上海戴氏教育--二次函数与一元二次方程.docx

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始于1989★★★★★五星级名校冲刺第一品牌

一对一个性化学科优化学案

辅导科目

数学

就读年级

初三

学生

阮凌纯

教师姓名

姚老师

课题

二次函数和一元二次方程

授课时间

12.21

备课时间

12.19

教学

目标

掌握二次函数的图像与轴公共点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系，利用方程根的性质，判别式来判定抛物线与轴的交点情况。

重、难

考点

重点：

次函数的图像与轴公共点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系

难点：

理解一元二次方程的根就是二次函数与轴交点的横坐标。

教学内容

鹰击长空—基础不丢

二次函数与一元二次方程的关系：

抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。

抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0

（1）>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

设是一元二次方程的两根，这两点间的距离。

（2）=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

（3）<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

①当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

②当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

练习：

下列命题中正确的是（）

①若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3

②若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

③当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。

④若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。

⑤若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S△ABC=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。

⑥若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

⑦若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。

⑧若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。

⑨若b2＜3ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。

⑩若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。

若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。

可以攻玉—经典例题

【典型例题】

例1求抛物线与x轴的两个交点

例2已知二次函数

（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。

（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的取值

例3已知抛物线的图象与x轴有两个交点为，且，求m的值。

例4已抛物线（为实数）。

（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？

（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

例5已知关于x的函数的图像与x轴总有交点。

（1）求a的取值范围；

（2）设函数的图像与x轴有两个不同的交点A，B，其坐标为A（x,0）,B（x，0），当时，求a的值。

高分秘籍—过手训练

1．判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。

（1）  

（2）（3）

2．已知抛物线的顶点在x轴上，则=      ；若抛物线与x轴有两个交点，则的范围是         ；与轴最多只有一个交点，则的范围是    .

3．已知抛物线与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则=   ，=      .

4．抛物线的图象全部在x轴下方的条件是（    ）

A．a＜0 b2-4ac≤0B．a＜0 b2-4ac＞0C．a＞0 b2-4ac＞0D．a＜0 b2-4ac＜0

5、函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ）

Ａ、0个 Ｂ、1个 Ｃ、2个 Ｄ、1个或2个

6、关于二次函数的图像有下列命题：

①当时，函数的图像经过原点；②当，且函数的图像开口向下时，方程必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是；④当时，函数的图像关于轴对称．其中正确命题的个数是（ ）

Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个

7.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于 点，此时 ．

8.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（ ）

Ａ、 Ｂ、且 Ｃ、 Ｄ、且

9.若二次函数的图象全在x轴的下方，则的取值范围为。

10.若二次函数y＝（m＋5）x2＋2（m＋1）x＋m的图象全部在x轴的上方，则m的取值范围是　　　　　

11．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．

12．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．

13．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．

解答题：

1已知抛物线①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.

2.已知抛物线，

（1）求证：

该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

3.已知二次函数y＝x2－2（m－1）x＋m2－2m－3，其中m为实数.

（1）求证:

不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;

（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1、x2的倒数和为，求这个二次函数的关系式.

4．已知二次函数．

（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

5.已知函数．

（1）求证：

不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；

（2）若函数有最小值，求函数表达式．

6.下图是二次函数的图像，与轴交于，两点，与轴交于点．

Ａ

Ｃ

Ｏ

Ｂ

（1）根据图像确定，，的符号，并说明理由；

（2）如果点的坐标为，，，求这个二次函数的函数表达式．

7已知二次函数y=－x2＋4x－3，其图像与y轴交于点B，与x轴交于A，C两点．求△ABC的周长和面积．

8.已知抛物线，其顶点在轴的上方，它与轴交于点C（0，3），与轴交于点A及点B（6，0）.已知方程两根的平方和等于40，

（1）求些抛物线的解析式；

（2）试问：

在此抛物线上是否存在一点P，在轴上方且使，如果存在，求点P的坐标，如果不存在，说明理由.

日期月日至月日

周末作业：

学生在家表现情况反馈

家长评价

1、完成作业，复习功课。

（①认真完成②马虎应付③未完成）

2、夜晚外出（①没有外出②经过同意才外出③未经同意而外出）

3、玩电脑（①时间不长②合计2小时至4小时③时间过长）

4、看电视（①时间不长②合计2小时至4小时③时间过长）

5、文明礼貌与生活习惯（①很好②一般③不好）

6、做力所能及的家务（①很好②需要吩咐③没有做家务）

家长附言：

家长签名：

说明：

为方便老师与家长的交流沟通，特制此表，每次课后分发给学生带回，请家长们密切配合，加强监督孩子在家的生活与学习，并对其表现如实反馈，以利老师掌握最详实的材料，从而使思想教育工作更有成效。

如有建议或意见，请填写附言或来电说明。

教之以简用之为丰7/7