中考数学考点跟踪训练24-矩形.doc

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考点跟踪训练24　矩形、菱形和正方形

一、选择题

1．（2011·滨州）如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：

①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　一定能拼成的是邻边不等的矩形、等腰梯形、有一个角为锐角的菱形．

2．（2011·衢州）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形，若测得∠FAG＝110°，则∠FBD＝（　　）

A．35°B．40°C．55°D．70°

答案　C

解析　在△ABC中，AB＝AC，∠FAG＝110°，

∴∠ABC＝＝35°.

又∵∠DBC＝90°，

∴∠FBD＝180°－∠ABC－∠DBC＝55°.

3．（2011·绵阳）下列关于矩形的说法中正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分的四边形是矩形

C．矩形的对角线互相垂直且平分

D．矩形的对角线相等且互相平分

答案　D

解析　矩形的对角线相等且互相平分．

4．（2011·兰州）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为（　　）

A．16B．17C．18D．19

答案　B

解析　如图，S1占三角形面积的，

∴S1＝×＝9；

S2占三角形面积的，

∴S2＝×＝8；

所以S1＋S2＝9＋8＝17.

5．（2011·重庆）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3.其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　经过折叠，有△ADE≌△AFE，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG；设BG＝FG＝x，则CG＝6－x，EG＝2＋x，EC＝4，由勾股定理，得（2＋x）2＝42＋（6－x）2，解之，得x＝3，所以CG＝BG＝3；画FH⊥GC于H，△GFH∽△GEC，有＝＝，＝＝，∴FH＝，GH＝.在Rt△CFH中，tan∠FCG＝＝＝2，在Rt△ABG中，tan∠AGB＝＝2，∴∠FCG＝∠AGB，∴AG∥CF；S△FGC＝GC·FH＝×3×＝≠3；

故结论①、②、③正确．

二、填空题

6．（2011·黄冈）如图：

矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为________．

答案　

解析　在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝8，所以AB＝6，故五个小矩形的周长之和等于矩形ABCD的周长28.

7．（2011·南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为________cm2.

答案　2

解析　在Rt△ADF中，AD＝2，AE＝AB＝1，所以DE＝，S菱形ABCD＝AB·DE＝2×＝2cm2.

8．（2011·绵阳）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________cm.新课标第一网

答案　2

解析　因为折叠，设DF＝D′F＝x，则FC＝8－x，D′C＝AD＝4，在Rt△D′FC中，由勾股定理，得x2＋42＝（8－x）2，解之，得x＝3.连接AC交EF于点O，由折叠得∠FOC＝90°，在Rt△FCO中，CO＝AC＝×＝2，所以EO＝＝，EF＝2EO＝2.

9．（2011·广东）如图1，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2）；以此下去……，则正方形A4B4C4D4的面积为______________．

答案　625

解析　因为正方形ABCD的面积为1，所以AB＝1，AB1＝2，正方形A1B1C1D1的面积等于12＋22＝5；同理，正方形A2B2C2D2的面积等于（）2＋

（2）2＝25；正方形A3B3C3D3的面积等于52＋102＝125；正方形A4B4C4D4的面积等于（5）2＋（10）2＝625.

10．（2011·德州）长为1，宽为a的矩形纸片（

答案　或

解析　由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1－a，所以第二次操作时正方形的边长为1－a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1－a,2a－1.此时，分两种情况：

①如果1－a＞2a－1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a－1.

则2a－1＝（1－a）－（2a－1），解得a＝；

②如果1－a＜2a－1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1－a.

则1－a＝（2a－1）－（1－a），解得a＝.

故答案为或.

三、解答题

11．（2011·广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF.

求证：

△ACE≌△ACF.

解　证明：

∵AC是菱形ABCD的对角线，

∴∠CAE＝∠CAF.

在△ACE和△ACF中，

AE＝AF，∠CAE＝∠CAF，AC＝AC，

∴△ACE≌△ACF.

12．（2011·衢州）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC.

（1）求证：

AD＝EC；

（2）当∠BAC＝Rt∠时，求证：

四边形ADCE是菱形；

（3）在

（2）的条件下，若AB＝AO，求tan∠OAD的值．

解　

（1）解法一：

证明：

∵DE∥AB，AE∥BC，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BD，且AE＝BD.

又∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD，

∴AE∥CD，且AE＝CD，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∴AD＝CE.

解法二：

证明：

∵DE∥AB，AE∥BC，

∴四边形ABDE是平行四边形，∠B＝∠EDC.

∴AB＝DE.

又∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD.

∴△ABD≌△EDC（SAS）．

∴AD＝EC.

（2）解法一：

证明：

∵∠BAC＝Rt∠，AD是斜边BC上的中线，

∴AD＝BD＝CD.

又∵由

（1）得四边形ADCE是平行四边形，

∴四边形ADCE是菱形．

解法二：

证明：

∵DE∥AB，∠BAC＝Rt∠，

∴DE⊥AC.

又∵由

（1）得四边形ADCE是平行四边形，

∴四边形ADCE是菱形．

解法三：

证明：

∵∠BAC＝Rt∠，AD是斜边BC上的中线，

∴AD＝BD＝CD.

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE＝BD＝CD.

又∵AD＝EC，

∴AD＝CD＝CE＝AE.

∴四边形ADCE是菱形．

（3）解法一：

解：

∵四边形ADCE是菱形，

∴AO＝CO，∠AOD＝90°.

又∵BD＝CD，

∴OB是△ABC的中位线，则OD＝AB.

∵AB＝AO，

∴OD＝AO.

∴在Rt△AOD中，tan∠OAD＝＝.

解法二：

解：

∵四边形ADCE是菱形，

∴AO＝CO＝AC，AD＝CD，∠AOD＝90°.

∵AB＝AO，

∴AB＝AC.

∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝.

∵AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA.

∴tan∠OAD＝tan∠ACB＝.

13．（2011·南京）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F.

（1）求证：

△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE.求证：

四边形ABEC是矩形．

解　

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠ABF＝∠ECF.

∵EC＝DC,∴AB＝EC.

在△ABF和△ECF中，

∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，

∴△ABF≌△ECF.

（2）解法一：

∵AB＝CD＝EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形．

∴AF＝EF,BF＝CF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D.

又∵∠AFC＝2∠D，

∴∠AFC＝2∠ABC.

∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，

∴∠ABF＝∠BAF.

∴FA＝FB.

∴FA＝FE＝FB＝FC,

∴AE＝BC.∴▱ABEC是矩形．

解法二：

∵AB＝EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE.

又∵∠AFC＝2∠D，

∴∠AFC＝2∠BCE.

∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，

∴∠FCE＝∠FEC.

∴∠D＝∠FEC.∴AE＝AD.

又∵CE＝DC，

∴AC⊥DE.即∠ACE＝90°.

∴▱ABEC是矩形.

14．（2011·宁波）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.

（1）求证：

DE∥BF；

（2）若∠G＝90°，求证：

四边形DEBF是菱形．

解　

（1）证明：

在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.

∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DF＝DC，BE＝AB，

∴DF∥BE，DF＝BE.

∴四边形DEBF为平行四边形．

∴DE∥BF.

（2）证明：

∵AG∥BD，

∴∠G＝∠DBC＝90°.

∴△DBC为直角三角形．

又∵F为边CD的中点，

∴BF＝CD＝DF.

又∵四边形DEBF为平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形．