中考数学专题：几何图形证明与计算题分析.doc
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2016中考数学专题复习：
几何图形证明与计算题分析
几何图形线段长度计算三大方法：
“勾股定理”“相似比例计算”“直角三角形中的三角函数计算”
1.（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。
（1）求证：
AE是⊙O的直径；
（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。
（结果保留π与根号）
O
A
E
C
B
D
图10
O
A
E
C
B
D
图9
（1）证明：
如图2，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点∴
∴CA＝CB，又∵CD＝CA
∴CB＝CD＝CA，∴在△ABD中，
∴∠ABD＝90°，∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径.
O
A
E
C
B
D
图2
O
A
E
C
B
D
图3
（2）解：
如图3，由
（1）可知，AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，∵⊙O的半径为5，AC＝4，
∴AE＝10，⊙O的面积为25π，
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
∴S△ACE＝
∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝
2.（2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，[来源:
学科网]点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。
（1）求证：
AG＝C′G；
（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。
G
图5
A
B
D
C
E
C′
N
M
图4
A
B
D
C
C′
G
图11
A
B
D
C
C′
G
G
图12
A
B
D
C
E
C′
N
M
（1）证明：
如图4，由对折和图形的对称性可知，
CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°∴AB＝C′D，∠A＝∠C′
在△ABG和△C′DG中，∵AB＝C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD∴△ABG≌△C′DG（AAS）
∴AG＝C′G
（2）解：
如图5，设EM＝x，AG＝y，则有：
C′G＝y，DG＝8－y，，
在Rt△C′DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6，
∴C′G2＋C′D2＝DG2即：
y2＋62＝（8－y）2
解得：
∴C′G＝cm，DG＝cm
又∵△DME∽△DC′G∴，即：
解得：
，即：
EM＝（cm）∴所求的EM长为cm。
【典型例题分析】
1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是.
解答：
∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，如图1：
当E在线段AD上时，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，∴△MAE∽△MCB，∴；如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11，∴△MAE∽△MCB，∴．∴的值是或．故答案为：
或．
2.（2011重庆江津区）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．
解答：
解：
连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB，∵AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，∴EG＝GB，EB＝2EG，BG＝＝＝，设D（x，y），则有：
OD﹣OF＝AD﹣AF，AE﹣AF＝BE﹣BF即：
8﹣x＝（2BG）﹣（8﹣x），解得：
x＝，y＝EF＝，∴E点的坐标为：
．故答案为：
．
3.如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：
EF的值是（）A、B、C、D、
解答：
分析：
容易看出∽得
即。
而根据正方形的性质，易知，如图，把FE平移至CG的位置，
由有，解：
选C。
A
B
C
D
F
P
E
Q
A
B
C
D
F
P
E
Q
G
4.（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）A、 B、 C、 D、6
解答：
∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=CO，BE=OE，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=（3）2+32，得x=，∴AE=EC=3﹣=2．选A．
5.（2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 ．
解答：
解：
连接EB，∵BD垂直平分EF，
∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，
在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：
x2+32=（4﹣x）2，
解得：
x=故答案为：
cm．
6.如图，在中，。
将绕点C逆时针旋转30°得到，与AB相交于点D。
求BD的长。
解：
如图
（2），作于点G，设BD=，中，在中，，
。
即
解得。
的长为。
7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若于点F，且AF平分求的值。
A
B
E
D
C
F
G
解答：
首先，在中，
剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数式。
为此，去研究相应的条件：
①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD，BE=CD），可知：
AC=BD=EC；②由知且AF平分得是等腰三角形，设AF交BD于点G，则③由BG//EC，知∽,
如此一来，当然就有。
8.如图，把一副三角板如图
（1）放置，其中，，斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图
（2），这时AB与相交于点，与AB相交于点F。
（1）求的度数；
（2）求线段的长；
A
C
B
F
O
G
（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到，这时点B在的内部，外部，还是边上？
证明你的判断。
（3）
解答：
分析：
对于
（1），如图（3），设CB与相交于点G，则可通过与内角的关系，求得的值；对于
（2），可先推出，并导出的长；
对于（3），设直线CB交于，应在中计算出的长，为此为基础进行判断。
解：
（1）设CB与相交于点G，如图（3），则：
。
（2）连结，
又。
在。
（3）点B在内部，理由如下：
设BC（或延长线）交于点，
在，又，即点B在内部。
9.（2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．
（1）求证：
；
（2）若，，求的长．
【答案】
（1）证明：
是直径是的切线，切点为
（2）
10．（2010河南）
（1）操作发现：
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？
说明理由．
（2）问题解决保持
（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
A
E
D
B
C
F
G
（3）类比探求：
保持
（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．
【答案】⑴同意，连接EF，则∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF．
∴Rt△EGF≌Rt△EDF．∴GF＝DF．
⑵由⑴知，GF＝DF．设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y.
∵DC＝2DF，∴CF＝x，DC＝AB＝BG＝2x．∴BF＝BG＋GF＝3x．
在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋x2＝（3x）2．∴y＝2x，∴．
⑶由⑴知，GF=DF，设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y．∵DC＝n·DF，∴DC＝AB＝BG＝nx．∴CF＝（n－1）x，BF＝BG＋GF＝（n＋1）x．在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[（n－1）x]2＝[（n＋1）x]2．∴y＝2x．∴（或）
11.如图，已知：
C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.
（1）求证：
点F是BD中点；
（2）求证：
CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
[解析]
（1）证明：
∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD
（2）方法一：
连接CB、OC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线
（3）解：
由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC可证得：
FA＝FG，且AB＝BG由切割线定理得：
（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2
在Rt△BGF中，由勾股定理得：
BG2＝FG2－BF2 由、得：
FG2-4FG-12=0解之得：
FG1＝6，FG2＝－2（舍去）∴AB＝BG＝∴⊙O半径为2
12..如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.
（1）求证：
是半圆的切线；
（2）若，，求的长.B
DA
OA
HA
CA
EA
MA
FA
A
解答：
（1）证明：
连接EC，∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4∴∠4＝∠5＝∠3，又∵E为弧CF中点，∴∠6＝∠7，
∵BC是直径，∴∠E＝90°，∴∠5＋∠6＝90°，又∵∠AHM＝∠E＝90°，∴AD∥CE，
∴∠2＝∠6＝∠1，∴∠3＋∠7＝90°，又∵BC是直径，∴AB是半圆O的切线；
（2）∵，。
由
（1）知，，∴.
在中，于，平分，∴，∴.
由∽，得.∴，∴
13．（2011成都）已知：
如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB．⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：
AE＝CK；
（2）如果AB＝a，AD＝（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长．
解答：
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵BK⊥AC，DH∥KB，∴∠BKC＝∠AED＝90°，∴△BKC≌△ADE，∴AE＝CK；
（2）∵AB＝a，AD＝＝BC，∴
∵BK⊥AC，∴△BKC∽△ABC，∴，∴，∴BK＝a，∴BK＝a．
（3）连接OF，∵ABCD为矩形，∴，∴EF＝ED＝×6＝3，∵F是EG的中点，∴GF＝EF＝3，∵△AFD≌△HBF，∴HF＝FE＝3＋6＝9，∴GH＝6，∵DH∥KB，ABCD为矩形，∴AE2＝EF•ED＝3×6＝18，∴AE＝3，
∵△AED∽△HEC，∴，∴AE＝AC，∴AC＝则AO＝．
14.（2011•綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：
△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．
解答：
解：
（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，∴∠DAC=30°，∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°，∴CH=BC=×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3，∴PQ=6．
15.（2010湖北省荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点
（1）求证：
AC·CD＝PC·BC；
第15题图
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？
并求这个最大面积S．
答案23．解：
（1）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．
∴AC·CD＝PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．
又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．
从而PC＝PE＋EC＝．由
（1）得CD＝PC＝
（3）当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由
（1）可知，CD＝PC．
∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．
16．（2010安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。
（1）求证：
PM=PN；
（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
【答案】
（1）证明：
连结OM,∵MP是⊙O的切线，∴OM⊥MP∴∠OMD+∠DMP=90°∵OA⊥OB，∠OND+∠ODM=90°
∵∠MNP=∠OND,∠ODN=∠OMD∴∠DMP=∠MNP∴PM=PN
（2）解：
设BC交OM于E,∵BD=4,∴OA=OB=2,∴PA=OA=3
∴PO=5∵BC∥MP,OM⊥MP,∴OM⊥BC,∴BE=BC∵∠BOM+∠MOP=90°,在Rt△OMP中，∠MPO+∠MOP=90°
∴∠BOM=∠MPO.又∵∠BEO=∠OMP=90°∴△OMP∽△BEO∴∴,∴BE=∴BC=
F
E
AD
BC
N
M
E
AD
BC
N
M
17．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：
△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
【答案】解：
⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：
连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.
8
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