时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小
时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
14、如图，抛物线y＝ax2－8ax＋12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴
交于点C，点D的坐标为（－6，0），且∠ACD＝90°.
（1）请直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？
若存在，求出点P的坐标及周
长的最小值；若不存在，说明理由；
（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA
的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为S，求S关
于t的函数关系式及自变量t的取值范围．
15、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：
y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线
的另一个交点为D，且CD＝4AC.
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能
否成为矩形？
若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
1、【思路点拨】
（1）利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；
（2）利用抛物线的轴对称性，BC与对称轴的交点即为M，继而求出其坐标；
（3）设P（－1，t），用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t的值．
【解答】
（1）依题意，得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（－3，0）．
∴把B（－3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx＋n，得
解得
∴直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3.
（2）设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.
∴M（－1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为（－1，2）．
（3）设P（－1，t），又B（－3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（－1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（－1）2＋（t－3）2＝t2－6t＋10.
①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；
②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18；
解得t1＝，t2＝.
综上所述，P的坐标为（－1，－2）或（－1，4）或（－1，）或（－1，）．
2、【思路点拨】
（1）把A（－1，0）、B（3，0）两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c即可求出b和c的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）设D（t，－t2＋2t＋3），作DH⊥x轴，则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC，进而得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质，确定D点坐标与S△BCD的最大值；
（3）因为两三角形的底边MB相同，所以只需满足MB上的高相等即可满足题意．
【解答】
（1）由解得
∴抛物线解析式为：
y＝－x2＋2x＋3.
（2）设D（t，－t2＋2t＋3），作DH⊥x轴．
令x＝0，则y＝3，∴C（0，3）．
则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC
＝（－t2＋2t＋3＋3）t＋（3－t）（－t2＋2t＋3）－×3×3
＝－t2＋t.
∵－＜0，
∴当t＝－＝时，即D（，）时，S△BCD有最大值，且最大面积为.
（3）∵P（1，4），过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，
∵直线BC为y＝－x＋3，
∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.
由解得Q1（2，3）；
∵直线PM为x＝1，直线BC为y＝－x＋3，
∴M（1，2）．
设PM与x轴交于E点，∵PM＝EM＝2，
∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.
从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．
由解得Q2（，－），Q3（，－）．
∴满足条件的Q点为Q1（2，3），Q2（，－），Q3（，－）．
3、【解答】
（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为C（0，－2），
∴b＝0，c＝－2.
∵y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），
∴0＝a＋0－2，a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2－2.
当y＝0时，2x2－2＝0，解得x＝±1，
∴点B的坐标为（1，0）．
（2）连接BC.设P（m，n）．
∵∠PDB＝∠BOC＝90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则＝，即＝，解得n＝.
∴此时点P坐标为（m，）；
②若△OCB∽△DPB，则＝，即＝，解得n＝2m－2.
∴此时点P坐标为（m，2m－2）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（m，）或（m，2m－2）．
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2－2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E.
∵∠DBP＋∠BPD＝90°，∠QPE＋∠BPD＝90°，
∴∠DBP＝∠QPE.
在△DBP与△EPQ中，
∴△DBP≌△EPQ.∴BD＝PE，DP＝EQ.
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2－2），
∴
解得（均不合题意，舍去）
②当P（m，2m－2）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2－2），
∴
解得（均不合题意，舍去）
综上所述，不存在满足条件的点Q.
4、【思路点拨】
（1）把两个解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围．利用二次函数解析式求得M、A的坐标；
（2）求出两直线的交点N，从而求出其对称点P，利用面积之差得△PCD的面积；
（3）分两种情况进行讨论：
①当P在y轴左侧时，利用平行四边形对角线互相平分得P点坐标，代入二次函数解析式，求得a；②当P在y轴右侧时，利用平行四边形的对边平行且相等得P点坐标，代入二次函数解析式，求得a.
【解答】
（1）由题意联立
整理得2x2＋5x－4a＝0.
由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞－.
∵a≠0，∴a＞－且a≠0.
令x＝0，得y＝a，∴A（0，a）．
由y＝－（x＋1）2＋1＋a，
得M（－1，1＋a）．
（2）设直线MA的解析式为y＝kx＋b，代入A（0，a）、M（－1，1＋a），得
解得
故直线MA的解析式为y＝－x＋a.
联立解得
∴N（，－）．
由于P点是N点关于y轴的对称点，
∴P（－，－）．
代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2＋a＋a，
解得a＝或a＝0（舍去）．
∴A（0，），C（0，－），M（－1，），|AC|＝.
∴S△PCD＝S△PAC－S△DAC
＝|AC|×|xP|－|AC|×|xD|
＝×（3－1）＝.
（3）①当点P在y轴左侧时，四边形APCN为平行四边形，则AC与PN相互平分，点P与N关于原点（0，0）中心对称，而N（，－），故P（－，）．
代入y＝－x2－2x＋a，得＝－a2＋a＋a，
解得a＝或a＝0（舍去），∴P（－，）．
②当点P在y轴右侧时，四边形ACPN为平行四边形，则NP∥AC且NP＝AC，而N（，－）、A（0，a）、C（0，－a），故P（，－）．
代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2－a＋a，
解得a＝或a＝0（舍去），∴P（，－）．
∴当P点为（－，）或（，－）时，以A、C、P、N为顶点能构成平行四边形．
1．
（1）∵A为OB的中点，B（0，－2），∴A（0，－1）．
∵抛物线y＝ax2＋c对称轴为y轴，CD＝4，
∴C（－2，0），D（2，0）．
把A（0，－1），D（2，0）代入抛物线y＝ax2＋c，得解得
∴抛物线的解析式为y＝－1.
（2）设点P（x，－1），过P作PM⊥y轴于点M，则OM＝OE＝1.
∴|－1|＝1.∴－1＝1或－1＝－1.
解得x1＝2，x2＝－2，x3＝0.
∴点P坐标是P1（2，1），P2（－2，1），P3（0，－1）．
（3）直线l与⊙P相切．设点P（x，－1），过P作PN⊥l于点N，交x轴于点Q.
在Rt△POQ中，PO2＝x2＋（－1）2＝x2＋－＋1＝＋＋1.PN2＝[－1－（－2）]2＝＋＋1.
∴PN＝PO.∴直线l与⊙P相切．
2.
（1）由抛物线顶点坐标为N（－1，），可设其解析式为y＝a（x＋1）2＋.将M（－2，）代入，得＝a（－2＋1）2＋，解得a＝－.
故所求抛物线的解析式为y＝－x2－x＋.
（2）∵y＝－x2－x＋，∴x＝0时，y＝，∴C（0，）．
y＝0时，－x2－x＋＝0，解得x＝1或x＝－3，
∴A（1，0），B（－3，0），
∴BC＝＝2.
设P（－1，m），当CP＝CB时，有CP＝＝2，解得m＝±；
当BP＝BC时，有BP＝＝2，解得m＝±2；
当PB＝PC时，＝，解得m＝0.
综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（－1，＋），（－1，－），（－1，2），（－1，－2），（－1，0）．
（3）由
（2）知BC＝2，AC＝2，AB＝4，所以BC2＋AC2＝AB2，即BC⊥AC.连接BC并延长至B′，使B′C＝BC，连接B′M，交直线AC于点Q，连接BQ，BM.
∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB＝QB′，∴QB＋QM＝QB′＋QM＝MB′，又BM＝2，所以此时△QBM的周长最小．
由B（－3，0），C（0，），易得B′（3，2）．
设直线MB′的解析式为y＝kx＋n，将M（－2，），B′（3，2）代入，得解得
即直线MB′的解析式为y＝x＋.
同理可求得直线AC的解析式为y＝－x＋.由解得即Q（－，）．
所以在直线AC上存在一点Q（－，），使△QBM的周长最小．
3.
（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1＝（b－2）2＋b（b－2）－3b＋3.解得b＝2.
∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－3.
（2）由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1.
∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3）．
∵抛物线的对称轴是直线x＝－1，
∴圆心M在直线x＝－1上．
∴设M（－1，n），
作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC，MB.
∴MH＝1，BG＝2.
∵MB＝MC，∴BG2＋MG2＝MH2＋CH2.∴4＋n2＝1＋（3＋n）2.解得n＝－1.
∴点M的坐标为（－1，－1）．
（3）由M（－1，－1），得MG＝MH.∵MA＝MD，
∴Rt△AMG≌Rt△DMH.
∴∠MAG＝∠MDH.由旋转可知∠AME＝∠DMF.∴△AME≌△DMF.若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形．
设E（x，0）．△AME为等腰三角形，
分三种情况：
①当AE＝AM＝时，则x＝－3，∴E（－3，0）．
②当AM＝ME时，∵M在AB的垂直平分线上，∴MA＝ME＝MB，∴E（1，0）．
③当AE＝ME时，则点E在AM的垂直平分线上．AE＝x＋3，ME2＝MG2＋EG2＝1＋（－1－x）2.
∴（x＋3）2＝1＋（1＋x）2.解得x＝－.∴E（－，0）．∴所求点E的坐标为（－3，0），（1，0）或（－，0）．
4.
（1）∵函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为－8，2，∴A（－8，0）、B（2，0），即OB＝2.
又tan∠ABC＝3，∴OC＝6，即C（0，－6）．将A（－8，0）、B（2，0）代入y＝ax2＋bx－6中，得a＝，b＝，
∴二次函数解析式为y＝x2＋x－6.
（2）①当l在AB位置时，P即为AB中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，
∴点P的运动路程为△ABC的中位线HK.∴HK＝BC.在Rt△BOC中，OB＝2，OC＝6.
∴BC＝2.∴HK＝.
即点P的运动路程为.
②∠EPF的大小不会改变．
理由如下：
∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE＝AD＝PA，∴∠PAE＝∠PEA＝∠EPD.
同理可得：
∠PAF＝∠PFA＝∠DPF，∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝2（∠PAE＋∠PAF），即∠EPF＝2∠EAF.
又∵∠EAF大小不变，∴∠EPF的大小不会改变．
（3）设△PEF的周长为C，则C＝PE＋PF＋EF，
∵PE＝AD，PF＝AD，∴C＝AD＋EF.
在等腰三角形PEF中，过P作PG⊥EF于点G，∴∠EPG＝∠EPF＝∠BAC.
∵tan∠BAC＝＝.∴tan∠EPG＝＝.∴EG＝PE，EF＝PE＝AD.∴C＝AD＋EF＝（1＋）AD＝AD.
又当AD⊥BC时，AD最小，此时C最小，又S△ABC＝30，∴BC·AD＝30，∴AD＝3.∴C最小值为AD＝.
5.
（1）由题意，设D（a，－a2）．则抛物线C2的解析式为y＝（x－a）2－a2.
又∵点C在抛物线C2上，将C（0，2）代入上式，解得a＝±2.又因为D在y轴右侧，所以a＝2.
∴抛物线C2的解析式为y＝（x－2）2－2.
（2）由题意，在y＝（x－2）2－2中，令y＝0，则x＝2±.
∵点B在点A的右侧，∴A（2－，0），B（2＋，0）．
又∵过点A、B、C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，则设E（2，m），且|CE|＝|AE|.则22＋（2－m）2＝m2＋（2－2＋）2，解得m＝.∴圆心E的坐标为（2，）．
（3）假设存在F（t，），使得四边形CEBF为菱形，则|BF|＝|CF|＝|CE|.∴（）2＋（2＋－t）2＝（2－）2＋t2，解得t＝.当t＝时，F（，）．此时|CE|＝，|CF|＝＝＝.
∴|CF|＝|BF|＝|BE|＝|CE|.即存在点F（，），使得四边形CEBF为菱形．
6．
（1）对于y＝－3x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1，
∴点C（0，3），点A（1，0）．
∴解得
∴此抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.
（2）如图1，点A关于直线l的对称点是点B（－3，0），连接BC交直线l于点P，连接PA，则此时△PAC周长最小．
设BC的解析式为y＝kx＋m，将点B（－3，0）、点C（0，3）代入解析式中，则解得
∴BC的解析式为y＝x＋3.当x＝－1时，y＝2，∴点P为（－1，2）.
（3）如图2，以点A、B、M、N为顶点的四边形能为平行四边形．
满足要求的点M有3个，分别是M1（－2，3），M2（－4，－5），M3（4，－2
升级会员 