中考数学真题分类 解直角三角形实际问题 解答题15题精选 二含答案.docx

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中考数学真题分类解直角三角形实际问题解答题15题精选二含答案

2019年中考数学真题分类解直角三角形实际问题解答题（15题）精选二

如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．

（1）求渔船B航行的距离；

（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：

结果保留根号）

为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i=1：

1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．

（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；

（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，

≈1.41，

≈1.73）．

按要求解答下列各题：

（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB=40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）

某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直．AC=40cm，∠ADE=30°，DE=190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度.

（结果精确到1cm；温馨提示：

sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1：

；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：

4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）

某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：

1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：

．（参考数据：

=1.414，

=1.732）

（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？

请说明理由．

图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：

当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？

（参考数据：

取1.73）．

慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：

sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）

（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）

（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．

在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，

≈1.41）．

小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。

一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。

于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。

已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。

（小平面镜的大小忽略不计）

天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：

已知AB=500米，BC=800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：

本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？

（结果精确到1米，参考数据：

≈1.732）

如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，

≈1.414，

≈1.732．）

数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．

（精确到1m．参考数据：

sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，

≈1.73）

如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h（结果取整数，

≈1.732）

答案解析

解：

解：

解：

（1）如图，点P即为所求．

（2）作AD⊥BC于D．

在Rt△ABD中，∵AB=40海里，∠ABD=30°，∴AD=

AB=20（海里），

∵∠ACD=45°，∴AC=

AD=20

（海里）．

答：

小岛A与港口C之间的距离为20

海里．

解：

设OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x，

∵∠ADE=30°，∴OC=

OD=95+x，∴BC=OC﹣OB=95+x﹣2x=95﹣x，

∵tan∠BAD=

，∴2.14=

，解得：

x≈9，

∴OB=2x=18．

解：

解：

解：

如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．

∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，

∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH，

在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，

∴CE=AC•sin60°=34.6（cm），∴FH=CE=34.6（cm）

∵DH=49.6cm，∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），

在Rt△CDF中，sin∠DCF=0.5，

∴∠DCF=30°，∴此时台灯光线为最佳．

解：

（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，

∴GB=CD=1.7，HB=EF=1.5，∴GH=0.2，

在Rt△AHE中，tan∠AEH=

，则AH=HE•tan∠AEH≈1.9a，

∴AG=AH﹣GH=1.9a﹣0.2，

在Rt△ACG中，∠ACG=45°，∴CG=AG=1.9a﹣0.2，

∴BD=1.9a﹣0.2，

答：

小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；

（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a=52，解得，a=18，

则AG=1.9a﹣0.2=34.4，∴AB=AG+GB=36.1，

答：

慈氏塔的高度AB为36.1米．

解：

解：

在Rt△ABC中，tanA=

，则BC=ACtanA≈121×0.75=90.75，

由题意得，CD=AC﹣AD=97.5，

在Rt△ECD中，∠EDC=45°∴EC=CD=97.5，

∴BE=EC﹣BC=6.75≈6.8（m），

答：

塔冠BE的高度约为6.8m．

解：

如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=BD，BH=CD=0.5

在Rt△ACH中，∠ACH=45°，∴AH=CH=BD∴AB=AH＋BH=BD＋0.5

∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG=∠ABG=90°.

由题意，易知∠EGF=∠AGB，∴△EFG∽△ABC

∴

=

即

=

解之，得BD=17.5

∴AB=17.5＋0.5=18（m）．

∴这棵古树的高AB为18m．

解：

如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB=500，∠BAH=30°，

∴BH=AB=（米），∴A1B1=BH=250（米），

在Rt△BB1C中，BC=800，∠CBB1=60°，

∴

，∴B1C==400

，

∴检修人员上升的垂直高度CA1=CB1+A1B1=400

+250≈943（米）

答：

检修人员上升的垂直高度CA1为943米．

解：

延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，

在Rt△AED中，AE=BC=40m，∠EAD=45°，∴ED=AEtan45°=20

m，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=40m，∴AB=40

≈69.3m，

则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=40

﹣20

≈29.3m．

答：

这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．

解：

解：