中国石油大学大学离散数学》期末复习题及答案Word格式.docx
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8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。
9、设f：
A→B，g：
B→C。
若f，g都是双射，则gf不是双射。
10、无向图的邻接矩阵是对称阵。
11、一个集合不可以是另一个集合的元素。
12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。
13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。
14、<
{0,1,2,3,4},MAX,MIN>
15、树一定是连通图。
16、单位元不是可逆的。
17、一个命题可赋予一个值，称为真值。
18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设f：
若f，g都是满射，则g◦f不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
22、零元是不可逆的。
23、一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
24、“我正在说谎。
”不是命题。
25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A（c）：
张三是个大学生。
26、设F＝{<
3,3>
<
6,2>
}，则F-1＝{<
6,3>
2,6>
}。
27、欧拉图是有欧拉回路的图。
28、设f：
若f，g都是单射，则g◦f也是单射。
三、计算题（每题10分，共40分）
1、设A={c,d},B={0,1,2}，则计算A×
B，B×
A。
2、A={a,b,c}，B={1,2}，计算A×
B。
3、A={a,b,c}，计算A×
4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。
”。
5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。
6、符号化命题“2是素数且是偶数”。
7、设A={a,b,c,d}，R是A的二元关系，定义为：
R={<
a,a>
a,b>
b,a>
c,b>
<
c,a>
d,c>
d,b>
d,a>
}，写出A上二元关系R的关系矩阵。
8、设A={1,2,3,4}，R是A的二元关系，定义为：
1,1>
1,2>
2,1>
3,2>
3,1>
4,3>
4,2>
4,1>
9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。
10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。
11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。
12、求命题公式┐（p∧┐q）的真值表。
13、设<
2x+y,5>
=<
10,x－3y>
，求x，y。
14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系，若R1＝{<
1,2>
3,4>
5,6>
}，R2={<
1,4>
2,6>
}，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。
15、例：
设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5},C={1,2,3}，A到B的关系R={<
x,y>
|x+y=6}，B到C的关系S={<
y,z>
|y－z=2}，求R◦S。
16、集合A={a,b,c}，B={1,2,3,4,5}，R是A上的关系，S是A到B的关系。
a,a>
a,c>
b,b>
c,b>
c,c>
}，S={<
a,1>
a,4>
b,2>
c,4>
c,5>
}，求R◦S，S–1◦R–1
17、A＝{1,2,3,4,5,6}，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。
18、设集合A={a,b,c}，A上的关系R={<
b,c>
}，求R的自反、对称、传递闭包。
19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。
四、证明题（每题10分，共20分）
1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明R
S是A上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证：
凡人要死。
苏格拉底是人，苏格拉底要死。
3、P→Q，┐Q
R，┐R，┐S
P⇒┐S
4、在群<
G,*>
中，除单位元e外，不可能有别的幂等元。
5、设R和S是二元关系，证明：
（R
S）-1=R-1
S-1
6、证明：
（（Q∧S）→R）∧（S→（P∨R））=（S∧（P→Q））→R.
7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R＝{<
|x,y∈I，且x－y可被k整除}，证明R是等价关系。
8、证明（（p→q）→r）⇔（（┐q∧p）∨r）
9、证明（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）⇒S∨R
10、证明P→┐Q，Q∨┐R，R∧┐S⇒┐P
11、证（∀x）（P（x）∨Q（x））⇒┐（∀x）P（x）→（∃x）Q（x）
12、证明定理：
设<
G,◦>
是群，对于任意a,b∈G，则方程a◦x=b与y◦a=b，在群内有唯一解。
《离散数学》复习题参考答案
一、填空题（每空1分，共20分）
1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。
2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。
3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A⋃B={a,b,c,d,e}。
4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A⋂B={1,3}。
5、若A是2元集合,则2A有4个元素。
a*b=a和b两者的最大值，则2*3=3。
7、设A={a,b,c,d},则∣A∣=4。
8、对实数的普通加法和乘法，0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元。
的元素，则-（a+b+c）=（-a）+（-b）+（-c）。
10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。
11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。
12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。
13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示王强不是一名大学生。
14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
全称量词和存在量词。
16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。
17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。
18、设A={a,b}，则ρ（A）的四个元素分别是：
空集，{a}，{b}，{a,b}。
19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。
是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称<
21、集合A={a,b,c,d}，B={b}，则A\B={a,c,d}。
22、设A={1,2},则∣A∣=2。
23、在有向图中，结点v的出度deg+（v）表示以v为起点的边的条数，入度deg-（v）表示以v为终点的边的条数。
24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。
25、不含回路的连通图是树。
26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。
27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则（US规则）、全称推广规则（UG规则）、存在指定规则（ES规则）、存在推广规则（EG规则）。
1、√。
2、√。
3、×
。
4、√。
5、√。
6、×
7、√。
8、√。
9、×
10、√。
11、×
12、√。
13、×
14、√。
15、√。
16、×
17、√。
18、√。
19、×
20、×
21、√。
22、√。
23、×
24、√。
25、√。
26、×
27、√。
28、√。
1、设A={c,d},B={0,1,2}，则A×
B={<
c,0>
c,1>
c,2>
d,0>
d,1>
d,2>
}，B×
A={<
0,c>
0,d>
1,c>
1,d>
2,c>
2,d>
2、A={a,b,c}，B={1,2}，A×
B={a,b,c}×
{1,2}={<
a,1>
b,1>
a,2>
b,2>
3、A={a,b,c}，A×
A={a,b,c}×
{a,b,c}={<
a,c>
b,b>
c,a,>
c,c>
设L（x,y）：
x大于y，a：
2，b：
3，c：
4，则命题符号化为L（a,b）→L（a,c）。
设F（x）：
x是兔子。
G（x）：
x是乌龟。
H（x,y）：
x比y跑得快。
该命题符号化为：
¬
∀x∀y（F（x）∧G（y）→H（x,y））。
设F（x）：
x是素数。
G（x）：
x是偶数。
a：
2，则命题符号化为F（a）∧G（a）。
解：
R的关系矩阵为：
deg（v1）＝3，deg+（v1）＝1，deg-（v1）＝2；
deg（v2）＝deg+（v4）＝deg-（v2）＝0；
deg（v3）＝3，deg+（v3）＝2，deg-（v3）＝1；
deg（v4）＝2，deg+（v4）＝1，deg-（v4）＝1；
答：
deg（v1）＝3，deg+（v1）＝2，deg-（v1）＝1；
deg（v2）＝3，deg+（v2）＝2，deg-（v2）＝1；
deg（v3）＝5，deg+（v3）＝2，deg-（v3）＝3；
deg（v4）＝deg+（v4）＝deg-（v4）＝0；
deg（v5）＝1，deg+（v5）＝0，deg-（v5）＝1；
12、求命题公式┐（p∧┐q）的真值表。
p
q
┐q
p∧┐q
┐（p∧┐q）
1
由定理列出如下方程组：
求解得x=5，y=0。
domR1={1,3,5}，ranR1={2,4,6}，fldR1=domR1∪ranR1={1,2,3,4,5,6}；
domR2={1,2}，ranR2={4,6}，fldR2=domR2∪ranR2={1,2,4,6}。
1,5>
2,4>
3,3>
},S={<
3,1>
4,2>
5,3>
}，从而R◦S={<
1,3>
2,2>
}
或者因<
∈R，<
∈S，所以<
∈R◦S；
因<
∈R◦S；
从而R◦S={<
R◦S={<
a,5>
c,2>
（R◦S）-1={<
1,a>
4,a>
5,a>
2,b>
2,c>
4,c>
5,c>
R–1={<
c,a>
b,c>
}，
S–1={<
S–1◦R–1={<
1是A的最小元，没有最大元，1是极小元，4、5、6都是A的极大元。
r（R）={<
s（R）={<
t（R）={<
如下图所示v0与v5之间的最短路径为：
v0,v1,v2,v4,v3,v5
最短路径值为1+2+1+3+2=9
先根遍历：
ABDEHCFIJGK中根遍历：
DBHEAIFJCGK后根遍历：
DHEBIJFKGCA
证明：
a∈A，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。
故xR
Sx。
从而R
S是自反的。
a,b∈A，aR
Sb，即aRb且aSb。
因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。
故bR
Sa。
S是对称的。
a,b,c∈A，aR
Sb且bR
Sc，即aRb，aSb，bRc且bSc。
因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。
故aR
Sc。
S是传递的。
故R
设：
H（x）：
x是人。
M（x）：
x是要死的。
s：
苏格拉底。
本题要证明：
（∀x）（H（x）→M（x））∧H（s）⇒M（s）
⑴（∀x）（H（x）→M（x））P
⑵H（s）→M（s）US⑴
⑶H（s）P
⑷M（s）⑵、⑶
（1）┐R前提
（2）┐Q
R前提
（3）┐Q
（1），
（2）
（4）P→Q前提
（5）┐P（3），（4）
（6）┐S
P前提
（7）┐S（5），（6）
因为e∗e=e，所以e是幂等元。
设a∈G且a∗a=a，则有a=e∗a=（a–1∗a）∗a=a–1∗（a∗a）=a–1∗a=e，即a=e。
.
所以
左边：
（（Q∧S）→R）∧（S→（P∨R））
=（┐（Q∧S）∨R）∧（┐S∨（P∨R））
=（┐Q∨┐S∨R）∧（┐S∨P∨R）
右边：
（S∧（P→Q））→R
=┐（S∧（┐P∨Q））∨R
=（┐S∨（P∧┐Q））∨R
=（┐Q∨┐S∨R）∧（┐S∨P∨R）
所以（（Q∧S）→R）∧（S→（P∨R））=（S∧（P→Q））→R.
（1）对任意的x∈A，有x－x=0可被k整除。
所以<
x,x>
∈R，即R具有自反性。
（2）对任意的x，y∈A，<
∈R，即x－y可被k整除，设x－y=km，则y－x=－km，显然y－x可被k整除。
y,x>
∈R，即R具有对称性。
（3）设x，y，z∈A，若<
∈R，<
∈R，即x－y可被k整除，y－z可被k整除，设x－y=km，y－z=kn，则x－z=k（m+n），即x－z可被k整除。
x,z>
∈R，即R具有传递性。
综上所述，R具有自反性、对称性和传递性，故R是等价关系。
8、证明：
⑴（（p→q）→r）⇔（（┐q∧p）∨r）
⑵p→（q→r）⇔┐r→（q→┐p）
1（（p→q）→r）
⇔（（┐p∨q）→r）//蕴涵等值式
⇔（┐（┐p∨q））∨r//蕴涵等值式
⇔（p∧（┐q））∨r//德·
摩根律
⇔（（┐q∧p）∨r）//交换律
⇔┐p∨（q→r）//蕴涵等值式
⇔┐p∨（┐q∨r）//蕴涵等值式
⇔r∨（┐q∨┐p）//结合律与交换律
⇔r∨（q→┐p）//蕴涵等值式
⇔┐r→（q→┐p）//蕴涵等值式
（1）P∨Q已知前提
（2）┐P→Q由
（1）
（3）Q→S已知前提
（4）┐P→S由
（2）和（3）
（5）┐S→P由（4）
（6）P→R已知前提
（7）┐S→R由（5）和（6）
（8）S∨R由（7）
证明用反证法，把┐（┐P）作为附加前提加入到前提的集合中去，证明由此导致矛盾。
（1）┐（┐P）反证法附加前提
（2）P由
（1）
（3）P→┐Q已知前提
（4）┐Q由
（2）和（3）
（5）Q∨┐R已知前提
（6）┐R由（4）和（5）
（7）R∧┐S已知前提
（8）R由（7）
（9）R∧┐R由（6）和（8
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