图形规律.docx
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图形规律
类型二 图形规律
针对演练
一、图形累加规律探索
1.（2016荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（ ）
第1题图
A.671B.672C.673D.674
2.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
第2题图
A.21B.24C.27D.30
3.（2016重庆B卷）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（ ）
第3题图
A.43B.45C.51D.53
4.（2015曲靖）用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒________根．
第4题图
5.（2015深圳）观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第五个图有________个太阳．
第5题图
6.（2016安顺）观察下列砌钢管的横截面图：
第6题图
则第n个图的钢管数是__________（用含n的式子表示）．
【答案】
1．B 【解析】对于每个图中的白色纸片的个数，依次是4，7＝4＋3，10＝4＋3×2，…，那么，第n个图中的白色纸片的个数为4＋3×（n－1）＝3n＋1，令3n＋1＝2017，解得n＝672.
2．B 【解析】第①个图形有6个小圆圈，第②个图形有6＋3＝9个小圆圈，第③个图形有6＋3×2＝12个小圆圈，…，按照这个规律，第
个图形有6＋3（n－1）＝3n＋3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7＋3＝24个小圆圈．
3．C 【解析】图形①中星星的颗数为：
2＝1＋（2×1－1），图形②中星星的颗数为：
6＝（1＋2）＋（2×2－1），图形③中星星的颗数为：
11＝（1＋2＋3）＋（2×3－1），图形④中星星的颗数为：
17＝（1＋2＋3＋4）＋（2×4－1），…，图形
中星星的颗数为：
（1＋2＋…＋n）＋（2n－1）＝
＋2n－1，所以图形⑧中星星的颗数为：
＋2×8－1＝51.
4．29 【解析】
图形序号
火柴棒数量
图形序号与火柴棒数量的关系
1
5根
3×1＋2＝5
2
8根
3×2＋2＝8
3
11根
3×3＋2＝11
…
…
…
n
（3n＋2）根
3×n＋2＝3n＋2
∴第9个“H”所需的火柴棒的数量为3×9＋2＝29根．
5．21 【解析】∵所有图形中，第一行太阳的个数分别为1，2，3，4，…，n，∴第五个图形第一行太阳的个数为5，∵所有图形中，第二行太阳的个数分别为1，2，4，8，…，2n－1，∴第五个图形第二行太阳的个数为24＝16个太阳，∴第五个图形共有5＋16＝21个太阳．
6.
n2＋
n 【解析】
n
1
2
3
4
…
n
钢管数
3
9
18
30
…
…
规律
…
由表可知，第n个图的钢管数是
＝
n2＋
n.
（2016重庆八中初三（下）第三次月考）下列是由一些火柴搭成的图案：
图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑧个图案用火柴棒的根数为（ ）
第2题图
A.33B.32C.31D.30
3.（2015重庆B卷）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ）
第3题图
A.32B.29C.28D.26
4.（2014重庆B卷）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是（ ）
第4题图
A.22B.24C.26D.28
5.如图，下列图形是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第①个图形的周长为6，第②个图形的周长为8，第③个图形的周长为10，第④个图形的周长为12，按照这样的规律来摆放，则第⑧个图形的周长为（ ）
第5题图
A.18B.19C.20D.21
6.（2016天水改编）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，其中图①中“○”的个数为5个，图②中“○”的个数为7个，图③中“○”的个数为11个，图④中“○”的个数为17个，…，若图○,n）中有245个“○”，则n＝（ ）
第6题图
A.10B.12C.14D.16
7.（2016重庆外国语学校二诊）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第
（1）个图案需4根小木棒，拼搭第
（2）个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第（6）个图案需小木棒的根数是（ ）
第7题图
A.53B.54C.55D.56
8.（2016重庆江津中学初三下半期考试）用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第⑬个图案需要的黑色五角星的个数是（）
第8题图
A.18B.19C.21D.22
9.（2016重庆十一中一诊）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形中所有正三角形的个数有（ ）
第9题图
A.160B.161C.162D.163
10.（2016重庆巴蜀一诊）如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6cm2，第②个图形的面积为18cm2，第③个图形的面积为36cm2，…，那么第⑥个图形的面积为（ ）
第10题图
A.84cm2B.90cm2C.126cm2D.168cm2
11.（2016重庆西大附中第九次月考）下列图形都是用同样大小的♥按一定规律组成的，则第（8）个图形中♥共有（ ）
第11题图
A.80个B.73个C.64个D.72个
12.（20
16重庆一中三模）如图所示，图①中含“〇”的矩形有1个，图②“〇”的矩形有7个，图③中含“〇”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“〇”的矩形个数为（ ）
A.70B.71C.72D.73
13.（2016大渡口区诊断性检测）如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要棋子的枚数为（ ）
第13题图
A.115B.122C.127D.139
14.（2016重庆一中二模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为（ ）
第14题图
A.61B.63C.76D.78
15.（2016重庆巴蜀中学保送生考试）如图，各图都由同样大小
的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有一个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为（ ）
第15题图
A.60B.61C.62D.63
16.
（2016重庆一中第一次定时作业）已知四边形ABCD对角线相交于点O，若在线段BD上任意取一点（不与点B、O、D重合），并与A、C连接，如图①，则三角形个数为15个；若在线段BD上任意取两点（不与点B、O、D重合），如图②，则三角形个数为24个；若在线段BD上任意取三点（不与点B、O、D重合），如图③，则三角形个数为35个；…；以此规律，则图⑤中三角形的个数为（ ）
第16题图
A.48B.56C.61D.63
17.（2016徐州）如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．
第17题图
18.（2016安顺改编）观察下列砌钢管的横截面图：
第18题图
则第5个图形中钢管数为________个．
19.如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中花盆的个数为6个，第2个图案中花盆的个数为12个，第3个图案中花盆的个数为20个，…，则第8个图案中花盆的个数为________．
第19题图
20.（2016龙岩改编）用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图④中所示几何体的表面积为________．
第20题图
答案
类型一 探索图形累加规律
1.B 【解析】每个图形中白色纸片的个数依次是4，7，10，13，….那么，第n个图形中白色纸片的个数为3n＋1，∴第12个图形中白色纸片的个数
为3×12＋1＝37.
2.A 【解析】∵图①用了5根火柴，即5＝5＋4×0；图②用了9根火柴，即9＝5＋4×1；图③用了13根火柴，即13＝5＋4×2；…；以此规律，第
个图形中，火柴的根数为5＋4（n－1），故第⑧个图案用火柴棒的根数为5＋4×（8－1）＝33.
3.B 【解析】图①有2＋3×0＝2个黑色正方形；图②有2＋3×1＝5个黑色正方形；图③有2＋3×2＝8个黑色正方形；图④有2＋3×3＝11个黑色正方形，…，按照这个规律，图
有2＋3（n－1）个黑色正方形，故图⑩一共有2＋3×9＝29个黑色正方形．
4.C 【解析】第一个图形中有2个三角形：
6×1－4＝2；第二个图形中有8个三角形：
6×2－4＝8；第三个图形中有14个三角形：
6×3－4＝14；…；第n个图形中三角形的个数为：
6n－4，故第五个图形中三角形的个数为：
6×5－4＝26.
5.C 【解析】第①个图形的周长为6＋0×2＝6，第②个图形的周长为6＋1×2＝8，第③个图形的周长为6＋2×2＝10，第④个图形的周长为6＋3×2＝12，…，依此规律，可知第
个图形的周长为6＋（n－1）×2，所以第⑧个图形的周长为6＋7×2＝20.
6.D 【解析】图①中有1×（1－1）＋5＝5个“○”，图②中有2×（2－1）＋5＝7个“○”，图③中有3×（3－1）＋5＝11个“○”，图④中有4×（4－1）＋5＝17个“○”，…，据此得出：
图
中有n（n－1）＋5个“○”，则可得方程n（n－1）＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15（不合题意，舍去）．
7.B 【解析】观察图形可知，每个图案都是由横排小木棒和纵排小木棒搭建而成，且横排和纵排数相同，其中第
（1）个图案有2横排，每排有1个小木棒；第
（2）个图案有3横排，每排的小木棒个数分别为2，2，1；第（3）个图案有4横排，每排的小木棒个数分别为3，3，2，1；第（4）个图案有5横排，每排的小木棒个数分别为4，4，3，2，1，…；由此可推测第（n）个图案共有n＋1横排，每排木棒个数分别为n，n，n－1，n－2，…，2，1，故第（6）个图案共有7横排，每排的小木棒个数分别为6，6，5，4，3，2，1，共有27根，则对应的纵排也有27根小木棒，则搭建第（6）个图案共需要小木棒54根．
8.C 【解析】观察图形可以发现图①中黑色五角星的个数为1＋2＝3，图②中黑色五角星个数为1＋2＋1＝4，图③中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＝6，图④中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＝7，图⑤中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＋2＝9，…，则图
中，当n为奇数时，黑色五角星个数为
，当n为偶数时，黑色五角星个数为
，∴第⑬个图案需要的黑色五角星的个数为
＝21个．
9.B 【解析】第①个图形中正三角形的个数为：
1＋4，第②个图形中正三角形的个数为：
1＋4＋3×4，第③个图形中正三角形的个数为：
1＋4＋3×4＋9×4，…，第
个图形中正三角形的个数为：
1＋4＋3×4＋9×4＋…＋3n－1×4，∴第④个图形中正三角形的个数为1＋4＋3×4＋9×4＋34－1×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161.
10.C 【解析】∵所有的小矩形都是大小相同的，第①个图形是由2个小矩形组成，面积为6，∴每个小矩形的面积是3，∵第①个图形中有2个小矩形，第②个图形中有6个小矩形，第③个图形中有12个小矩形，12＝2＋4＋6＝2×（1＋2＋3），第④个图形中有20个小矩形，20＝2＋4＋6＋8＝2×（1＋2＋3＋4），则第
个图形中有2×（1＋2＋…＋n）个小矩形，故第⑥个图形中小
矩形的个数为2×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝42个，则其面积为42×3＝126cm2.
11.A 【解析】第
（1）个图形中♥的个数为3＝22－1；第
（2）个图形中♥的个数为8＝32－1；第（3）个图形中♥的个数为15＝42－1；第（4）个图形中♥的个数为24＝52－1；…，于是，第（n）个图形中♥的个数为（n＋1）2－1，所以第（8）个图形中♥的个数为92－1＝80（个），故选A.
12.B 【解析】图①中含“○”的矩形有1＝2×12－1个，图②中含“○”的矩形有7＝2×22－1个，图③中含“○”的矩形有17＝2×32－1个，…，按此规律，则图
中含“○”的矩形个数为2n2－1，所以图⑥中含“○”的矩形有2×62－1＝71个，故选B.
13.C 【解析】由题意可知，摆第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，摆第2个图案需要19＝1＋6＋6×2枚棋子，摆第3个图案需要37＝1＋6＋6×2＋6×3枚棋子，…，则摆第n个图案需要1＋6＋6×2＋6×3＋…＋6n＝3n（n＋1）＋1枚棋子，所以摆第6个图案需要：
3×6×（6＋1）＋1＝127枚棋子，故选C.
14.A 【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：
4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：
4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：
4×3－5＋3×2＝13个；…，依此规律，第
个图形中空心小圆圈个数为：
4n－（n＋2）＋n（n－1），∴第
⑦个图形中空心小圆圈个数为：
4×7－9＋7×6＝61个．
15.B 【解析】∵第①个图形中菱形个数为02＋12＝1个；第②个图形中菱形个数为12＋22＝5个；第③个图形中菱形个数为22＋32＝13个；第④个图形中菱形个数为32＋42＝25个，…，依此规律第
个图形中菱形个数为（n－1）2＋n2个，∴第⑥个图形中菱形个数为52＋62＝61个．
16.D 【解析】在图①中，线段BD上共有4个点，所得三角形的个数共15个，15＝16－1＝42－1；图②中，线段BD上共5个点，所得三角形的个数共24个，24＝25－1＝52－1；图③中，线段BD上共6个点，所得三角形的个数共35个，35＝36－1＝62－1，…，由此可猜想，图
中，线段BD上共有n＋3个点，所得三角形的个数为（n＋3）2－1，∴图⑤中三角形的个数为（5＋3）2－1＝63.
17.n（n＋1） 【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的小正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的小正方形的个数为n（n＋1）．
18.45 【解析】根据题意，可得
序号
1
2
3
4
钢管数
3
9
18
30
找规律
3×1
3×3＝3×（1＋2）
3×6＝3×（1＋2＋3）
3×10＝3×（1＋2＋3＋4）
综上可知，第5个图形中钢管数为3×（1＋2＋3＋4＋5）＝3×15＝45个．
19.90 【解析】观察可得，第1个图案：
正三角形每条边上有3个花盆，共计32－3个花盆；第2个图案：
正四边形每条边上有4个花盆，共计
42－4个花盆；第3个图案：
正五边形每条边上有5个花盆，共计52－5个花盆；…；由此可知第n个图案：
正（n＋2）边形每条边上有（n＋2）个花盆，共计（n＋2）2－（n＋2）个花盆，则第8个图案中花盆的个数为（8＋2）2－（8＋2）＝90.
20.60 【解析】图①几何体的表面积为：
6＝6×1；图②几何体的表面积为：
18＝6×（1＋2）；图③几何体的表面积为：
6×（1＋2＋3）＝36.由此规律得，图④几何体的表面积为：
6×（1＋2＋3＋4）＝60.
二、图形成倍递变规律探索
2.下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2016个梅花图案中，共有________个“
”图案．
3.如图，正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点；若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳后落在标有数字1的顶点上，…，则第2017次跳后所停的顶点对应的数字为__________．
第3题图
4.（2016三明）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，－1），P5（2，－1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是________．
第4题图
第5题图
5.（2016聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．
【答案】
1．B 【解析】∵菱形OABC的顶点坐标为O（0，0），点B的坐标是（2，2），∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是（1，1），∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点D就回到原来的位置（1，1），∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（－1，－1）．
2．504 【解析】观察图形可知，“
”图案方向依次向下、向左、向上、向右，每四个为一个循环周期．∵2016÷4＝504，∴前2016个梅花图案中，有504个“
”图案．
3．2 【解析】由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在2上．由2起跳，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上．由3起跳，是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上.2－1－3－5－2，周期为4，∵又由2017＝4×504＋1，∴经过2017次跳后它停在的点所对应的数为2.
4．（20，0） 【解析】将点P的横纵坐标分开来看，Pn的横坐标始终在变化且逐渐增大，而Pn的纵坐标变化呈周期变化，即1，1，0，－1，－1，0，所以每6个点P的纵坐标为一个循环，显然60÷6＝10，恰好能够整除，所以点P60的纵坐标为0，即在x轴上，显然P6，P12，P18，…，这些点的横坐标为：
2，4，6，…，所以点P6k的纵坐标为2k，∴点P60的横坐标为20，∴点P60的坐标为（20，0）．
5．（21008，0） 【解析】∵点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环，2016÷8＝252，∴点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OBn是正方形的对角线，OB1＝
，OB2＝2＝（
）2，OB3＝2
＝（
）3，…，∴OB2016＝（
）2016＝21008，∴点B2016的坐标为（21008，0）．
类型二 探索图形循环规律
针对演练
1.如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1m，一个微型机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2017m停下，则这个微型机器人停在（ ）
第1题图
A.A点 B.B点 C.C点 D.E点
2.（2016重庆八中强化训练一）将正六边形ABCDEF的各边按如图所示延长，从射线FA开始，分别在各射线上标记点O1，O2，O3，…，按此规律，则点O2016所在射线是（ ）
第2题图
A.ABB.DEC.BCD.EF
3.下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2017个梅花图案中，共有________个“
”图案．
第3题图
4.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是________．
第4题图
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1,1），B（-1,1），C（-1,-2），D（1,-2），把一根长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在矩形ABCD的边上，则细线的另一端落在________线段上
第
5题图
答案
类型二 探索图形循环规律
1.B 【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为1m，∴机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6m，∵2017÷6＝336……1，即正好行走了336圈多1米，到第二个点，∴行走2017m停下，则这个微型机器人停在B点．
2.C 【解析】观察图形可知12个点依次排列在射线FA、CD、AB、DE、BC、EF、CD、FA、DE、AB、EF、BC上，依此规律循环，又因2016÷12＝168，则点O2016在第12条射线BC上，故选C.
3.505 【解析】观察题图可知，“
”图案方向依次向上、向右、向下、向左，每四个图案为一个循环周期．∵2017÷4＝504……1，∴前2017个梅花图案中，共有505个“
”图案．
4.3 【解析】观察可知，点数3与点数4相对，点数2与点数5相对，且循环周期为4.∵2014÷4＝503……2，∴滚动2014次后与第二次相同，∴骰子朝下一面的点数为3.
5.CD 【解析】∵矩形四个顶点的坐标分别为：
A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∴矩形的周长为2＋3＋2＋3＝10，则循环一周所需的单位长度是10，∵2016÷10＝201……6，∴细线的另一端落在绕矩形第202圈的第6个单位长度的位置
，即是点C与点D的中间位置，即在线段CD上．
拓展类型 数式规律
针对演练
1.（2016张家界）观察下列等式：
71＝7，72＝42＋92＝97，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：
71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是（ ）
A.9 B.
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