渭南实验初中八年级数学竞赛试题答案.doc
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1、分解因式（x-3）（x+4）（x-5）（x+6）+80.
分析：
这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把（x-3）（x+4）（x-5）（x+6）分组为[（x-3）（x+4）][（x-5）（x+6）]=（x2-x-12）（x2-x-30），从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设m=[（x2-x-12）+（x2-x-30）]=x2-x-21，则x2-x-12=m+9，x2-x-30=m-9，原式变形为
（m+9）（m-9）+80
=m2-81+80
=m2-1
=（m+1）（m-1）
=（x2-x-21+1）（x2-x-21-1）
=（x2-x-20）（x2-x-22）
=（x+4）（x-5）（x2-x-22）.
2、已知M＝、N＝，用“+”或“－”连结M、N,有三种不同的形式，M＋N、M－N、N－M，请你任取其中一种进行计算，并化简求值，其中x︰y=5︰2．
解析：
本题有三种选择，只写一种即可．
如，
当∶=5∶2，即，原式=．
3．（8分）蕲春红人电器行“家电下乡”指定型号的冰箱彩电的进价和售价如右表所示：
⑴按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴；农民蕲大伯到该电器行购买了冰箱一台，彩电两台，可以享受多少元的政府补贴？
（2分）
⑵为满足农民需求，红人电器行决定用不超过85000元采购冰箱和彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的．
①请你帮助该电器行设计相应的进货方案；（3分）
②哪种进货方案电器行获得的利润最大？
（利润＝售价－进价）最大利润是多少？
（3分）
类别
冰箱
彩电
进价（元/台）
2320
1900
售价（元/台）
2420
1980
13．（8分）⑴（2420＋1980×2）×13%＝829.4 2分
⑵①设冰箱采购x台，则彩电采购（40－x）台，根据题意得
解不等式得：
4分
∵x为正整数，∴x＝19，20，21
∴该商场共有3种送货方案
冰箱买台
彩电买台
方案1
19
21
方案2
20
20
方案3
21
19
5分
②设商场获得总利润y元，根据题意得：
y＝（2420－2320）x＋（1980－1900）（40－x）＝20x＋3200 7分
∵20＞0，∴y随x的增大而增大
∴当x＝21时，y最大＝3620元
故方案3利润最大，最大利润是3620元 8分
4.解方程：
.解：
原方程化为
方程两边通分，得
化简得
解得
经检验：
是原方程的根。
5、一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
解：
设这列火车的速度为x千米/时
根据题意，得
方程两边都乘以12x，得
解得
经检验，是原方程的根
答：
这列火车原来的速度为75千米/时。
6、已知a是非零整数，且，试解方程。
解：
不等式组化为
，从而，1。
当时
方程无解
当时
方程即为
解之得
7、在中，三边a,b,c满足
求证：
证明：
8、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于E，且BC＝BD，对角线AC、BD相交于G，AC、BE相交于F。
求证：
。
分析：
由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。
根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线，于是连结FD得FD＝FC，再证△FDG∽△FAD即可。
9、、 如图所示，某校计划将一块形状为锐角△ABC的空地进行生态环境改造，已知△ABC的边BC长为120m，高AD长80m，学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分，现计划在△AHG上种草，在△BHE、△GFC上种花。
问：
当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
分析：
如图2，四边形EFGH为矩形，则GH∥BC，AK⊥GH，
设FG=x，AK=AD－FG=80—x
由△AHG∽△ABC， 即，
HG=120－x，又BE+FC=BC－EF=BC—HG=x
由S△AHG=S△BHE+S△GFC，
（120－x）（80—x）=·x·x 解得x=40
即FG长40米时，种草的面积与种花的面积相等。
9、如图，花丛中有一路灯杆AB在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米，如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）
解析：
根据题意得，AB⊥BH，CD⊥BH，
FG⊥BH，则AB∥CD∥FG，
得到Rt△ABE∽Rt△CDE，
∴①，同理②
又CD=FG=1.7米，DE=3米，DGF=GH=5米，由①、②可得，解得
BD=7.5米，将BD=7.5米代入①，得AB＝5.95米≈6.0米，即路灯杆AB高约6.0米．
说明：
同光线下的影子的计算类问题，多需要用到相似形问题．
11、 如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地。
当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上。
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
图9
（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？
解：
（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC
∴∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠BCA
∴△BDE∽△BAC
（2），王刚到E点的时间为，张华追赶王刚的速度是。
12、 小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：
“真可惜！
我只能将你最高翘到1米高，
如果我俩各边的跷跷板再伸长相同的一段长度，那么我就能翘
到1米25，甚至更高！
”
（1）你认为小胖的话对吗？
请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？
试说明．
解：
（1）小胖的话不对．
小胖说“真可惜！
我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示，是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，是地面．
∵，，，
∴．∴．
又∵此跷跷板是标准跷跷板，，
∴，而米，得米．
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为米．如图2所示，米，米．
∵，∴，即．
∴，同理可得．
∴，由米，得米．
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高．
（2）方案一：
如图3所示，保持长度不变．将延长一半至，即只将小瘦一边伸长一半．使，则．
由，得，∴米．
方案二：
如图4所示，将支架升高米．
，，又因为米．
∴，∴米．
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