中考专题复习最短路径问题.doc
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中考专题复习——路径最短问题
一、具体内容包括：
蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；
A
B
线段（之和）最短问题；
二、原理：
两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化）
三、例题：
例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。
A
B
C
D
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
张村
李庄
A
B
L
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
张村
李庄
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
四、练习题（巩固提高）
（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
A
B
A
B
A
B
C
D
A
第3题
第2题
第1题
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。
第4题第5题第6题第7题
5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。
⌒
⌒
⌒
6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD=2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为_______。
（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。
9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。
10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。
11、如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．
第11题第14题第15题
13、△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于．
14、如图，菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为___________.
15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。
试画出图形，并说明理由。
17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：
B′、C′；
归纳与发现：
（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：
坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
18、几何模型：
条件：
如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：
在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：
作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；
（2）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；
O
A
B
P
R
Q
图3
（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
O
A
B
C
图2
P
A
B
E
C
B
D
图1
A
B
′
P
l
19、问题探究
（1）如图①，四边形是正方形，，为边的中点，为上的一个动点，求的最小值；
（2）如图②，若四边形是菱形，，，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；
A
D
B
C
A
D
B
C
E
P
A
C
D
B
问题解决（3）如图③，若四边形ABCD是矩形，，，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；
20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。
，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在
（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？
若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：
本题中的结果均保留根号）
解：
（1）过点B作BD⊥轴于点D，由已知可得：
OB=OA=2，∠BOD=60。
.在Rt△OBD中，∠ODB=90。
，∠OBD=30。
.
∴OD=1，DB=
∴点B的坐标是（1，）.
（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：
解得：
∴所求抛物线解析式为
（3）存在.
由配方后得：
∴抛物线的对称轴为=－1.
（也写用顶点坐标公式求出）
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小.
∵点O与点A关于直线=－1对称，有CO=CA.
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.
设直线AB的解析式为
解得：
∴直线AB的解析式为
当=－1时，∴所求点C的坐标为（－1，）.
21、D
O
x
y
B
E
P
A
C
如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．
判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，
若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）由题意知
解得，-------------3分
（列出方程组给1分，解出给2分）
∴抛物线的解析式为-----------4分
（2）设点A（，0），B（，0），则，
解得-------------5分
∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝
∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°----------6分
由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD
∴四边形ADBC是平行四边形----------------------------7分
又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形--------------------------8分
（3）延长BC至N，使．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．
即最小．
∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN
∴FD+FB＝FD+FN．
∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．---------------------10分
又∵C为BN的中点，∴（即F为AC的中点）．
又∵A（－1，0），C（0，－）∴点F的坐标为F（，）
∴存在这样的点F（，），使得△FBD的周长最小．---12分
22.已知：
直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．
y
x
O
D
E
A
B
C
答案：
（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得
解得
∴抛物线的解折式为．3分
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为，
则E（，）．
又∵点E在直线上，E
y
A
F
C
B
∴．
解得（舍去），．
∴E的坐标为（4，3）．4分
过E作轴于，设P（b,0）．
由，得．
．
由得．
解得，．
∴此时的点P的坐标为（1，0）或（3，0）．6分
（3）抛物线的对称轴为．∵B、C关于对称，∴．
要使最大，即是使最大．8分
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．
易知直线AB的解折式为．
∴由得∴M（，－）．10分
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