实际问题与反比例函数的导学案.doc

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17．2实际问题与反比例函数

教学目标

1．知识与技能

学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题．

2．过程与方法

感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力．

3．情感、态度与价值观

体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯．

教学重点难点

重点：

用反比例函数解决实际问题．

难点：

构建反比例函数的数学模型．

课时安排

2课时

教与学互动设计

第1课时

（一）创设情境，导入新课

一位司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米／时的平均速度用6小时到达目的地．

（1）当他按原路匀速反回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？

（2）若该司机必须在4个小时内回到甲地，则返程的速度不能低于多少？

（二）合作交流，解读探究

探究

（1）原路返回，说明路程不变，则80×6=480千米，因而速度v和时间t满足：

vt=480或v=的反比例函数关系式．

（2）若要在4小时内回到甲地（原路），则速度显然不能低于=120（千米/时）．

归纳常见的与实际相关的反比例

（1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例；

（2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例；

（3）体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例；

（4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；

（5）总价一定时，单价与商品的件数成反比例；

（6）溶质一定时，溶液的浓度与质量成反比例．

（三）应用迁移，巩固提高

例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．

（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；

（2）求1000度近视眼镜镜片的焦距．

【分析】把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．

解：

（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=，

所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=．

（2）当y=1000时，1000=，解得=0.1m．

例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．

（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；

（2）写出此函数的解析式；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

（4）如果每小时排水量是5000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？

【分析】当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例．

解：

（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：

4000×12=48000（m3）．

（2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：

V=；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：

V==8000（m3）；

（4）如果每小时排水量是5000m3，那么要排完水池中的水所需时间为：

t==8000（m3）

备选例题

（2005年中考·四川）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

【答案】

（1）将材料加热时的关系式为：

y=9x+15（0≤x≤5），停止加热进行操作时的关系式为y=（x>5）；

（2）20分钟．

（四）总结反思，拓展升华

1．学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理．

2．能用函数的观点分析、解决实际问题，让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系，并得到解决．

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城．

（1）火车的速度v（千米/时）和行驶的时间t（时）之间的函数关系是v=．

（2）若到达目的地后，按原路匀速原回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于240千米/小时．

2．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是y=．

3．（2005年中考·长沙）已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（A）

4．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（C）

A．小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系

B．菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系

C．一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系

D．压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系

提升能力

5．面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（C）

开放探究

6．为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知，药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为：

y=x，自变量的取值范围是：

0

y=；

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？

为什么？

【答案】有效，因为燃烧时第4分钟含药量开始高于3毫克，当到第16分钟含药量开始低于3毫克，这样含药量不低于3毫克的时间共有16-4=12分钟，故有效．

第2课时

（一）创设情境，导入新课

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：

若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：

阻力×阻力臂＝动力×动力臂．

为此，他留下一句名言：

给我一个支点，我可以撬动地球！

（二）合作交流，解读探究

问题：

小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200N和0.5m．

（1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？

当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？

（2）若想使动力F不超过第

（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

【分析】

（1）由杠杆定律有FL=1200×0.5，即F=，当L=1.5时，F==400．

（2）由

（1）及题意，当F=×400=200时，L==3（m），

∴要加长3-1.5=1.5（m）．

思考你能由此题，利用反比例函数知识解释：

为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力？

联想物理课本上的电学知识告诉我们：

用电器的输出功率P（瓦）两端的电压U（伏）、用电器的电阻R（欧姆）有这样的关系PR=u2，也可写为P=．

（三）应用迁移，巩固提高

例1在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示．

（1）写出I与R之间的函数解析式；

（2）结合图象回答：

当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么？

【分析】由物理学知识我们知道：

当电压一定时，电流强度与电阻成反比例关系．

解：

（1）设，根据题目条件知，

当I=6时，R=6，所以，

所以K=36，所以I与R的关系式为：

I=．

（2）电流不超过3A，即I=≥12，所以R≥3（Ω）．

注意因为R>0，所以由≤12，可得R≥．

例2某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于多少？

【分析】在此题中，求出函数解析式是关键．

解：

设函数的解析式为P=，把点A（1.5，64）的坐标代入，得k=96，所以所求的解析式为P=；

（2）V=0.8m3时，P==120（千帕）；

（3）由题意P≤144（千帕），所以≤144，所以V≥=（m3）即气体的体积应不小于m3．

备选例题

1．（2005年中考变式·荆州）在某一电路中，电流I、电压U、电阻R三者之间满足关系I=．

（1）当哪个量一定时，另两个量成反比例函数关系？

（2）若I和R之间的函数关系图象如图，试猜想这一电路的电压是______伏．

2．（2005年中考·扬州）已知力F对一个物体作的功是15焦，则力F与此物体在力在方向上移动的距离S之间的函数关系式的图象大致是（）

【答案】1．

（1）当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例函数关系，

（2）10；2．B

（四）总结反思，拓展升华

1．把实际问题中的数量关系，通过分析、转化为数学问题中的数量关系．

2．利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题．

3．注意学科之间知识的渗透．

（五）课堂跟踪反馈

夯实基础

1．在一定的范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例．现已知当需求量为500吨时，市场供应量为10000吨，试求当市场供应量为16000吨时的需求量是312.5吨．

2．某电厂有5000吨电煤．

（1）这些电煤能够使用的天数x（天）与该厂平均每天用煤吨数y（吨）之间的函数关系是y=；

（2）若平均每天用煤200吨，这批电煤能用是25天；

（3）若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用煤300吨，这批电煤共可用是20天．

提升能力

3．一种电器的使用寿命n（月）与平均每天使用时间t（小时）成反比例，其关系如图所示．

（1）求使用寿命n（月）与平均每天使用时间t（小时）之间的函数关系式是n=；

（2）当t=5小时时，电器的使用寿命是96（月）．

4．某人用50N的恒定压力用气筒给车胎打气．

（1）打气所产生的压强P（帕）与受力面积S（米2）之间的函数关系是：

P=．

（2）若受力面积是100cm2，则产生的压强是5000P；

（3）你能根据这一知识解释：

为什么刀刃越锋利，刀具就越好用吗？

为什么坦克的轮子上安装又宽又长的履带呢？

【答案】接触面积越小，压强越大，故刀具越好用，反之可解释坦克装履带现象．

开放探究

5．一封闭电路中，当电压是6V时，回答下列问题：

（1）写出电路中的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系式是I=．

（2）画出该函数的图象．

【答案】略

（3）如果一个用电器的电阻是5Ω，其最大允许通过的电流为1A，那么只把这个用电器接在这个封闭电路中，会不会烧坏？

试通过计算说明理由．

【答案】可能烧坏

6．如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：

（1）这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？

【答案】反比例函数

（2）请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际例子．

【答案】如：

电压一定时电流强度与电阻；路程一定时，速度与时间之间等．

（3）写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

【答案】注意自变量的范围在1～6之间．

（4）说出图象中A点在你所举例子中的实际意义．

【答案】根据所举的例子，当自变量为2时，函数值为3即可．

教学反思