新北师大版八年级下册数学教案.doc
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第一章三角形的证明
1.等腰三角形
(一)
一、教学目标如:
1.知识目标:
理解作为证明基础的几条公理的内容,应用这些公理证明等腰三角形的性质定理;熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2.能力目标:
经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;
3.情感与价值目标:
启发引导学生体会探索结论和证明结论,及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系;
二.教学重、难点
重点:
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法;
难点:
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论,能否用数学语言正确表达等。
三、教学过程分析
第一环节:
回顾旧知导出公理
请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。
其中证明三角形全等的有以下三条:
两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
三边对应相等的两个三角形全等(SSS);
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件:
1.(推论)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明;
2.回忆全等三角形的性质。
已知:
如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证:
△ABC≌△DEF.
证明:
∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),
又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠C=180°-(∠A+∠B),
∠F=180°-(∠D+∠E),
∴∠C=∠F(等量代换)。
又BC=EF(已知),∴△ABC≌△DEF(ASA)。
第二环节:
折纸活动探索新知
提问:
“等腰三角形有哪些性质?
如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?
并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?
”
第三环节:
明晰结论和证明过程
让学生明晰证明过程。
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合
第四环节:
随堂练习巩固新知
第五环节:
课堂小结
第六环节:
布置作业
四、教学反思
1.等腰三角形
(二)
一、教学目标:
1.知识目标:
探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段,进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式,体会证明的必要性;
2.能力目标:
①经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;
②在命题的变式中,发展学生提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学生的学习能力和思维能力,提高学生学习的主体性;
③在图形的观察中,揭示等腰三角形的本质:
对称性,发展学生的几何直觉;
3.情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.
②体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性.
二.教学重、难点
重点:
经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程,能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
三、教学过程分析
第一环节:
提出问题,引入新课
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?
你能证明你的结论吗?
例1证明:
等腰三角形两底角的平分线相等
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的角平分线.
求证:
BD=CE.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠1=∠ABC,∠2=∠ABC,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2.
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
第三环节:
经典例题变式练习
活动内容:
提请学生思考,除了角平分线、中线、高等特殊的线段外,还可以有哪些线段相等?
并在学生思考的基础上,研究课本“议一议”:
在课本图1—4的等腰三角形ABC中,
(1)如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB呢?
由此,你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?
如果AD=AC,AE=AB呢?
由此你得到什么结论?
第四环节:
拓展延伸,探索等边三角形性质
活动内容:
提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质:
等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知:
ΔABC中,AB=BC=AC.
求证:
∠A=∠B=∠C=60°.
证明:
在ΔABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
同理:
∠C=∠A,∴∠A=∠B=∠C(等量代换).
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠A=∠B=∠C=60°.
第五环节:
随堂练习及时巩固
第六环节:
探讨收获课时小结
课外作业
四、教学反思
1.等腰三角形(三)
一.教学目标:
1.探索等腰三角形判定定理.
2.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.
3.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用,培养学生的逆向思维能力。
二.教学过程分析
第一环节:
复习引入
活动过程:
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路,要求学生独立思考后再进交流。
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么?
这个命题的题设和结论分别是什么?
问题2.我们是如何证明上述定理的?
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么?
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等?
第二环节:
逆向思考,定理证明
教师:
上面,我们改变问题条件,得出了很多类似的结论,这是研究问题的一种常用方法,除此之外,我们还可以“反过来”思考问题,这也是获得数学结论的一条途径.例如“等边对等角”,反过来成立吗?
在△ABC中,∠B=∠C,要想证明AB=AC,只要构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了.你是怎样构造的?
第三环节:
巩固练习
例2已知:
如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC且∠1=∠2.
求证:
AB=AC.
证明:
第四环节:
适时提问导出反证法
我们类比归纳获得一个数学结论,“反过来”思考问题也获得了一个数学结论.如果否定命题的条件,是否也可获得一个数学结论吗?
我们一起来“想一想”:
小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与Ac要么相等,要么不相等.
假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,但已知条件是∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
再例如,我们要证明△ABC中不可能有两个直角,也可以采用这位同学的证法,假设有两个角是直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°,可得∠A+∠B=180°,但△AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾,因此△ABC中不可能有两个直角.
引导学生思考:
上一道面的证法有什么共同的特点呢?
引出反证法。
都是先假设命题的结论不成立,然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾,从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法,我们把它叫做反证法.
第五环节:
拓展延伸
现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?
第六环节:
课堂小结
课外作业
教学反思:
1.等腰三角形(四)
一、教学目标:
1.知识目标:
理解等边三角形的判别条件及其证明,理解含有30º角的直角三角形性质及其证明,并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2.能力目标:
①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程
②经历实际操作,探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力;
3.情感与价值观要求:
①积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
二.教学重难点
重点:
①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
难点:
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
三、教学过程
第一环节:
提问问题,引入新课
回顾等腰三角形的性质和判定定理的基础上,直接提出问题:
等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?
又如何判别一个三角形是等腰三角形呢?
从而引入新课。
第二环节:
自主探索
活动内容:
学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件,并交流各自的结论,教师适时要求学生给出相对规范的证明,概括出等边三角形的判别条件,并引导学生总结出下表:
性质
判定的条件
等腰三角形(含等边三角形)
等边对等角
等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角平分线,底边上的中线、高互相重合
有一角是60°
等边三角形三个角都相等,且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
第三环节:
实际操作提出问题
提出问题:
用含30°角的两个三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
在你所拼得的等边三角形中,有哪些线段存在相等关系,有哪些线段存在倍数关系,你能得到什么结论?
说说你的理由.
定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.
求证:
BC=AB.
证明:
在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°∠B=60°.
延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).
∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°
∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
∴BC=BD=AB.
第四环节:
变式训练巩固新知
[例题]等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高CD的长.
解:
∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
第五环节:
畅谈收获课时小结
第六环节:
布置作业
四、教学反思
2.直角三角形
(一)
一、教学目标
1.知识目标:
(1)掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法。
(2)会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.
2.能力目标:
(1)进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.
(2)进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理的能力.
3.教学重点、难点
重点①了解勾股定理及其逆定理的证明方法.②了解逆命题的概念,识别两个互逆命题.
难点:
勾股定理及其逆定理的证明方法.
二、教学过程
1:
创设情境,引入新课
请同学们打开课本P18,阅读“读一读”,了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理,证明勾股定理的方法.
2:
讲述新课
阅读完毕后,针对“读一读”中使用的两种证明方法,着重讨论第一种,第二种方法请有兴趣的同学课后阅读.
(1).勾股定理及其逆定理的证明.
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗?
已知:
如图:
在△ABC中,AB2+AC2=BC2
求证:
△ABC是直角三角形.
证明:
作Rt△A′B′C′,使∠A′=90°,A′B′=AB,A′C′、AC(如图),
则A′B′2+A′C′2.(勾股定理).
∵AB2+AC2=BC2,A′B′=AB,A′C′
∴BC2=B′C′2
∴BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).
因此,△ABC是直角三角形.
勾股逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
(2).互逆命题和互逆定理.
观察上面两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?
通过观察,学生会发现:
上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件.
3:
议一议:
观察下面三组命题:
:
如果两个角是对顶角,那么它们相等.如果两个角相等,那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎,那么他一定发烧.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎.
三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.
不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命题的条件.
在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题.
请同学们判断每组原命题的真假.逆命题呢?
在第一组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.在第二组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.在第三组中,原命题和逆命题都是真命题.
由此我们可以发现:
原命题是真命题,而逆命题不一定是真命题.
4:
想一想
请学生写出“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?
它们都是真命题吗?
5:
随堂练习
说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形;
(2)两直线平行,内旁内角互补;
6:
课时小结
7:
课后作业
四、教学反思
2.直角三角形
(二)
一、教学目标:
1.知识目标:
①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理,进一步理解证明的必要性
②利用“HL’’定理解决实际问题
2.能力目标:
①进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力
二、教学过程
1:
复习提问
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种?
2.已知一条边和斜边,求作一个直角三角形。
想一想,怎么画?
同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
如果其中一个角是直角呢?
请证明你的结论。
2:
引入新课
(1).“HL”定理.由师生共析完成
已知:
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.
求证:
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明:
在Rt△ABC中,AC=AB2一BC2(勾股定理).
又∵在Rt△A'B'C'中,A'C'=A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理).
AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS).
定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.
3:
例题学习
如图,在△ABC≌△A'B'C'中,CD,C'D'分别分别是高,并且AC=A'C',CD=C'D'.∠ACB=∠A'C'B'.
求证:
△ABC≌△A'B'C'.
证明:
∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知),
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°.
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中,
AC=A'C'(已知),
CD=C'D'(已知),
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL).
∠A=∠A',(全等三角形的对应角相等).
在△ABC和△A'B'C'中,
∠A=∠A'(已证),
AC=A'C'(已知),
∠ACB=∠A'C'B'(已知),
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
6:
课时小结
7:
课后作业
四、教学反思
3.线段的垂直平分线
(一)
一、教学目标:
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.
2.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明能力.丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动,学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果
二.教学重点、难点
重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。
难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
三、教学过程
第一环节:
性质探索与证明
定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知:
如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.
求证:
PA=PB.
证明:
∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).;
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
第三环节:
逆向思维,探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗?
它是真命题吗?
定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
已知:
线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.
求证:
P点在AB的垂直平分线上.
证明:
过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理).
∴AC=BC,
即P点在AB的垂直平分线上.
第四环节:
巩固应用
例1已知:
如图1-18,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:
直线AO垂直平分线段BC。
.
证明:
∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
同理,点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
第五环节:
随堂练习课本P23;习题1.7:
第1、2题
第六环节:
课堂小结:
通过这节课的学习你有哪些新的收获?
还有哪些困惑?
第七环节:
课后作业
四、教学反思
3.线段的垂直平分线
(二)
一、教学目标:
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点
2.经历猜想、探索,能够作出符合条件的三角形.
3.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问题的方法,发展实践能力和创新意识.
4.学会与他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
二.教学重点、难点
重点:
①能够证明与线段垂直平分线相关的结论.
②已知底边和底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形.
难点:
证明三线共点。
三、教学过程分析
1:
求证:
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知:
在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点P,连接AP,BP,CP.
求证:
P点在AC的垂直平分线上.
证明:
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等).
同理PB=PC.
∴PA=PC.
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上).
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.
2.引申拓展
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?
如果能,能作几个?
所作出的三角形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?
能作几个?
3例题学习
已知底边及底边上的高,求作等腰三角形.
已知:
线段a、h
求作:
△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h
作法:
1.作BC=a;
2.作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点;
3.以D为圆心,h长为半径作弧交MN于A点;
4.连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示).
3.动手操作
(1):
已知直线l和l上一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P.
学生先独立思考完成,然后交流:
说出做法并解释作图的理由。
(2)拓展:
如果点P是直线l外一点,那么怎样用尺规作l的垂线,使它经过点P呢?
说说你的作法,并与同伴交流.
5.随堂练习:
:
习题1.8第1、2题。
6.课时小结
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点,及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论,并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高,求作等腰三角形”.
7.课后作业
四、教学反思
4.角平分线
(一)
一、教学目标:
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.
2.进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言.转化为符号语言、图形语言的能力.
3.经历探索,猜想,证明使学生掌握研究解决问题的方法。
二.教学难点:
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
三、教学过程
1:
情境引入
提问:
还记得角平分线上的点的性质吗?
你是怎样得到的?
即角平分线上的点到角两边的距离相等.
你能证明它吗?
2:
探究新知
(1)定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知:
如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.
求证:
PD=PE.
证明:
∵∠1=∠2,OP=OP,
∠PDO=∠PEO=90°,
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
(2)你能写出这个定理的逆命题吗?
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.
它是真命题吗?
你能证明它吗?
已知:
在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,
求证:
点P在么AOB的角平分线上.
证明:
PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理).
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。
(3)用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。
3.巩固练习
例题:
在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.
4:
随堂练习课本第29页1、2题。
5:
课堂小结
这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理,在有角的平分线(或证明是角的平分线)时,过角平分线上的点向两边作垂线段,利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。
6:
课后作业
四、教学反思
4.角平分线
(二)
一、教学目标:
1.知识目标:
(1)证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.
(2)角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
2.能力目标:
(1)进一步发展学生的推理证明意识和能力.
(2)培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.
(3)提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力.
3.情感与价值观要求:
①能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
二.教学重点、难点
重点:
①三角形三个内角的平分线的性质.
②综合运用角平分线的判定和