ⅱ被开方数a≥0；Ⅲa可以是数，也可以是含有字母的式子。
例1.下列式子中,是二次根式的有_______（填序号）
（1）
（2）6（3）（4）（m＞0）（5）（6）（7）
2.二次根式有意义的条件：
大于或等于0。
例2.当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
※二次根式中字母的取值范围的基本依据：
（1）开方数不小于零；
（2）分母中有字母时，要保证分母不为零。
例3.已知、为实数，且，求的值．
3.二次根式的双重非负性：
：
，
附：
具有非负性的式子：
；；
例4.若为实数，且，则的值为（）
A．1B．-1C．2D．-2
4.二次根式的性质：
（1）
（2）
例5.利用算术平方根的意义填空
（1）从运算顺序来看；
（2）从取值范围来看；（3）从运算结果来看
例6.1、填空：
（1）-=_______.
（2）=
2、已知2＜x＜3，化简：
5.二次根式的乘除法：
二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）；=（a≥0，b>0）
例7.计算：
（1）×
（2）2×3（3）· （4）··
例8.计算：
① ②③ ④
例9.计算：
（1）
（2）（3）（4）
6.最简二次根式：
必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
例10.下列各式中，是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
例11.计算：
（1）
（2）
7.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
例12.下列根式中，与是同类二次根式的是（）A.B.C.D.
8.二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
例13.计算：
（1）
（2）（3）
9.有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
例14.计算：
（1）（）×
（2）（3）
（4）（5）（-）（--）（6）
第十七章勾股定理
1.勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c，那么。
应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，）
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。
例2.在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2
例3.已知：
在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，求线段AB的长。
例4.已知：
在△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求S△ABC。
2.勾股定理逆定理：
如果三角形三边长,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。
应用：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）
例5.下列四组线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15C．a=，b=，c=D．a：
b：
c=2：
3：
4
例6.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
3.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
例7.长度分别为3，4，5，12，13的五根木棒能搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（）
A1个B2个C3个D4个
例8.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD=.
例9.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m．求这块地的面积．
4.直角三角形的性质
（2）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：
∠C=90°∠A+∠B=90°
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠C=90°，∠A=30°BC=AB
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90，D为AB的中点CD=AB=BD=AD
例10.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=80°，则∠A=_____∠B=_____
例11.如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，求证：
MN⊥DE
5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）
例12.下列命题的逆命题正确的是（ ）．
A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的对应角相等
C．如果a=b，那么a2=b2 D．等边三角形的三个角都等于600
6.证明：
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
7.证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
例13.已知：
如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：
BD的长．
提示：
通过两个直角三角形中相等的线段，运用勾股定理列方程解答。
第十八章平行四边形
一．平行四边形
1、定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．平行四边形的性质
角：
平行四边形的邻角互补，对角相等；
边：
平行四边形两组对边分别平行且相等；
对角线：
平行四边形的对角线互相平分； 例3图例4图
面积：
①S=底高=ah；
例1．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．
例2．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．
例3．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．
例4．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．
例5．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．
例6．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为（）．
例7．如图，在□ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，BN=DM，请判断AM与CN有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？
例8．□ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB=______cm，BC=_______cm.
例9．□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，AB=6，BD=m，那么m的取值范围是____________.
3．平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组平行且相等的四边形是平行四边形；
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；
例10．已知：
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，
求证：
BE=CF
例11．已知：
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，
求证：
BM∥DN，且BM=DN.
例12．四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：
四边形BFDE是平行四边形。
例13．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：
四边形ENFM是平行四边形．
例14．已知：
如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：
CF∥AE.
二、特殊的平行四边形
（一）矩形
1、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
2、矩形的性质
①边：
对边平行且相等；②角：
四个角都是直角；③对角线：
对角线互相平分且相等；
例15．已知：
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。
（1）求证：
△AOB是等边三角形。
（2）本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？
3、矩形的判定：
Þ四边形ABCD是矩形.
例16．已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．
例17．已知：
如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
（二）菱形
1、定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、菱形的性质：
①边：
四条边都相等；②角：
对角相等、邻角互补；
③对角线：
对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；
A
B
D
C
E
F
例18．如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．
（1）求证：
AE=AF．
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点．求证：
△AEF为等边三角形．
例19．如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：
△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由。
3、菱形的判定方法：
Þ四边形ABCD是菱形.
例20．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？
求证：
（1）四边形ABCD是平行四边形
（2）过A作AE⊥BC于E点,过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.
（3）求证：
四边形ABCD是菱形.
例21．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．
（1）求证：
△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?
请证明你的结论．
例22．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：
四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
例23．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：
当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
（三）正方形
1、定义：
有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形
2、正方形的性质：
①边：
四条边都相等；②角：
四角都是直角； ③对角线：
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分每组对角。
例24．如图正方形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为.
3、正方形的判定方法：
Þ四边形ABCD是正方形.
例25．已知：
如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：
四边形PQMN是正方形．
（四）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图:
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE=BC
例26．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？
证明你的猜想．
（五）几种特殊四边形的面积问题
① 设矩形ABCD的两邻边长分别为,b，则S矩形=ab．
② 设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为,，则=．
例27．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积．
例28．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
例29．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求
（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积．
③ 设正方形ABCD的一边长为，则；若正方形的对角线的长为，则
第十九章一次函数
一.常量、变量：
在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
例1．长方形相邻两边长分别为x、y，面积为30，则用含x的式子表示y为________，则这个问题中，_________常量；________是变量．
例2．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是（）
A．Q=8xB．Q=8x-50C．Q=50-8xD．Q=8x+50
例3．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（）
A．S是变量B．t是变量C．v是变量D．S是常量
例4．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．
（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系．
（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．
（3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）
二、函数的概念：
函数的定义：
一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
函数的判断：
对每一个自变量x是否只有唯一的一个函数值y和它对应。
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用二次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
例5．一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：
L）随行驶里程x（单位：
km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．
（1）写出表示y与x的函数关系的式子．
（2）指出自变量x的取值范围．
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
四、函数图象的定义：
一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤（一般取五个点）
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
）
注意：
列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：
（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：
（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法
（2）图像法（3）解析式法
例6．下面的图象反映的过程是：
小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
根据图象回答下列问题：
（1）菜地离小明家多远？
小明走到菜地用了多少时间？
（2）小明给菜地浇水用了多少时间？
（3）菜地离玉米地多远？
小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（4）小明给玉米地锄草用了多少时间？
（5）玉米地离小明家多远？
小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
例7．已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去，下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）甲乙两地相距多少千米？
两个人分别用了几小时才到达乙地？
谁先到达了乙地？
早到多长时间？
（2）描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态．
（3）求摩托车行驶的平均速度．
例8．在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，请你试着画出这些函数的图象：
（1）y=x+0.5；
（2）y=（x>0）
例9．一天，亮亮感冒发烧了，早晨他烧得厉害，吃过药后感冒好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．图中能基本反映出亮亮这一天（0～24时）体温的变化情况的是（）
例10．某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量为y，生产时间为t，那么y与t的大致图象只能是（）
例11．如图，向高为H的圆柱形空水杯里注水，表示注水量y与水深x的关系的图象是（）
例12．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（）
例13．星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）．
A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，一直散步（没有停），然后回家了
C．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回
例14．俊宇某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示：
①图象表示了哪两个变量的关系？
②10时和13时，他分别离家有多远？
③他可能在什么时间内休息，并吃午餐？
七、正比例函数
1、定义：
一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
特征：
（1）k为常数，且k≠0
（2）自变量的次数是1（3）自变量的取值范围为全体实数。
2、图象:
（1）正比例函数y=kx（k是常数，k≠0））的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx。
必过点：
（0，0）、（1，k）
（2）性质:
当k>0时,直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y=kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
例15．根据下列条件求函数的解析式
①y与x2成正比例，且x=-2时y=12．
②函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．
例16．正比例函数y=kx，
（1）若比例系数为-，则函数关系式为___；
（2）若点经过（5，-1），则函数关系式___．
例17．
（1）已知函数y=（m-2）xm-1，当m_____时，y是x的正比例函数；
（2）若x、y是变量，且函数y=（k+1）x︱k︱是正比例函数，则k=_________．
例18．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．
例19．试写出如图中直线L所表示的变量x，y之间的关系式．
例20．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系是（）
A．y1>y2B．y1八、一次函数
1、定义：
一般地，形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.
当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
特征：
（1）k不为零
（2）x指数为1（3）自变量的取值范围为全体实数（4）b取任意实数
例21．在①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x，⑤y=5x2+6中，y是x的一次函数的是___
例22．已知函数y＝（k－2）x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．
例23．已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）y与x之间是什么函数关系；（3）求x＝2.5时，y的值．
例24．已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7
（1）写出y与x之间的
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