数学方案设计题型.docx

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数学方案设计题型

中考冲刺四：

方案设计型专题

一、热点分析

中考动向

　　通过动手操作来解决一些数学问题特别是作图题的设计，引导学生将所学的数学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活出现的问题进行设计性研究，有利于学生对数学知识的实践应用能力和动手操作能力的提高，是学为之用的教改精神的具体体现，是数学教改中的一大热点.这类题目不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及到的数学问题转化、抽象成具体的数学问题，具有很普遍的实际意义，是中考热点之一.

　　创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题，考查学生的创新意识和实践能力，将是今后数学中考命题的热点之一.

　　近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目.这类命题综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力.

知识升华

题型1：

设计图形题

　　几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割，有时根据其它的某些条件来分割，做此类题一般用尺规作图.

题型2：

设计测量方案题

　　设计测量方案题渗透到几何各章节之中，例如：

测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等，此类题目解法不唯一，是典型的开放型试题.

题型3：

设计最佳方案题

　　此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、几何联系在一起.

二、经典例题透析

类型一、方程、函数型设计题

1．（茂名市）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶.

（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时.求甲、乙两车的速度；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？

　　解：

（1）设甲，乙两车速度分别是x千米/时和y千米/时，

　　　　　根据题意得：

.

　　　　　解之得：

.　

　　　　　即甲、乙两车速度分别是120千米/时、60千米/时.

（2）方案一：

设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米，乙汽车行驶了y千米，则

.　　　∴

即

.

　　　即甲、乙一起行驶到离A点500千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进1000千米返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回到A点此时，甲车行驶了共3000千米.

　　　　　方案二：

（画图法）

　　　　　　　　　　如图

　　此时，甲车行驶了方案三：

先把乙车的油均分4份,每份50升.当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点.此时，甲车行驶了

（千米）.

　　举一反三：

　　【变式1】（鄂尔多斯）有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如左图所示；乙公司每月通话收费标准如右表所示.

（1）观察图，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是__________元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为_________元；

（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？

如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？

　　解：

（1）

；

（2）通话时间不超过100分钟选甲公司合算

　　　设通话时间为

分钟（

），甲公司用户通话费为

元，乙公司用户通话费为

元.

　　　　　则：

　　　　　当

即：

时，

　　　　　当

即：

时，

　　　　　当

即：

时，

　　答：

通话时间不超过500分钟选甲公司；500分钟选甲、乙公司均可；超过500分钟选乙公司.

　　举一反三：

　　【变式2】（河北省）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区.

　　两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

　　（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议.

　　解：

（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30-x）台；

　派往B地区的乙型收割机为（30-x）台，派往B地区的甲型收割机为（x-10）台.

　　　　　∴y=1600x+1800（30-x）+1200（30-x）+1600（x-10）=200x+74000.

　　　　　x的取值范围是：

10≤x≤30（x是正整数）.

（2）由题意得200x+74000≥79600，

　　　　　解不等式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30这三个值，

　　　　　∴有3种不同分配方案.

　①当x=28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台.

　　②当x=29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台.

　　③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区.

　　（3）由于一次函数y=200x+74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x=30时，y取得最大值.

　　如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x=30，

　　此时，y=6000+74000=80000.

　　建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割要全部派往B地区，可使公司获得的租金最高.

类型二、统计型设计题

2．（江西省）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：

　　方案1所有评委所给分的平均数.

　　方案2在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数.

　　方案3所有评委所给分的中位数.

　　方案4所有评委所给分的众数.

　　为了探究上述方案的合理性,先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验.下面是这个同学的得分统计图:

（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；

（2）根据

（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分.

　　解：

（1）方案1最后得分：

；

　　　　　方案2最后得分：

；

　　　　　方案3最后得分：

；

　　　　　方案4最后得分：

或

.

（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，

　　　　　所以方案1不适合作为最后得分的方案.

　　　　　因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案.

　　举一反三：

　　【变式】（厦门）某中学要召开运动会，决定从初三年级全部的150名的女生中选30人，组成一个彩旗方队（要求参加方队的同学的身高尽可能接近）.现在抽测了10名女生的身高，结果如下（单位：

厘米）：

　　166154151167162158158160162162

（1）依据样本数据估计，初三年级全体女生的平均身高约是多少厘米？

（2）这10名女生的身高的中位数、众数各是多少？

　　（3）请你依据样本数据，设计一个挑选参加方队的女生的方案.（请简要说明）

　　解：

（1）因为

（166+154+151+167+162+158+158+160+162+162）=160（厘米），

　　　　　所以九年级全体女生的平均身高约是160厘米.

（2）这10名女生的身高的中位数是161厘米，众数是162厘米.

　　　　（3）先将九年级中身高为162厘米的所有女生挑选出来作为参加旗队的女生，如此进行下去，直至挑选到30人为止.

类型三、测量设计题

3．（潜江）经过江汉平原的沪蓉（上海—成都）高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得

.

（1）求所测之处江的宽度（

）；

（2）除

（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.

　　解：

（1）在

中，

，

　　　　　∴

（米）

　　　　　答：

所测之处江的宽度约为248米

（2）如图，利用三角形相似，对应边成比例来测量、计算.还可以利用三角形全等、

　　　　　解直角三角形的知识来解决问题，只要正确即可得分.

　　举一反三：

　　【变式1】（乐山）如图，小山上有一棵树.现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端

到水平地面的距离

.

　　要求：

（1）画出测量示意图；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

　　（3）根据

（2）中的数据计算

.

　　解：

（1）测量图案（示意图）如图示.

（2）测量步骤：

　　　　　第一步：

在地面上选择点

安装测角仪，

　　　　　　　　　测得此时树尖

的仰角

，

　　　　　第二步：

沿

前进到点

，用皮尺量出

之间的距离

，

　　　　　第三步：

在点

安装测角仪，

　　　　　　　　　测得此时树尖

的仰角

，

　　　　　第四步：

用皮尺测出测角仪的高

　　　　（3）计算：

　　　　　令

，则

，得

，

　　　　　又

，得

，

，

，

　　　　　解得

，

.

　　举一反三：

　　【变式2】（资阳）一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形.现需将其整修并进行美化，方案如下：

①将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶

；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.

（1）求整修后背水坡面的面积；

（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

　　解：

（1）作AE⊥BC于E.

　　　　　∵原来的坡度是1∶0.75，∴

=

.

　　　　　设AE=4k，BE=3k，∴AB=5k，又∵AB=5米，∴k=1，则AE=4米.

　　　　　设整修后的斜坡为

，由整修后坡度为1∶

，有

，∴∠

=30°.

　　　　　∴

8米.∴整修后背水坡面面积为90×8=720米2.

（2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2.

　　　　　解法一：

∵要依次相间地种植花草，有两种方案：

　　　　　第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80+25×4×80=16000元；

　　　　　第二种是种花5块，种草4块，需要20

×4×80+25×5×80=16400元.

　　　　　　　　　∴应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元.

　　　　　解法二：

∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，

　　　　　∴两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少.

　　　　　即：

需要花费20×5×80+25×4×80=16000元.

类型四、图形设计题

4．（四川乐山）认真观察下面的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.

　　　特征1：

_________________________________________________；

　　　特征2：

_________________________________________________.

（2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征

　　解：

（1）特征1：

都是轴对称图形；

　　　　　特征2：

都是中心对称图形；

　　　　　特征3：

这些图形的面积都等于4个单位面积等.

（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分.

　　举一反三：

　　【变式】（福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.

　　提示：

在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：

图①、图②只能算一种.

　　解：

以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一.

（注：

素材和资料部分来自网络，供参考。

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）