因式分解例题精选讲解综合练习题附答案.doc
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【因式分解】——例题精选讲解——综合练习题附答案
【例题精选】：
（1）
评析：
先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。
提取公因式后，再算出括号内各项。
解：
=
（2）
评析：
多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y
解:
=
=
=
（3）（y-x）（c-b-a）-（x-y）（2a+b-c）-（x-y）（b-2a）
评析：
在本题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x
解：
原式=（y-x）（c-b-a）+（y-x）（2a+b-c）+（y-x）（b-2a）
=（y-x）（c-b-a+2a+b-c+b-2a）
=（y-x）（b-a）
（4）把分解因式
评析：
这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式
解：
=2=2=
（5）把分解因式
评析：
首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。
对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解，但比较麻烦。
解：
=xy2（x6-y6）=xy2[]=
=
（6）把分解因式
评析：
把（x+y）看作一个整体，那么这个多项式相当于（x+y）的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。
对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把（x+y）代换完全平方公式中的a，（6Z）换公式中的
解：
==（x+y-6z）2
（7） 把分解因式
评析：
把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。
解：
=
=
=
（8）分解因式a2-b2-2b-1
评析：
初看，前两项可用平方差公式分解。
采用“二、二”分组，原式=（a+b）（a-b）-（2b+1），此时无法继续分解。
再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。
解：
a2-b2-2b-1=a2-（b2-2b+1）=a2-（b+1）2=[a+（b+1）][a-（b+1）]=（a-b-1）（a+b+1）
一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。
四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。
（9） 把a2-ab+ac-bc分解因式
解法一：
a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a（a-b）+c（a-b）=（a-b）（a+c）
解法二：
a2-ab+ac-bc=（a2+ac）-（ab+bc）=a（a+c）-b（a+c）=（a-b）（a+c）
（10）把分解因式
解法一：
=
解法二：
=
说明：
例
（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。
（2）题解法一1：
1，解法二也是1：
1；（3）题解法一是
1：
1，解法二是2：
（-3）
（11）分解因式
评析：
四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。
如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组
解法一：
=
=
解法二：
=
=
解法三：
=
=
（12）分解因式（a-b）2-1-2c（a-b）+c2
评析：
本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组
解：
（a-b）2-1-2c（a-b）+c2
=[（a-b）2-2c（a-b）+c2]-1=[（a-b）-c]2-1=（a-b-c）2-1-（a-b-c+1）（a-b-c-1）
（13）分解因式8a2-5ab-42b28a-21b
解：
8a2-5ab-42b2a+2b
=（8a-21b）（a+2b）-21ab+16ab=-5ab
（14） 分解因式a6-10a3+16
解：
a6-10a3+16a3-2
=（a3-2）（a3-8）a3-8
=（a3-2）（a-2）（a2+2a+4）-8a3-2a3=-10a3
（15） 分解因式-x2+x+30
解：
-x2+x+30（先提出负号）x+5
=-（x2-x-30）x-6
=-（x+5）（x-6）+5x-6x=-x
（16） 分解因式12（x+y）2-8（x+y）-7
解：
12（x+y）2-8（x+y）-72（x+y）+1
=[2（x+y）+1][6（x+y）-7]6（x+y）-7
=（2x+2y+1）（6x+6y-7）-14+6=8
（17）把分解因式
评析：
此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。
本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是按立方差公式分解后的一个因式：
解：
=
=
=
（18） 把分解因式
评析：
把看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。
解：
=
=
=
（19）分解因式
评析：
先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点，我们不妨设=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）
解：
=
=
=
=
（20）把分解因式
解：
=
=
=
=
（21）把分解因式
评析：
它不同于例3
（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有。
它又回到例3
（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）
解：
=
=
=
=
=
=
（22）把分解因式
评析：
不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6利用结合律会出现a2+6
解：
=
=
=
（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式
评析：
不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现的形式，这就不难发现（x2+8x）作为一个整体a同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展开后有a2+22a+96，利用十字相乘，得到（a+6）（a+16）而分解。
解：
（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9
=[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]-9
=
以下同于例3
=
=+96
=
=
（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式
评析：
通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。
可以设x2+3x=a，会有a（a+2）-24，此时已易于分解
解：
x（x+1）（x+2）（x+3）-24
=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]-24
=
=
=
=
（25）把分解因式
评析：
不要急于展开，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。
解：
=
=
（26）把分解因式
评析：
我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和（c+d）。
据此可把它们看作为一个整体。
解：
=
=
=
=
（27）把分解因式
评析：
把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体（1+a）
解：
=
=
=
（28）把分解因式
评析：
此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到
此时可设
再用待定系数法求出m和n
解：
设
=
比较两边对应系数得到
m+2n=2①
-3n+2m=11②
mn=-4③
由①和②得到m=4，n=-1代入③也成立
∴=（2x-3y+4）（x+2y-1）
（29）把分解因式
解：
=
=（x+4y+m）（x-2y+n）
=
有m+n=-4①
4n-2m=-10②
mn=3③
由①和②得到m=-3，n=-1代入③也成立
∴=（x+4y-3）（x-2y-1）
（30）当x+y=2时，求的值
评析：
∵x+y=2这是唯一的条件。
∴要从中找到x+y或有关（x+y）的表达式
解：
=（x+y）（）+6xy
∵x+y=2
∴原式==
=2=8
（31）己知=2求的值
解：
=
∵=2
∴原式=2[
（2）2-3]=2
（32）己知x-y=2，求的值
解：
=
=
（x-y）-3a
=（x-y）+2a
∵x-y=a
∴原式=
【综合练习题】∶
一、一、填空（每空1分，共15分）
1、把一个多项式化为的形式，叫做因式分解。
2、（）+2ab+1=（）2
3、因式分解=（）-4x2=（）2-（）2=（）（）
4、二次三项式=（）（）
5、立方和8（a-b）3+27=（）（）
6、（n是大于2的整数）中，各项的公因式是（）
7、己知x2-2xy+1是完全平方式，则y=
8、（3x-y）（）=27x3-y3
二、选择题（四选一；每题3分，共15分）
1、多项式作因式分解，结果为（）
A、B、C、D、
2、2-x和3+x同是下面某多项式的因式，它是（）
A、6+x-x2B、6-x+x2C、x2+x+6D、6-x-x2
3、因式分解时，正确分组方法有（）
A、1种B、2种C、3种D、4种
4、因式分解时，正确分组方法有（）
A、1种B、2种C、3种D、4种
1、1、若将（2x）n-81分解后得，那么n的值为
A、2B、6C、4D、8
三、把下列各式分解因式（每小题3分，共15分）
1、2、3、
4、5、
四、利用因式分解计算（每小题3分，共15分）
1、17.52-12.522、83×773、1.222×9-1.332×44、1012
5、16.8×+7.6×
五、求值（每小题3分，共15分）
1、己知a+b=-3,ab=-2，求
2、己知x+y=-2，a+b=，，求的值
六、把下列各式分解因式（每小题3分，共15分）
1、2、
3、4、
5、（）（-9）+18
七、己知a、b、c均大于0，任意两个数之和大于第三个数，试确定的值的符号（5分）
答案
一、1、n个整式的积2、
3、4、（2x-y）（3x+5y）
5、
=
6、7、y=18、
二、
1、B2、D3、A4、B5、C
三、
1、2、（xy+8）（xy-3）3、
4、5、
四、
1、1502、63913、原式=（3×1.22）2-（2×1.33）2再往下做结果6.324、10201
5、原式化为结果15
五、
1、解：
∵a+b=-3，ab=-2代入上式∴原式=（-2）[（-3）2-4×（-2）]=-2×[9+8]=-34
2、解：
∵
代入上式∴原式=
六、
1、
2、
3、
4、
5、
七、解：
=
=
=
==
∵a>0，b>0，c>0，a+c>b，a+b>c，b+c>a
8
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