中考压轴题专题与圆有关的最值问题附答案.doc

中考压轴题专题与圆有关的最值问题附答案.doc

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与圆有关的最值（取值范围）问题

引例1：

在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

引例2：

如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=，AC=，求的最大值.

引例3：

如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）.

A．3B．6C．D．

一、题目分析：

此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接

1．引例1：

通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；

2．引例2：

通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；

3．引例3：

本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；

综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.

二、解题策略

1．直观感觉，画出图形；

2．特殊位置，比较结果；

3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.

三、中考展望与题型训练

例一、斜率运用

1.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值．

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.

2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；

（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为.

例三、正弦定理

1．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．

2.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是　．

例四、柯西不等式、配方法

1．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x=时，PD•CD的值最大，且最大值是为.

2．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）.

A.4 B.C. D.2

3．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B，线段AB长度的最小值是.

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是.

2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是.

3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（　　）A． B． C．3 D．2

例五、其他知识的综合运用

1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．

（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）求线段CD长的最小值；

（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为　　．

【题型训练】

1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为.

2．已知：

如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.

（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；

（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是.

3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，的最大值为（）.（A）；（B）；（C）；（D）

4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）.

（A）4（B）（C）（D）

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）.

A． B． C．5 D．

6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．

7．如图，A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心的坐标为（-1，0），半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）.

A．2B．1C.D.

8．如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，-1），半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（）.

A．3B．C．D．4

9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（）.

A.B.C.3D.4

10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为.

11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（）是第一象限内一点，且AB=2，则的范围为.

12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则，则的取值范围是.

13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是.

蔡老师点评：

与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：

分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理（公理）法；3．数形结合法等．

注：

几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

参考答案：

引例1.解：

C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：

OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，

∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，

随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，

∴tan∠BOC≥，故答案为：

m≥．

引例1图引例2图

引例2.；

原题：

（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．

（1）求证：

AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：

x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．

【考点】圆的综合题．

【分析】

（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；

（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=

a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；

（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．

【解答】解：

（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，

∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；

（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，

∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，

故a+b的最大值为，

（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，

∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），

当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，

当m=﹣（b+a）时，由

（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，

∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．

【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

引例3.解：

连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，

∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．

∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，

∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：

D。

【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关系，再解决切线的性质来解决问题．本题属于中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、O、P三点共线时DE最大．

引例3图

例一、斜率运用

【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【专题】探究型．

【分析】设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，易得直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为（0，k），于是可判断当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大；直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，则C（k，0），利用直线y=﹣x+k的性质易得∠PCD=45°，则△PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，则DE=AB=1，PE=AP=，所以PD=PE+DE=+1，然后在Rt△PCD中，利用PC=PD得到2+k=（+1），解得k=﹣1，从而得到n+m的最大值为﹣1．

【解答】解：

设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，当x=0时，y=k，即直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为（0，k），所以当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大，

直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，

当y=0时，﹣x+k=0，解得x=k，则C（k，0），∵直线y=﹣x+k为直线y=﹣x向上平移k个单位得到，∴∠PCD=45°，∴△PCD为等腰直角三角形，∵CP和OB为⊙A的切线，∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，∴四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，∴DE=AB=1，

∵△APE为等腰直角三角形，∴PE=AP=，∴PD=PE+DE=+1，在Rt△PCD中，∵PC=PD，∴2+k=（+1），解得k=﹣1，∴n+m的最大值为﹣1．

【点评】本题考查了切线的性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定直线y=﹣x+k与⊙A相切时n+m的最大值．

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1.解：

作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB===5，

∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE=AB=．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：

≤CM≤．

2.

（1）；

（2）；

变式题：

（2011•邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：

点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．

（1）当PC=　　时，CQ与⊙O相切；此时CQ=　　．

（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；

（3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．

【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．

【专题】计算题．

【分析】

（1）当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂直于直径CP，得到CQ为切线，即可得到CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；

（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的长即可求出CQ；

（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，由P是弧AB的中点，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与BE的长，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长．

【解答】解：

（1）当CP过圆心O，即CP为圆O的直径时，CQ与⊙O相切，理由为：

∵PC⊥CQ，PC为圆O的直径，∴CQ为圆O的切线，此时PC=5；∵∠CAB=∠CPQ，

∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，∴tan∠CPQ===，则CQ=；故答案为：

5；；

（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，

图1图2

又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=5，tan∠CAB=，∴BC=4，AC=3，

又∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴AC•BC=AB•CD，即3×4=5CD，∴CD=，∴PC=2CD=，

在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，∴CQ=×=；

（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，

∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，∴CE=BE=2，又∠CPB=∠CAB，∴tan∠CPB=tan∠CAB==，∴PE==BE=，∴PC=CE+PE=2+=，

由

（2）得，CQ=PC=．

【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

再变式：

如图3时，CQ最长。

图3

例三、正弦定理

1.解：

由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，

如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2

∴AD=BD=2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：

．

例三1答图例三2答图

2.【考点】垂径定理；三角形中位线定理．

【分析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．

【解答】解：

法①：

如图：

当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，

∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，

∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，

∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4，故答案为：

4．

法②：

连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PMmax=4

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度．

例四、柯西不等式、配方法

1.过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，

又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，

∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2（x﹣2），∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，

∴PD•CD=2（x﹣2）•（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．

第1题答图第2题答图

2.解：

如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．

∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．

又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．

连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB，

∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=．故选：

B．

3.解：

（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：

连接OP，

∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，

即AB最短，此时AB=4．故答案为：

4．

（3题答图）

例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）

1.求CE最小值，就是求半径OD的最小值。

2.；

3.【考点】切线的性质．【专题】压轴题．

【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为