湘教版八年级下册数学第一章直角三角形知识点及典型习题.docx
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第一章直角三角形
一、已学须用知识点回顾
知识点1、等腰三角形的性质
(1)对称性:
等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴.
(2)三线合一:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
(3)等边对等角:
等腰三角形的两个底角相等.
提示:
“三线合一”是指对应的角平分线、中线、高线在画图时实际上只是一条线段,即是一条线段既是顶角的平分线,又是底边上的中线,还是底边上的高,不能混淆.
三角形的高可能在三角形的内部,也有可能在三角形的外部,还有可能和三角形的边重合。
知识点2、等腰三角形的判定定理
1、定理:
如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:
等角对等边).
2、提示:
(1)定理题设中的两个角必须是同一个三角形中的两个内角,不能出现在两个三角形中;
(2)结论中的两条边应是这两个内角的“对边”,这种对应关系不能混淆;(3)此定理的作用在于证明一个三角形为等腰三角形.
知识点3、等边三角形的性质与判定
1、等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°.
2、等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且在每条边上都有“三线合一”.因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴.
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
拓展:
等边三角形是一种特殊的三角形,容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等.
知识点4、等腰三角形性质的应用
等腰三角形的性质除“三线合一”外,三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质,如:
(1) 等腰三角形两底角的平分线相等;
(2)等腰三角形两腰上的中线相等;
(3)等腰三角形两腰上的高相等;(4)等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
知识点5、全等三角形的判定
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)。
二、现学现用:
直角三角形
知识点1、直角三角形的性质定理及推论:
1、直角三角形的两个锐角互余。
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、推论:
(1)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
(2)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。
4、勾股定理:
直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2。
(勾股数:
能够构成直角三角形三条边的正整数{a,b,c}称为勾股数,常见的勾股数有:
{3k,4k,5k},{5k,12k,13k},{8k,15k,17k},{7k,24k,25k},{9k,40k,41k},其中k为正正整数)
知识点2、直角三角形的判定定理:
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、有两个角互余的三角形是直角三角形。
3、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
4、如果三角形的三边长a、b、c满足关系:
a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
知识点3、直角三角形的全等的判定(5种方法):
1、判定一般三角形全等的方法(SSS、SAS、ASA、AAS).
2、判定直角三角形全等独有的方法:
有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,即HL定理(斜边、直角边定理)。
知识点4、角平分线的性质和判定:
1、性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2、判定:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
三、知识运用典型习题
1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为.
2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为.
3、在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,CD⊥AB于D,AB=,则DB等于()
A.B.C.D.以上结果都不对
4、(2008,新疆)△ABC中各角的度数之比如下,能够说明△ABC是直角三角形的是()
A.1:
2:
3B.2:
3:
4C.3:
4:
5D.3:
2:
5
5、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为.
6、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为.
7、长方体地面长为4,宽为3,高为12,那么长方体对角线的长是.
8、在直角三角形ABC中,∠ACB=90度,CD是AB边上中线,若CD=5cm,则AB=_____
9、在直角三角形中,有一个锐角为52度,那么另一个锐角度数为
10、在直角三角形中,斜边及其中线之和为6,那么该三角形的斜边长为________.
11、在△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有_________,与∠A相等的角有_________,若∠A=35°,那么∠ECB=_________.
12、在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=10,则AB=________.
13、顶角为30度的等腰三角形,若腰长为2,则腰上的高__________,三角形面积是________
14、等腰三角形顶角为120°,底边上的高为3,则腰长为_________
15、三角形ABC中,AB=AC=6,∠B=30°,则BC边上的高AD=_______________
16、△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,AE平分∠CAB。
求证:
AE=2CE。
C
B
A
17、小明站在高为20米的楼上C处,测得一条河边一点A的俯角为30°,河对岸一点B的俯角为15°,问河宽约多少米?
18.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E分别是BC、AC的中点,AB=6,求DE的长。
19、已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D为AB中点,DE⊥AC于E,
∠A=30°,求BC,CD和DE的长
20、已知:
△ABC中,AB=AC=BC(△ABC为等边三角形)D为BC边上的中点,
DE⊥AC于E.求证:
.
21、已知:
如图AD∥BC,且BD⊥CD,BD=CD,AC=BC.
求证:
AB=BD
22、已知如图,AE⊥ED,AF⊥FD,AF=DE,EB⊥AD,FC⊥AD,垂足分别
为B、C.试说明EB=FC.
D
23、如图3,AD是ΔABC的中线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF,
求证:
(1)AD是∠BAC的平分线
(2)AB=AC
4