一元二次方程的四种解法.doc

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做教育做良心中小学1对1课外辅导专家

龙文教育个性化辅导教案提纲

教师:

陈燕玲学生:

年级九日期:

星期:

时段:

课题

一元二次方程的概念及解法

学情分析

教学目标与

考点分析

1.掌握一元二次方程的概念及其一般形式，能指出一元二次方程的各项及其系数。

2能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。

体会解决问题方法的多样性。

教学重点

难点

教学重点:

掌握常用四种一元二次方程的解法。

教学难点:

灵活选用适当方法解一元二次方程

教学方法

讲解法合作探究法

教学过程

一、一元二次方程的概念：

问题

（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：

_______．

整理，得：

________．

归纳：

（1）只含一个未知数x；

（2）最高次数是2次的；（3）整式方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

例1．将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

注意:

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

练习:

判断下列方程是否为一元二次方程？

（1）3x+2=5y-3

（2）x2=4（3）3x2-=0（4）x2-4=（x+2）2（5）ax2+bx+c=0

例3．求证：

关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

练习:

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．

①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．

A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．

A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

三、综合提高题

1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？

2、关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？

为什么？

3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？

在什么条件下此方程为一元一次方程？

4、当m为何值时,方程（m+1）x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

二、一元二次方程的解：

复习：

方程的解

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）

例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2007（a+b+c）的值

练习:

关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值

例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0

（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0

三、一元二次方程的解法

（一）、直接开平方法

问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；

（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．

问题2：

目前我们都学过哪些方程?

二元怎样转化成一元？

一元二次方程与一元一次方程有什么不同？

二次如何转化成一次？

怎样降次？

以前学过哪些降次的方法？

方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？

例1：

解方程：

（1）（2x-1）2=5

（2）x2+6x+9=2（3）x2-2x+4=-1

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

解一元二次方程的共同特点：

把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解

练习：

一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．

A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-2

2．方程3x2+9=0的根为（）．

A．3B．-3C．±3D．无实数根

二、填空题

1．若8x2-16=0，则x的值是_________．

2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．

3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．

三、综合提高题

1．解关于x的方程（x+m）2=n．

（二）、配方法

1、解下列方程

（1）3x2-1=5

（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9（4）4x2+16x=-7

上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

x=±或mx+n=±（p≥0）．

如：

4x2+16x+16=（2x+4）2,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?

2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？

转化：

x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式→（x+3）2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5

解一次方程→x1=2，x2=-8

可以验证：

x1=2，x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程

配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程化为一般形式；

（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

（5）变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

例1．用配方法解下列关于x的方程

（1）x2-8x+1=0

（2）x2-2x-=0

例2．解下列方程

（1）2x2+1=3x

（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

例3求证:

无论y取何值时,代数式-3y2+8y-6恒小于0

例4、用配方法解方程：

ax2+bx+c=0（a≠0）

练习：

一、选择题

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．

A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3

2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．

3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9

4．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（）．

A．（x-）2=B．（x-）2=0C．（x-）2=D．（x-）2=

5．下列方程中，一定有实数解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）2=a

6．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．

A．1B．2C．-1D．-2

二、填空题

1．方程x2+4x-5=0的解是________．

2．代数式的值为0，则x的值为________．

3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．

4．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

三、综合提高题

1．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2+3=2x

2．已知：

x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．

3．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

4．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．

5、求证：

无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数

（三）公式法

由上例4可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

）

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

公式的理解

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11

例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-x-1=0

（2）x2+1.5=-3x（3）x2-x+=0

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．

若使方程为一元二次方程，m是否存在？

若存在，求出m并解此方程．

应用公式法解一元二次方程的步骤:

1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.

2）找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。

3）计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，

4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。

练习：

一、选择题

1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．

A．x=B．x=C．x=D．x=

2．方程x2+4x+6=0的根是（）．

A．x1=，x2=B．x1=6，x2=C．x1=2，x2=D．x1=x2=-

3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．

A．4B．-2C．4或-2D．-4或2

二、填空题

1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．

2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．

3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．

三、综合提高题

1．用公式法解关于x的方程：

x2-2ax-b2+a2=0．

2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；

（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

四、因式分解法:

例题：

Eg1、3x2－x=0Eg2、

Eg3、Eg4、

Eg5、Eg6

Ex1、（1－）x2=（1+）xex2、

ex3、ex4、2x2+7x=4

五、选用适当的方法:

2（x－1）2=82x2+4x=0

4（2x+1）2=3（4x2－1）

（x－5）（x+3）+（x－2）（x+4）=49（x2－x+1）（x2－x+2）=12

x2+12x－15=0

六、综合题:

1、已知｜x2－3xy－4y2｜+=0，求3x+6y的值。

2、方程,m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解。

教学反思

三、本次课后作业：

四、学生对于本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○差

学生签字：

五、教师评定：

1、学生上次作业评价：

○非常好○好○一般○需要优化

2、学生本次上课情况评价：

○非常好○好○一般○需要优化

教师签字：

龙文教育教务处

教务主任签字：

___________

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