专题中点的妙用(初三数学).doc
《专题中点的妙用(初三数学).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题中点的妙用(初三数学).doc（34页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
方法专题:
中点的妙用
联想是一种非常重要的数学品质。
善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。
同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？
学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7、倍长中线
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
中点辅助线模型
一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）
A．B．C．D．
N
M
B
O
C
A
二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。
且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.
3、如图，正方形的边长为2,将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为（）
A.2B.4－
C.D.
三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）
如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？
5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）
如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长
6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）
如图所示，AB∥CD，BC∥AD，DE⊥BE，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？
7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）
如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.
求证：
△SPQ是等边三角形。
四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）
8、如图：
梯形ABCD中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
E为AB中点，求证：
DE⊥EC
9、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，
（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；
（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。
（1）中得到的两个结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明
A
B
C
D
F
G
E
M
图乙
图甲
B
A
C
E
D
F
G
M
B
D
C
A
五、有中点时常构造垂直平分线
10、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.AC=BC。
求证：
△ADC为等边三角形。
六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）
11、
（1）探索：
已知的面积为，
①如图1，延长的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若的面积为，则=（用含的代数式表示）
②如图2，延长的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，若的面积为，则=（用含的代数式表示）
③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD，FE,得到（如图3），若阴影部分的面积为，=（用含的代数式表示）
⑵发现：
像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到（如图4），此时，我们称向外扩展了一次。
可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的倍
⑶应用：
如图5，若△ABC面积为1，第一次操作：
分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1.第二次操作：
分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2，第三次操作…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要经过 次操作.
12、如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE，
求证：
S△ABE=S四边形ABCD。
13、如图，M是ABCD中AB边的中点。
CM交BDD
C
B
M
A
E
于点E,则图中阴影部分面积与ABCD面积之比为
14、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于：
A、B、C、D、
七、倍长中线
15、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。
求证：
AB⊥AD
16、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：
AB+AC>AD+AE
17、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，
求证：
△DEF为等腰直角三角形。
八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
18、半径是5cm的圆中，圆心到8cm长的弦的距离是________
19、半径为的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，
最长弦是__________，
20、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
21、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10cm和8cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.
22、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，
求：
CD的长；
23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。
为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。
请你帮他们求出A
B
C
滴水湖的半径。
倍长中线：
1．（2011平谷二模）24.已知：
如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，
过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：
EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
通过观察你还能得出什么结论？
（均不要求证明）
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图②
②遇到中点引发六联想
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
例1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于【】
A．B．C．D．
分析：
由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。
解:
连接AM，∵AB=AC=5,点M为BC中点∴AM⊥BC，
在直角三角形AMC中，AC=5，CM=BC=3,∴AM==4，
S△ABC=×BC×AM=×6×4=12,S△ACM=S△ABC=6；
∴6=×AC×MN，∴MN=.所以，选择C。
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
求证：
四边形EFGD是等腰梯形。
分析：
由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FG∥BC,FE∥AC，FE=AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。
证明：
∵点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，∴FG∥BC，FE∥AC，FE=AC，
∵AD是三角形的高，∴△ADC是直角三角形，
∵DG是斜边上的中线，∴DG=AC，∴DG=EF,∴梯形EFGD是等腰梯形。
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
例1求证：
顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。
已知：
如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：
四边形EFGH是平行四边形。
分析：
由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。
证明：
连接AC，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形
例4、如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE。
求证：
S△ABE=S四边形ABCD。
分析：
如果直接证明，是不容易，联想到AD∥BC，点E是CD的中点，我们延长AE，与BC的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，
并且这对三角形是全等的。
这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。
证明：
如图7所示，延长AE，与BC的延长线交于点F，
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
又∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE，∴AE=EF，∴S△ABE=S△BEF，
∵S△BEF=S△BEC+S△ECF=S△BEC+S△ADE，∴S△ABE=S△BEC+S△ADE，
∵S△ABE+S△BEC+S△ADE=S四边形ABCD，∴2S△ABE=S四边形ABCD，∴S△ABE=S四边形ABCD。
5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
例5、如图8所示，是⊙O的弦，点是AB的中点，若，，则⊙O的半径为cm．
分析：
由点C是AB的中点，联想到圆的垂径定理，知道OC⊥AB，这样在直角三角形AOC中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。
解：
∵点C是AB的中点，∴OC⊥AB，∵AB=8,∴AC=4
在直角三角形AOC中，AC=4,OC=3,∴OA==5（cm），因此，圆的半径是5cm。
6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等
例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于：
【】
A、B、C、D、
分析：
如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。
解：
如图10所示，连接BG，∵E是线段AB的中点，∴S△AEG=S△BEG=x，S△BGF=S△GCF=y，
设AB=2a，BC=2b，=2a×2b=4ab，
根据题意，得：
2y+x=×BC×BE=ab，2x+y=×BA×BF=ab，∴2x+y=2y+x，即x=y=，
∴4x==，∴S四边形AGCD=∴等于，所以，选D。
几何必考辅助线之中点专题
专题性总结
²中点专题
²角平分线专题
²截长补短专题
中点专题——看到中点该想到什么？
1．两条线段相等，为全等提供条件
2．中线平分三角形的面积
3．倍长中线
4．中位线
5．斜边上的中线是斜边的一半
【例1】（2008北京）如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC。
若∠ABC＝∠BEF＝60°，
⑴探究PG与PC的位置关系及的值。
⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图）。
你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明。
【例2】如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，
求证：
MF＝（AC－AB）。
【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，
求证：
∠ACB＝2∠B。
中点专题——看到中点该想到什么？
1．两条线段相等，为全等提供条件
2．中线平分三角形的面积
3．倍长中线
4．中位线
5．斜边上的中线是斜边的一半
中点问题探究
（1）
B
E
D
M
C
A
1、已知如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD的延长线于E，M是BC的中点，求证：
ME=
B
F
G
O
E
C
D
A
2、已知如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，
（1）判断EF和DG有何关系并证明；
（2）求证：
。
3、已知如图，在四边形ABCD中，EF分别为AB、CD的中点；
（1）求证：
EF＜
（2）四边形ABCD的周长不小于EF的四倍
（3）EF交BD、AC分别于P、Q，若AC=BD，求证：
△OPQ为等腰三角形。
P
Q
O
F
E
A
D
C
B
A
4、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E为CD的中点，求证：
AE⊥BE。
E
D
C
B
A
5、如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点。
·
E
N
M
D
C
B
A
求证：
MN∥AD
6、如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向形外作Rt△ABD，和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，M是BC的中点，
（1）求证：
DM=ME；
（2）求∠DME的度数。
M
C
B
D
E
A
C
N
M
B
A
7、如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，求△ABC的周长。
中点问题探究
（2）
8、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点。
O
G
F
E
D
C
B
A
求证：
（1）BE⊥AC
（2）EG=EF
D
E
C
B
A
9、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD求证：
CD=2EC。
10、点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G顺次连结起来，设DEFG能构成四边形。
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：
四边形DEFG是平行四边形；
（2）当O点移动到△ABC外时，
（1）的结论是否成立？
画出图形，说明理由；
（3）若四边形DEFG是矩形，则点O所在的位置满足什么条件？
试说明理由。
F
E
O
G
D
C
B
A
11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高。
（1）求证：
四边形AEFD是平行四边形；
（2）设AE=x，四边形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式。
G
FA
E
D
C
B
A
12、
（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点，探究：
线段MD、MF的关系。
F
E
G
C
B
A
M
D
（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点，试问：
（1）中探究的结论是否成立？
若成立，请证明；若不成立，说明理由。
E
M
FA
G
C
D
A
B
图1图2
13、已知：
在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为∠BAC的平分线，交BD于E，BC于F．
求证：
OE=FC．
2012中考数学专题复习5
图形的中点问题
一. 知识要点：
线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。
涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
（2）三角形中位线定理；
（3）等腰三角形三线合一的性质；
（4）倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；
（5）平行四边形的性质与判定.
二.例题精选
1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。
例1. 如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE,M是AC的中点，求证：
△DEM是等腰直角三角形.
提示：
连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,
则∠DME=,得ΔMDM为等腰直角三角形
2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。
例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F．
求证：
∠DEN＝∠F．
提示：
连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。
则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。
∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．
3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。
例3. 已知：
如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交
AD于F，且AE=EF， 求证：
AC=BF
提示：
延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF
4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.
例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为 ．
提示：
延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF，
∴FH=
MF=
5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。
例5.如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则=______________
提示：
连接BG，∵ E是线段AB的中点，∴ S△AEG=S△BEG=x， S△BGF=S△GCF=y，
设AB=2a，BC=2b， =2a×2b=4ab，
根据题意，得：
2y+x=×BC×BE=ab， 2x+y=×BA×BF=ab，∴ 2x+y=2y+x，即x=y=， ∴ S四边形AGCD=4ab-4x= ∴ 等于，
三.能力训练
1. 已知AD是△ABC的角平分线，AB＝10，AC＝6，CN⊥AD于N，且M是BC的中点.则MN的长为_________.
2. 顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：
①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；
②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；
③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；
④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；
⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；
⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．
以上命题中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④.
3. 如图，在△ABC中，DC=4，BC边上的中线AD=2，AB+AC=3+，则S△ABC等于（ ）
升级会员 