人教版数学八年级下册一次函数对一道教材例题的剖析与学习变式思考.docx

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人教版数学八年级下册一次函数对一道教材例题的剖析与学习变式思考

人教版数学八年级下册一次函数对一道教材例题的剖析与学习变式思考

在人教版八年级数学P76页上有如下例题：

如图1，小明家，食堂，图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.图2反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.

根据图像回答下列问题：

（1）食堂离小明家多远？

小明从家到食堂用了多少时间？

（2）小明吃早餐用了多少时间？

（3）食堂离图书馆多远？

小明从食堂到图书馆用了多少时间？

（4）小明读报用了多少时间？

（5）图书馆离小明家多远？

小明从图书馆回家的平均速度是多少？

题意剖析：

解答时，需要解决好如下几个问题：

1.理解运动过程中，两个变量的生活意义，坐标原点：

时间为0，离家距离为0叫做起点；

时间增加，距离增加，叫做“上升线”；到达某个地点，逗留，时间增加，距离保持不变，叫做“逗留线”或“水平线”；继续行进，时间增加，距离也继续增加，叫做“续增线”，注意，“续增线”的起点是第二个目的地；行进到第三个目的地，时间增加，距离再次保持不变，叫做“再平线”，意义与首次“逗留线”相同；去的过程结束；接下来，是返回运动，

意义：

时间增加，距离减少，叫做“下降线”或叫做“回归线”，距离为0时，表示返回到家，理解了运动性质，掌握运动的意义，才能更好解题；

2.清楚坐标轴的意义：

横轴表示时间，是自变量，纵轴表示距离，是因变量，描述的是距离与时间的变化关系；

3.能读懂图像，看懂图像，清楚图像上每一个位置的意义.

解答直播：

（1）从图像上看出，第一次“逗留线”对应的纵坐标是0.6，所以食堂离小明家的距离为0.6千米，此时，对应的横坐标为8，小明从家到食堂用了8分钟；

（2）第一次“逗留线”的起点横坐标为8，终点横坐标为25，所以小明吃早餐用时间为：

25-8=17分钟；

（3）从图像看出，继续运动的起点距离为0.6千米处，“再平线”对应的纵坐标为0.8，所以食堂离图书馆的距离为：

0.8-0.6=0.2（千米），它们对应的横坐标分别为25,28，所以小明从食堂到图书馆用了：

28-25=3（分钟）；

（4）“再平线”的起点横坐标为28，终点横坐标为58，所以小明读报用了：

58-28=30（分钟）；

（5）从图像看出，“再平线”的纵坐标为0.8，所以图书馆离小明家为0.8千米，

从“回归线”看出，开始回归时，对应横坐标为58，回归0距时，对应横坐标为68，所以返回行程的用时为：

68-58=10（分钟），所以小明从图书馆回家的平均速度是：

0.8÷10=0.08千米/分钟.

点评：

解答时，要抓牢如下几个关键：

1.熟悉运动的实际意义；

2.准确确定停留时间，运动时间；

3.准确理解“上升线”，“逗留线”，“再平线”和“回归线”的意义和计算对接口；

4.熟练掌握平均速度的计算公式.

变式学习：

变式1：

单人运动型，辨析运动的图像

例1（2017年山东东营）小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析：

开始行驶的路程S随时间的增加而增加，图像表现为经过原点的上升直线；等了几分钟，图像表现为：

“逗留线”即平行x轴的线段，坐上公交车，再次回归为“上升线”，且比第一次“上升线”上升的更快，表现在图像上，直线要更陡，一共三个阶段，对照选择答案即可.

解：

小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，

等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，

坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，整个运动过程经历了三个阶段，简单描述为上升———水平----上升，所以选C．

点评：

解题时，注意如下几点：

1.清楚两个变量的实际意义，这是解题的关键，意义理解不准，解答自然偏离方向；

2.整体把握运动过程经历几个运动阶段；

3.清楚每一个阶段运动的性质，对接的是“上升线”，“水平线”，还是“回归线”，大致画出运动的草图；

4.精心“上细”，对照作答.

变式2：

单人运动型，根据图像定距离

例2（2018年衢州市）星期天，小明上午8：

00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图3所示，则上午8：

45小明离家的距离是________千米.

分析：

解答时，读懂图像是关键，其次，灵活运用待定系数法确定函数的解析式，是解题的根本，利用求代数式的值得方法，确定对应的函数值，是问题答案呈现的最后一道关.

解：

根据题意，得小明行驶的时间是45分钟，根据图像的信息，得此时小明在“回归线”上，设直线的解析式为y=kt+b,所以

，解得

，

所以函数的解析式为y=-

t+6,当t=45时，y=-

×45+6=1.5，所以小明离家的距离是1.5千米.

点评：

正确从图像中，获得解题真正需要的信息是解题的关键，其次，读懂图像的内涵也是解题的根本之一，熟练驾驭数学方法是解题工具选择的核心.

变式3：

单人运动型，根据图像解综合

例3（2018•南京）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第tmin时的速度为vm/min，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如图4所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．

（1）小明出发第2min时离家的距离为　m；

（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；

（3）画出s与t之间的函数图象．

分析：

解答时，要正确处理好以下几点：

1.最先要解决的就是读懂图像的意义，明确图像是描述的哪两个变量之间的关系？

实际意义又是如何？

这一点是最重要的；

2.熟知距离、速度、时间的关系，灵活变形，熟练求解；

3.解答时，还要做到三个细心即读图细心，准确确定各时间段的运动速度；计算细心，会用（t-a）的方式表示最后时间段的时间；审题细心，刚好16分钟回家，表明最后的运动需要分类求解即直接返回，还是先前行一段时间后返回，确定了最后阶段的运动类型，才能确定解答的方式；

4.根据图像的意义，需要分类讨论即0≤t≤2、2＜t≤5、5＜t≤6.25和6.25＜t≤16四种情况，画出各自的图形即可求解．

解：

（1）根据速度---时间图像知道，当运动第2min时，小明的运动速度为100m/min,

所以小明出发第2min时离家的距离为：

100×2=200（m）．因此小明出发第2min时离家的距离为200m；

（2）当2＜t≤5时，运动类型有两种，一是经历了0-2min的运动过程，第二阶段是超过2分钟，却不超过5分钟，根据图像知道，0---2分钟时，运动速度100m/min，当2＜t≤5时，运动速度为160m/min，所以S=100×2+160×（t﹣2）=160t﹣120．

所以s与t之间的函数表达式为160t﹣120；

（3）当运动5分钟时，运动的路程为160t﹣120=160×5﹣120=680米，

若运动时间超过5分钟时即作返回运动，需要的时间为680÷80=8.5分钟，

从图像知道，最后阶段运动的时间为16-5=11分钟，不符合题意，因此超过5分钟后，没有直接返回；假设超过5分钟后，继续运动了x分钟后返回，根据题意，得：

680+80x=80（11-x）,解得x=1.25,所以整个运动过程中，距离S与时间t的函数关系如下：

当0≤t≤5时，S=100t；当2＜t≤5时，S=100×2+160×（t﹣2）=160t﹣120；

当5＜t≤6.25时，S=160×5+80×（t﹣5）=80t+280；

当6.25＜t≤16时，S=80×6.25+280-80×（t-6.25）=1280-80t；

所以s与t之间的函数关系式为

，

作图如下：

点评：

读懂图像，找到解题需要的信息是解题的第一个重要环节，熟练用t表示分段的时间，是解题的第二个重要环节；准确确定运动的属性，是解题的第三个重要环节，准确分类，是解题的第四个重要环节.

变式4变单一运动为双物运动，直线追击，定范围

例4（2018年杭州）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图5是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：

千米/小时）的范围是________.

分析：

解答时，把握好两个关键点，一是先确定乙追上甲所用点的时间，二是根据这个时间，结合图像，确定甲运动的距离，从而确定乙的速度.

解：

根据图像，当0≤t≤3时，s是t的正比例函数，设s=kt，把s=120,t=3，代入解析式，得，120=3k，解得k=40,所以S=40t.

当10点时，乙追上甲，甲行驶时间为t=10-8=2,所以S=80，乙行驶时间为：

10-9=1小时，

所以乙的速度为80÷1=80千米/小时；

当11点时，乙追上甲，甲行驶时间为t=11-8=3,所以S=120，乙行驶时间为：

11-9=2小时，

所以乙的速度为120÷2=60千米/小时；所以乙车的速度v的取值范围是60≤v≤80.

点评：

以运动时间为核心，用时间确定运动距离，是解题的关键，熟练掌握速度计算方法是计算的关键.

变式5双人同向，不返回型

例5（2019

昌平二模）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：

40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图6是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中正确的是（）

①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；

③小华乘坐公共汽车后7:

50与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校.

A.①③④B.①②③C.①②④D.①②③④

分析：

解答时，要分兵两路，各个击破，同时也要密切联系，寻求结合点，整体求解，实现局部开花，整体突破的解题目标.

解：

（1）小明的运动图像，展示的信息：

0—8分钟，是“上升线”，8-13分钟，是“水平线”，逗留了5分钟；13-20分钟，是“续増线”，持续时间为7分钟，到达目的地距离为1200米，所以小明家和学校距离1200米，所以①是正确的；

（2）小华的运动图像，展示的信息：

小华从家到学校用时间为5分钟；

（3）从小华和小明是邻居，确定小华到学校的距离也是1200米，所以小华的速度也就是公共汽车的速度为：

1200÷5=240米/分钟，所以小华乘坐公共汽车的速度是240米/分，所以②是正确的；

（4）从图像看出，二人相遇前，小明耗时了8分钟，且小明离家的距离为480米，在休息，当二人相遇时，小华用的时间为：

480÷240=2（分钟），因此小明一共用时：

8+2=10分钟，

因为小明7:

40出发的，所以二人相遇时，时间为7:

50,所以小华乘坐公共汽车后7:

50与小明相遇是正确的，所以③是正确的；

（5）从图像上看出，小华出发时到校额时间等于小明从8分钟-20分钟的运动的时间即二人同时到校时间为12分钟，因此小华的速度为：

1200÷12=100米/分钟，

所以小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校，所以④是正确的.所以选D.

点评：

当两人同向运动时，解答时，要树立正确的解题思想：

各自独立解释，而后整体把控，既要独立破解，也要联手求解，使得解题相得益彰.

变式6双车同向追击，不同时，返回型

例6（2018年•天门）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图7所示．下列说法：

①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

分析：

这是一道追击，返回型运动问题，解答时，严格遵循，各自规律分析，也要整合信息共享，使得解题，横向各自开花，纵向分享共进.

解：

列表如下：

由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲,设乙的速度为

千米/小时，根据题意，得2

=80×1+80×2，解得

=120（km/h），所以①正确；

由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，甲行驶路程为80×4=320（km）,

乙行驶路程为120×4=480（km）,所以此时甲乙距离为480-320=160（km）即m=160，所以②正确；

当乙在B休息1h时，两车相距160，甲前进80km，所以两车之间的距离为160-80=80，

所以H点坐标为（7，80），所以③正确；

根据直线运动轨迹知道两地相距720千米，甲行驶了80×8=640（km）,所以乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，所以n=6+1+0.4=7.4，所以④错误．所以选：

A．

点评：

解答时，把握好如下几点：

1.依托图像，还原图像的列表过程，注意甲，乙都列出，且以乙的运动时间为自变量，甲的运动时间比乙多1小时，要谨记；

2.正确理解两此距离为0的意义：

第一次是乙追上乙时，距离为0，视为常态的追击问题；第二次距离为0，视为常态的相遇问题，两车相遇，距离和为两地间的距离；

3.巧妙运用方程的思想，能助解提速；

4.读懂图像的意义，正确获得图像信息是解题的基础.

变式7双车同向追击，不同时，不返回型

例7（2018•咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图2所示，下列结论：

①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；

③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米，其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

分析：

解答时，把握好几个关键点，t=4时，乙车不动，对应y值表示两车间的距离；

当t=16时，y=0，表示两车间0距离即表示乙车追上了甲车，时间段的时长即为追击用时间，也是乙车行驶的时间，这一点很重要；

当t＞16时，两车之间再次产生距离，此时乙车已经行驶在甲车的前面；

当乙到达终点时，两车再次产生距离差；接下来的就是，乙车不动，甲车运动，直到终点.

　解：

列表如下：

由图可得，甲步行的速度为：

240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：

2400÷（960÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：

16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：

2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，所以选A．

点评：

以甲的时间为自变量，在同一表格中列出甲，乙的运动关系，及两车间的距离是解题的关键，其次，要准确理解两次距离为0的意义，也是解题的核心之一，最后要强调的是一定要熟练掌握距离，速度，时间三者之间的关系，能根据题意随时计算速度的大小，距离的大小，时间的大小，既要局部求解，也要整体思考求解，让自己的解题具有全局意识，这样才能提高解题的成功率.

变式8双车相向相遇，同时，不返回型

例8（2018•南通模拟）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：

（1）慢车的速度为　　km/h，快车的速度为　　km/h；

（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；

（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．

分析：

正确理解A,B,C,D四点的实际意义是解题的根本所在，具体意义如下：

1.点A的意义当x=0时，y最大值，意味着两车同时运动相向而行，且甲、乙两地相距720千米；

2.点B的意义：

甲、乙两车同时行驶3.6小时相遇，两车距离为0；

3.点C的意义：

相遇后，两车继续前行，车距增加，点C时，快车到达目的地；

4.点D的意义：

乙车到达目的地，慢车继续前行，距离增加仅有甲车行驶得到，当甲到达目的地时，两车距离再次达到最大值，且此时的时间恰好是慢车行驶完全程的时间.

明确了上述四点的意义，解题自然顺利.

解：

（1）从图像看出，当x=0时，y最大值，意味着两车同时运动相向而行，且两地相距720千米，当x=9时，两车距离再次最大，所以慢车的速度为：

720÷9=80千米/小时，

因为两车行驶3.6小时相遇，设快车的速度为bkm/h，所以3.6（80+b）=720,解得b=120,

所以快车的速度为120千米/小时，所以应该分别填写80，120；

（2）图中点C的实际意义是：

快车到达乙地；因为快车走完全程所需时间为720÷120=6（h），

所以点C的横坐标为6，纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）=480，所以点C（6，480）；

（3）当0≤x≤3.6时，设直线的解析式为y=kx+720,把（3.6,0）代入解析式，得

3.6k+720=0,解得k=-200，所以直线的解析式为y=-200x+720；

当3.6＜x≤6时，设直线的解析式为y=kx+b,把（3.6,0）,点C（6，480）代入解析式，得

解得

所以直线的解析式为y=200x-720；

当6＜x≤9时，设直线的解析式为y=kx+b,把（9,720）,点C（6，480）代入解析式，得

解得

所以直线的解析式为y=80x；

当y=-200x+720的函数值y=500时，得-200x+720=500，解得x=1.1；

当y=200x-720的函数值y=500时，得200x-720=500，解得x=6.1＞6，所以此情形不成立；

当y=80x的函数值y=500时，得80x=500，解得x=6.25；综上所述，当x=1.1小时或6.25小时，两车之间的距离为500km．

点评：

解答时，要处理好如下四个关键：

1.根据图像，正确理解四个特殊点的意义是解题的第一关键点；

2.正确把握两车距离产生的原理，是解题的第二个关键点；

3.根据图像，用待定系数法确定分段函数的解析式，是解题的第三个关键点；

4.分类确定函数值对应的自变量，是防止漏解的有效方法，是解题的第四个关键点.

变式9两人相向相遇，同时，不返回型

例9.（2018•盐城）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图10所示．

（1）根据图象信息，当t=　　分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为　　米/分钟；

（2）求出线段AB所表示的函数表达式．

分析：

解答时，正确处理好图像展示的四条关键信息：

1.当x=0时，y=2400,表明学校与图书馆的距离为2400米；

2.（24,0）表示24分钟后，两人相遇了；

3.点A表示乙回到了学校；

4.点B表示甲到达图书馆用时60分钟，从而可以确定甲的速度.

解：

（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲、乙两人相遇；点B表示甲到达图书馆用时60分钟，所以甲的速度为2400÷60=40米/分钟．所以分别填24，40；

（2）因为t=24分钟时甲、乙两人相遇，所以甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，

所以乙的速度为100﹣40=60米/分钟．所以乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟，

所以两人的距离为（40+60）×（40-24）=1600，所以A点的坐标为（40，1600）．设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b，因为A（40，1600），B（60，2400），

所以

，解得

，所以线段AB所表示的函数表达式为y=40x．

点评：

读懂图像中各个拐点的意义是解题的根本所在，其次，用线段图示法来帮助理解题意也是解题的一种重要辅助手段，希望同学们能把图像与图示紧密结合起来，为解题提供有效方法.

变式10两人相向相遇，同时，不返回型

例9..（2018•吉林）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图11所示

（1）家与图书馆之间的路程为　　m，小玲步行的速度为　　m/min；

（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求两人相遇的时间．

　分析：

根据图像的意义知道，直线CD表示小东的运动情况，折线O-A-B表示小玲的运动情况；用待定系数法确定各自的函数解析式，解析式交点的横坐标即为相遇的时间.

解：

（1）结合题意和图象可知，线段CD为小玲路程与时间函数图象，折现O﹣A﹣B为为小东路程与时间图象则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为2000÷10=200m/s

所以分别填4000，200；

（2）因为小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则xmin时，所以他离家的路程y=4000﹣300x，自变量x的范围为0≤x≤

；

（3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，所以4000﹣300x=200x，

解得x=8，所以两人相遇时间为第8分钟．

点评：

正确读懂图像的意义是解题的根本，其次，熟练用待定系数法确定解析式，并用函数解析式确定交点的坐标，也是解题的重要计算技能之一.