中考复习之三角形与四边形练习题(含答案).doc

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中考复习之——三角形与四边形

1、三角形与平行四边形联手

例1、如图1，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等，并说明理由.

解：

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB=CD，∠A=∠C，∠ADC=∠CBA

∵DF平分∠ADC，BE平分∠CBA

∴∠ADF=1/2∠ADC=1/2∠CBA=∠CBE

在△ADF和△CBE中

∠A=∠C

AD=BC

∠ADF=∠CBE

∴△ADF≌△CBE（ASA）

∴AF=CE

2、三角形与矩形联手

例2、如图5，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：

DF＝DC．

证明：

∵AE=AD

∴∠AED=∠ADE

∵AD‖BC∴∠CED=∠ADE

∴∠CED=∠AED

∵∠DFE=∠C=90

∠CED=∠AED（已证）

DE=DE（公共边）

∴△DFE≌△DCE（AAS）

∴DF=DC

例3、如图4所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，

过C作CF⊥DE，垂足为F.

（1）猜想：

AD与CF的大小关系；

（2）请证明上面的结论.

解：

∵AB平行DC∴∠AED=∠EDC

∵CF⊥DE∴∠DFC=∠DAE

又∵DE=AB且AB=DC∴DE=DC

∵∠AED=∠EDC∠DAE=∠DFCDE=DC

∴△AED全等于△FCD

∴AD=CF

例4、如图6，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于．

（1）求证：

；

（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？

证明你的结论．

证明：

1、证明：

∵矩形ABCD

∴OA＝OC，AB∥CD

∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO

∴△BOE≌△DOF（AAS）

2、EF⊥AC时，四边形AECF为菱形

∵△BOE≌△DOF

∴OE＝OF

又∵OA＝OC

∴平行四边形AECF

∵EF⊥AC

∴菱形AECF（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

例5、在矩形ABCD中，AB=2，AD=．

（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；

（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：

点B平分线段AF；

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．

解：

（1）∵∠AEB=∠BEC=∠ABE

∴∠AEB=∠ABE

AB=AE=2

DE=1（勾股定理计算）

∴DE=EC=1

E是DC的中点

（2）∵⊿ECP∽⊿FBP

∴EC/BF=PC/PB=1/2

∴BF=2

点B平分线段AF

②由

（1）知⊿AED≌⊿BEC

⊿ABE是等边三角形

在⊿PEC中

tan∠PEC=√3/3

∴∠PEC=30º=∠F

∴⊿AEF是直角三角形

∴AF=2AE=2AB

3、三角形与正方形联手

例6、如图8所示，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（ab，k0），第

（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？

若成立，以图5为例简要说明理由．（08年义乌市）

（3）在第

（2）题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．

解：

（1）①BG⊥DE，BG=DE；

②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE，

∴△BCG≌△DCE，

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，

又∵∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHG=90°，

∴BG⊥DE．

（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，

∴BC/DC＝CG/CE=b/a，

又∵∠BCG=∠DCE，

∴△BCG∽△DCE，

∴∠CBG=∠CDE，

又∵∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHG=90°，

∴BG⊥DE．

（3）连接BE、DG．

根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，

∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°

∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25

例7、如图9-甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图9-乙，线段CF、BD之间的位置关系为▲，数量关系为▲．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图9-丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：

当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？

画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝，BC=3，在

（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

解：

（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90º．

∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，

又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD　　

∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90º，AB=AC，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD

（2）画图正确　

当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．

理由是：

过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

可证：

△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD

（3）当具备∠BCA=45º时，

过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）

∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，

∵∠BCA=45º，可求出AQ=CQ=4．设CD=x，∴DQ=4―x，

容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，

．

∵0＜x≤3∴当x=2时，CP有最大值1．

4三角形与梯形联手

例8、已知：

如图11，梯形中，，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点．

（1）求证：

和全等

（2）连结，判断四边形的形状，并证明你的结论．

1、证明：

∵AD∥BC

∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE

∵E是BC的中点

∴BE＝CE

∴△ABE≌△FCE（AAS）

∴AB＝CF

2、菱形ABFC

证明：

∵AD∥BC，AB＝CF

∴平行四边形ABFC

∵△ADC沿AE折叠至△AEC，∠D＝90

∴∠AEC＝∠D＝90

∴AF⊥BC

∴菱形ABFC

例9、如图12，在等腰梯形中，，是的中点，求证：

．

（1）证明：

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=DC，∠A=∠D．

∵M是AD的中点，

∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中，

AB＝DC∠A＝∠DAM＝DM∴△ABM≌△DCM（SAS）．

∴MB=MC．

例10、如图13所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．

解：

∵ABCD是等腰梯形∴AB=DC∠ABC=∠DCB

BC是公共边∴△ABC≌△DCB（SAS）

还有△ABD≌△DCA（SAS）

∵AD‖BC∠ABC=∠DCB

∴∠BAD=∠CDA

AD是公共边

且AB=DC

∴△ABD≌△DCA（SAS）

例11、已知：

如图14，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。

求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE

（1）△BFC≌△DFC　　因为CF平分∠BCD，所以：

∠DCF＝∠BCF又：

BC＝DC，　公共边CF＝CF　　所以△BFC≌△DFC（两边夹一角，边角边定理）

（2）延长DF交BC于H;因AD‖BC，DF‖AB，所以四边形ABHD是平行四边形AD＝BH

因△BFC≌△DFC所以DF＝BF　∠FDE＝∠FBH又∠DFE＝∠BFH所以：

△DFE≌△BFH所以DE＝BH（全等三角行的对应边和角相等）又AD＝BH;所以：

AD＝DE