新教材--2019-2020新课程同步人教B版高中数学必修第三册新学案-教师用书文档格式.doc
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角终边相同的角可表示为（其中k∈Z）（ ）
A．k·
＋230°
B．k·
＋250°
C．k·
＋70°
D．k·
180°
＋270°
选B ∵610°
＝360°
，∴610°
与250°
角的终边相同，故选B.
3．与－1560°
角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．
与－1560°
角终边相同的角的集合为{α|α＝k·
＋240°
，k∈Z}，所以最小正角为240°
，最大负角为－120°
240°
－120°
题型一 与任意角有关的概念辨析
[学透用活]
解读任意角的概念
三个要素：
顶点、始边、终边．
（1）用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．
（2）对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．
[典例1]
（1）下列说法正确的是（ ）
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的内角不是锐角就是钝角
C．锐角小于90°
D．第二象限的角一定大于第一象限的角
（2）期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了（ ）
A．360°
B．720°
C．－360°
D．－720°
[解析]
（1）－355°
是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；
三角形的内角可能是90°
，所以B错误；
锐角小于90°
，C正确；
45°
是第一象限角，－200°
是第二象限角，但45°
>
－200°
，所以D错误．故选C.
（2）因为分针转一圈（即1小时）是－360°
，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°
.故选D.
[答案]
（1）C
（2）D
[方法技巧]
判断角的概念问题的关键与技巧
关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念
技巧
判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可
[对点练清]
1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°
的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°
的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
选D 集合A中锐角θ满足0°
＜θ＜90°
；
集合B中θ＜90°
，可以为负角；
集合C中θ满足k·
＜θ＜k·
＋90°
，k∈Z；
集合D中θ满足0°
.故A＝D.
2．写出图
（1），
（2）中的角α，β，γ的度数．
解：
题干图
（1）中，α＝360°
－30°
＝330°
题干图
（2）中，β＝－360°
＋60°
＋150°
＝－150°
，γ＝360°
＋（－β）＝360°
＝570°
题型二 象限角及终边相同的角
[典例2] 在0°
到360°
的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．
（1）－736°
（2）405°
[解]
（1）∵－736°
＝－3×
＋344°
，344°
是第四象限角．
∴344°
与－736°
是终边相同的角，且－736°
为第四象限角．
（2）∵405°
＋45°
，45°
是第一象限角．
∴45°
与405°
是终边相同的角，且405°
为第一象限角．
[方法技巧]
（1）把任意角化为α＋k·
（k∈Z且0°
≤α<
）的形式，关键是确定k.可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法．要注意：
正角除以360°
，按通常的除法进行；
负角除以360°
，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．
（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
1．已知α＝－1845°
，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）－360°
～720°
之间的角．
因为－1845°
＝－45°
＋（－5）×
，即－1845°
角与－45°
角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°
＋k·
，k∈Z}．
（1）最小的正角为315°
（2）最大的负角为－45°
之间的角分别是－45°
，315°
，675°
2．在直角坐标系中写出下列角的集合：
（1）终边在x轴的非负半轴上；
（2）终边在y＝x（x≥0）上．
（1）在0°
～360°
范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：
0°
.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·
（2）在0°
范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个：
.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α|α＝k·
题型三 区间角的表示
[典例3] 已知，如图所示．
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
[解]
（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°
，k∈Z}＝{α|α＝135°
，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°
（2）由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于－30°
～135°
之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°
≤α≤135°
表示区间角的三个步骤
第一步：
先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°
范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°
第三步：
起始、终止边界对应角α，β再加上360°
的整数倍，即得区间角集合．
1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？
在0°
范围内，阴影部分（包括边界）表示的范围可表示为：
150°
≤β≤225°
，
则所有满足条件的角β为
{β|k·
≤β≤k·
＋225°
2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合如何表示？
由题干图可知满足题意的角的集合为
＋105°
，k∈Z}∪{k·
≤β≤k·
＋285°
，k∈Z}
＝{β|2k·
≤β≤2k·
，k∈Z}∪{β|（2k＋1）·
≤β≤（2k＋1）·
＝{β|n·
≤β≤n·
，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·
，n∈Z}.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．下列各角中，与60°
角终边相同的角是（ ）
A．－300°
B．－60°
C．600°
D．1380°
选A 与60°
角终边相同的角α＝k·
，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°
2．集合M＝{α|α＝k·
90°
，k∈Z}中，各角的终边都在（ ）
A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上
C．x轴或y轴上 D．x轴正半轴或y轴正半轴上
选C 令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.
3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°
的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：
①P⊆N；
②N∩M＝M；
③M⊆P；
④（M∪N）⊆P.
其中正确的是________（填序号）．
因为锐角的范围为0°
<
θ<
，小于90°
的角为θ<
，包含负角，第一象限角为k·
k·
，k∈Z，所以PN，①错误；
N∩M＝M，②正确；
M⊆P，③正确；
（M∪N）P，④错误．
②③
4．射线OA绕端点O逆时针旋转120°
到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°
到达OC位置，则∠AOC＝________.
因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°
＋（－270°
）＝－150°
－150°
二、创新应用题
5．在与角1030°
终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（2）最大的负角．
因为1030°
＝2×
＋310°
所以与角1030°
终边相同的角的集合为{α|α＝k·
（1）故所求的最小正角为310°
（2）取k＝－1，得所求的最大负角为－50°
三、易错防范题
6．如图所示，阴影部分内的角的集合S＝______________.
因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°
，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°
，k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°
≤α≤30°
{α|－210°
[易错矫正] 用不等式表示区间角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．另外对于区间角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正方向．
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．（多选题）以下说法，其中正确的有（ ）
A．－75°
是第四象限角 B．265°
是第三象限角
C．475°
是第二象限角 D．－315°
是第一象限角
选ABCD 由终边相同角的概念知：
A、B、C、D都正确．
2．将－885°
化为α＋k·
（0°
，k∈Z）的形式是（ ）
A．－165°
＋（－2）×
B．195°
＋（－3）×
C．195°
D．165°
选B －885°
＝195°
，0°
≤195°
，故选B.
3．在0°
≤α＜360°
中，与－510°
角的终边相同的角为（ ）
A．150°
B．210°
C．30°
D．330°
选B 与－510°
角终边相同的角可表示为β＝－510°
，k∈Z.当k＝2时，β＝210°
4．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°
的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．y轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上
选B 因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·
（k∈Z），所以α－150°
＝k·
＋120°
（k∈Z），所以角α－150°
的终边在第二象限．故选B.
5．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边相同的角之间相差180°
的整数倍
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
选D A错，如90°
既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错，钝角在90°
到180°
之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°
的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
6．12点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．
时钟上每个大刻度为30°
，12点过小时，分针转过－90°
，时针转过－7.5°
，故时针与分针的夹角为82.5°
82.5°
7．已知锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，则角α＝________.
与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k·
，k∈Z}，
因为锐角α的10倍角的终边与其终边相同，
所以10α＝α＋k·
，k∈Z，即α＝k·
40°
，k∈Z.
又α为锐角，所以α＝40°
或80°
8．集合A＝{α|α＝k·
－36°
，k∈Z}，B＝{β|－180°
β<
}，则A∩B＝______________________.
当k＝－1时，α＝－126°
当k＝0时，α＝－36°
当k＝1时，α＝54°
当k＝2时，α＝144°
∴A∩B＝{－126°
，－36°
，54°
，144°
}．
{－126°
}
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，请作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
（1）－75°
（2）855°
（3）－510°
作出各角，其对应的终边如图所示：
（1）由图①可知：
－75°
（2）由图②可知：
855°
是第二象限角．
（3）由图③可知：
－510°
是第三象限角．
10．写出图中阴影部分（不含边界）表示的角的集合．
在－180°
～180°
内落在阴影部分的角的集合为大于－45°
且小于45°
，所以终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合为{α|－45°
α<
B级——高考水平高分练
1．若α＝k·
（k∈Z），则α在（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
选A 当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·
＝m·
，故α为第三象限角；
当k＝2m（m∈Z）时，α＝m·
，故α为第一象限角．
2．若α与β终边相同，则α－β的终边落在（ ）
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
选A ∵α＝β＋k·
，k∈Z，
∴α－β＝k·
，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．
3．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：
（1）重合：
________________；
（2）关于x轴对称：
________________.
根据终边相同的角的概念，数形结合可得：
（1）α＝k·
＋β（k∈Z），
（2）α＝k·
－β（k∈Z）．
＋β（k∈Z）
（2）α＝k·
－β（k∈Z）
4.如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合（用0°
间的角表示）．
终边落在y＝x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°
，k∈Z}，终边落在y＝x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°
于是终边落在y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°
，k∈Z}∪{α|α＝240°
＝{α|α＝60°
＋2k·
，k∈Z}∪{α|α＝60°
＋（2k＋1）·
，k∈Z}＝{α|α＝60°
＋n·
，n∈Z}．
5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ（0°
＜θ＜180°
），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A.求θ，并判断θ所在象限．
根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°
的终边上，
＝14θ＋45°
即θ＝，k∈Z.
又180°
＜2θ＋45°
＜270°
即67.5°
＜θ＜112.5°
∴67.5°
＜＜112.5°
∴k＝3或k＝4，
∴所求θ的值为或.
∵0°
＜＜90°
，90°
＜＜180°
∴θ在第一象限或第二象限．
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
知识点一 弧度制
1．度量角的两种制度
（1）角度制：
用作单位来度量角的制度称为角度制．
规定1度等于60分，1分等于60秒．
（2）弧度制：
以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．
称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.
[微提醒] 今后在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角的弧度数．
2．弧长公式
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则α＝.由此可得到l＝αr，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．
[微提醒] 设扇形的半径为R，弧长为l，α（0＜α＜2π）为其圆心角，则
（1）弧长公式：
l＝α·
R.
（2）扇形面积公式：
S＝lR＝αR2.
判断正误
（1）1弧度是1度的圆心角所对的弧．（ ）
（2）1弧度是长度为半径的弧．（ ）
（3）1弧度是1度的弧与1度的角之和．（ ）
（1）×
知识点二 弧度制与角度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
＝2π_rad
2πrad＝360°
＝π_rad
πrad＝180°
1°
＝rad≈0.01745rad
1rad＝°
≈57.30°
度数×
＝弧度数
弧度数×
°
＝度数
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.（ ）
（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．（ ）
（3）1°
的角是周角的，1rad的角是周角的.（ ）
（4）1rad的角比1°
的角要大．（ ）
（1）√
（2）×
（3）√ （4）√
2．将下列角度与弧度进行互化．
（1）20°
＝______；
（2）－15°
（3）＝________；
（4）－π＝________.
＝20×
＝；
＝－15×
＝－；
（3）＝×
＝105°
（4）－π＝－π×
＝－396°
（1）
（2）－ （3）105°
（4）－396°
题型一 角度制与弧度制的互化
（1）用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
（2）度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[典例1]
（1）①将112°
30′化为弧度为________；
②将－rad化为度为________．
（2）将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式．
①π；
②－315°
[解析]
（1）①因为1°
＝rad，
所以112°
30′＝×
112.5rad＝.
②因为1rad＝°
所以－rad＝－°
＝－75°
① ②－75°
（2）①π＝6π＋；
＝－＝－2π＋.
进行角度制与弧度制互化的原则和方法
（1）原则：
牢记180°
＝πrad，充分利用1°
＝rad和1rad＝°
进行换算．
（2）方法：
设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝°
n°
＝n·
.
将下列角度与弧度进行互化：
（1）π；
（2）－；
（3）10°
（4）－855°
（1）π＝×
＝15330°
（2）－＝－×
＝－105°
＝10×
＝.
＝－855×
＝－.
题型二 用弧度制表示终边相同的角
[典例2] 把下列各角化成2kπ＋α（0≤α<
2π，k∈Z）的形式，并指出是第几象限角．
（1）－1500°
（2）；
（3）－4.
[解]
（1）∵－1500°
＝－1800°
＋300°
＝－5×
∴－1500°
可化成－10π＋，是第四象限角．
（2）∵＝2π＋，∴与终边相同，是第四象限角．
（3）∵－4＝－2π＋（2π－4），＜2π－4＜π，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α（k∈Z）时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
1．把－1480°
写成α＋2kπ（k∈Z）的形式，其中0≤α<
2π.
∵－1480°
＝－1480×
＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α<
2π，∴α＝.
∴－1480°
＝＋2×
（－5）π.
2．在[0°
，720°
]内找出与角终边相同的角．
∵＝×
＝72°
∴终边与角相同的角为θ＝72°
（k∈Z），
当k＝0时，θ＝72°
当k＝1时，θ＝432°
∴在[0°
]内与角终边相同的角为72°
，432°
题型三 扇形的面积与弧长的计算
[典例3]
（1）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，求扇形的圆心角的弧度数．
（2）已知一扇形的圆心角是72°
，半径等于20cm，求扇形的面积．
[解]
（1）设扇形的半径为rcm,弧长为lcm，圆心角为θ，
则解得或∴θ＝＝1或4.
（2）设扇形的弧长为l，半径为R，圆心角为α，
∵72°
＝72×
＝，
∴l＝αR＝×
20＝8π（cm），
∴S＝lR＝×
8π×
20＝80π（cm2）．
弧度制下解决扇
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