结构动力学习题解答一二章docx文档格式.docx
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进一步推导有
Ai
1
2
，
.
因为较小，所以有
。
方法二：
共振法求单自由度系统的阻尼比。
（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：
单自由度系统的幅频曲线
（2）分析以上幅频曲线图，得到：
1,2max/22/4；
于是
（12）
；
n
进一步
最后
21/2n/2n；
1.3叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：
幅频（相频）曲线法和功率法。
幅频（相频）曲线法
当单自由度系统在正弦激励F0sint作用下其稳态响应为：
x
Asin（
t
）,
其中：
A
F0
xst
（1）
m
4n
4
arctan2
/1
（2）
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述
（1），
（2）式求得阻尼比。
功率法：
（1）单自由度系统在
F0sin
t作用下的振动过程中，在一个周期内，
弹性力作功为
Wc0
、
阻尼力做功为
Wd
cA2
激振力做作功为
Wf
sin
（2）由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，
即：
Wc+Wd+Wf
0；
-
进一步得：
c
（3）
当
时，sin
1，
则
Amax
xst
得
max
12
1.4求图1-35
中标出参数的系统的固有频率。
（1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为
k1、简支梁
刚度为
k2
48EI
等效刚度为k;
有1
L3
k
k1
48EIk
L/2
k1l3
k2
则固有频率为：
48EIl3
图1-33（a）
48EIk1l3
（2）此系统相当于两个弹簧串联
等效刚度为:
;
kk1
3
l
则固有频率为:
k1l3
ml3
图1-33（b）
（3）系统的等效刚度为
3EI
则系统的固有频率为
图1-33
（c）
（4）
由动量距定理
m0
F
I0得：
（1l
1l
1l）=1ml2
得：
2m
图1-33（d）
1.5求下图所示系统的固有频率。
图中匀质轮
A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.
解：
以
为广义坐标，则
系统的动能为
TT
T
轮子
1（m）x2
1I
重物
20
1P
11P
P
图1-34
（
2g
）x
R
）
4g
22g
B
x2
系统的势能能为：
1kx2
U
U重物
U弹簧
Px
拉格朗日函数为
L=T-U;
由拉格朗日方程（L）L0得
dtxx
g
xkx0
则，
kg
=
所以：
系统的固有频率为
1.6求图1-35所示系统的固有频率。
图中磙子半径为
R，质量为M，作纯滚动。
弹簧刚度
为K。
磙子作平面运动，
K
其动能T=T平动+T转动
M
图1-35
T平动
&
Mx
T转动
MR
2
1Mx2
1Mx2
3Mx2
而势能
U1Kx2；
系统机械能
C;
TUMx
Kx
由dTU
0得系统运动微分方程
dt
3MxKx0
得系统的固有频率
2K
3M
1.7求图1-36
所示齿轮系统的固有频率。
已知齿轮
A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质
量为m，半径为
r
B,
杆AC的扭转刚度为
K,
杆BD的扭转刚度为K,
由齿轮转速之间的关系
ArA
BrB
得角速度
rA
A；
转角B
rA
rB
rB
系统的动能为：
JB
TATB
JAA
C
mr
21
AA
1mAmBrA2
A2；
D
图1-36
系统的势能为：
1KAA2
1KBB2
系统的机械能为
KAA
KBB
KB
KA
A;
TU
rA2
A2
C；
由dTU0得系统运动微分方程dt
mAmBrAA
因此系统的固有频率为：
2KA
mBrA2
mA
mB
1.8已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为L，质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻尼系
数为C，求当初始条件000时
（１）f（t）Fsint的稳态解；
Cf（t）
（２）f（t）（t）t的解；
L/2L/2
利用动量矩定理建立系统运动微分方程
f（t）L
KL
J
CL
K
L
r2mdr
mL2
而J
r2dm
12
3CL2
6KL2
6Lf（t）；
化简得
3C
6K
6
f（t）
mL
（１）
求f（t）Fsin
t的稳态解；
将f（t）
Fsin
t代入方程
（1）得
6Fsint
图１－３７
令2n3C;
m
6K;
h6F;
得
mmL
2n
hsint
（3）
设方程（3）的稳态解为
xAsin（t）
（4）
将（4）式代入方程（3）可以求得：
h
6F
n222
4n22
L6Km22
9C22
arctg
6Km
（２）
求f（t）
（t）的解；
（t）代入方程
（1）得
（5）
（t）
h6;
h（t）
（6）
方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励
h（t）的响应。
由方程（
6）可以得到
初始加速度
（t）；
然后积分求初始速度
0dt
h（t）dt
（t）dth；
再积分求初位移
）dt
这样方程（6）的解就是系统对于初始条件
、0
和
0的瞬态响应
Aent
d
将其代入方程（
6）可以求得：
0;
md
最后得
xAentsin
ent
1.9图１－３８所示盒内有一弹簧振子，其质量为
m，阻尼为C，刚度为K，处于静止状态，
方盒距地面高度为
H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。
因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。
在粘地瞬间，
由机械能守恒定理
mgH
1mV0
2的振子的初速度V0
2gH；
底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度
V0
2gH
的主动隔振
系统的运动微分方程为：
mx
Cx
K/2
或
Cx
Kx
2nx
2x
H
系统的运动方程是对于初始条件的响应：
xAe
ntsin
x0
nx0
x0
x02
dx0
nx0
sindt;
1.10
汽车以速度
V在水平路面行使。
其单自由度模型如图。
设
m、k、c已知。
路面波动情
况可以用正弦函数
y=hsin（at）
表示。
求：
（1）建立汽车上下振动的数学模型；
（2）汽车振
动的稳态解。
（1）建立汽车上下振动的数学模型；
由题意可以列出其运动方程：
my
k（yy1）c（yy1）
Y
y表示路面波动情况；
y
1表示汽车上下波动位移。
CK/2
将其整理为：
cy
ky
ky1
cy1
Y（t）
将yhsin（at）代入得
mycykyachcos（at）khsin（at）
图１－３９
（2）汽车振动的稳态解:
设稳态响应为：
yAsin（ta）
代入系统运动微分方程（
1）可解得：
c2
（km2）2
c22h；
a
acrtan（
mc
2）；
k（k
1.11.若电磁激振力可写为
F（t）
Hsin2
0t，求将其作用在参数为
m、k、c的弹簧振子上
的稳态响应。
首先将此激振力按照傅里叶级数展开：
a0
（aicos（i
t）
bi
sin（i
t））
i1
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