人教版七年级数学上册培优讲义《第10讲 线角压轴题突破》.docx

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人教版七年级数学上册培优讲义《第10讲线角压轴题突破》

10线角压轴题突破

知识目标

目标一

掌握线段动点各题型的解法

目标二

掌握角的旋转各题型的解法

目标三

理解线段动点，角的旋转问题的本质，理解二者的异同

模块一线段动点问题

题型一不涉及运动速度的线段动点

例1

如图，点C、D在线段AB上.

（1）若线段AB、CD的长度满足

，求线段AB、CD的长度；

（2）在

（1）的条件下，若M、N分别是AD、BC的中点，且2＜

AC＜

6，求线段MN的长度；

（3）如图，若C、D是线段AB的三等分点，P是线段AC上任意一点，求

的值.

例2

（2014武昌区七上期末）已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点.

（1）如图1，若AC＝4，BC＝6，求CF的长；

（2）若AB＝16CF，求

的值；

（3）若AC＞BC，AC－BC＝a，取DC的中点

，CE的中点

，

的中点

，则

＝

（用含有a的代数式表示）.

总结归纳

对于线段动点类的题，有时可以利用线段与线段之间的关系，经过一些转换之后巧妙的得到所求（尤其是有多个中点的题），如例1：

对于线段关系较复杂的题，可以设元导线段，便于理清线段关系，化繁为简，如例2：

有的题情况较多，需分类讨论.在有一定的解题经验之后，同学们应能根据题目特点选取最简洁、最顺应题目条件的方法来解题.

有时会研究数轴上的线段，特别是当运动的线段（或点）有一定的速度时，我们可以类似之前“数轴动点问题”的解法，表示动点后表示出相关线段，代入计算即可，如下面的例

3.有时题目即使没有数轴，我们也可以自己建立数轴，转化为数轴动点问题来解决.

题型二涉及运动速度的线段动点

例3

（2014年汉阳区七上期末）如图，已知数轴上有三点A、B、C，AC＝2AB，点A对应的数是40.

（1）若AB＝60，求点C到原点的距离；

（2）如图，在

（1）的条件，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒，经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求定点Q的速度；

（3）如图，在

（1）的条件，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A向右运动，点P、T、R的数对分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点，证明

的值不变.若其它条件不变，将R的数对改为3个单位长度/秒，10秒后，

的值为多少？

练

（2014年洪山区七上期末）如图1，点A、B分别在数轴原点O的左右两侧，且

点B对应的数是10.

（1）求A点对应的数；

（2）如图2，动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发，其中M、N均向右运动，速度分别为4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P向左运动，速度为5个单位长度/秒.设它们运动时间为t秒，当点P是MN的中点时，求t的值.

模块二角的旋转问题

题型一不涉及速度的角的旋转

例4

（2014武昌区七上期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分

∠BOD（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）.

（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；

（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE－∠BOF的值是否为定值？

若是定值，求出∠AOE－∠BOF的值；若不是，请说明理由；

（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD＋∠EOF＝6∠COD,则n＝.

例5

已知：

O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，射线OC在北偏东m°的方向，

射线OE在南偏东n°的方向，射线OF平分∠AOE，且2m＋2n＝180°.

（1）如图1，∠COE＝，∠COF和∠BOE之间的数量关系为.

（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，试问

（1）中

∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？

若不发生变化，请你加以说明，若发生变化，请你什么理由；

（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE时,

2∠COF＋∠BOE＝.

练

（2015江岸区七上期末）如图，线段OA绕点O逆时针旋转一周，满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF＝58°，线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，在旋转过程中，∠MON的最大值是.

总结归纳

角度与线段的题本质上是相同的，只是线段是对一维直线的研究，角度是对二维平面的研究，二者联系紧密.不难看出，线段和角度的题型很大程度上是类似的，分类讨论的情况也类似，因此，对于角的旋转问题，可以类比线段动点问题的解法.

若不涉及旋转速度，则题目主要考查角的分类讨论和设元导角，如本讲例4例5，以及上有一讲的“四象限讨论法”也可以看作射线在旋转

若涉及旋转速度，则可类比“数轴动点问题”的解法，如本讲例6例7，只不过现在的射线带来的是张角大小的变化，不再是线段长度的变化.同学们可以对比、体会线段动点与角的旋转之间的异同.

题型二涉及速度的角的旋转

例6

（2014年东西湖区七上期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：

∠BOC＝1:

3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON，其中旋转的角度为a（0＜

a＜

360°）.

（1）如图2逆时针旋转图1中的直角△MON，使得ON落在射线OB上，此时a为度；

（2）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的旋转时间t的值.

（3）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的旋转时间t的值.

例7

（2014年汉阳区七上期末）如图1，O为直线AB上一点，过O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB上方.

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.

①如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值；

②此时ON是否平分∠AOC？

请说明理由.

（2）在

（1）的条件下，若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图3，那么经过多长时间OC平分∠MOB？

请画图并说明理由.

（3）在

（2）的条件下，从旋转开始经过多长时间OC平分∠MOB？

请画图并说明理由.

挑战压轴题

（2015江岸区七上期末）已知：

如图1，∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝

∠COD＝

.

（1）如图2，若

＝90°，

＝30°，则∠MON＝；

（2）如图3，若∠COD绕O逆时针旋转，且∠BOD＝

，求∠MON；

（3）如图4，

，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒，（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD，以下两个结论：

①

的值不变；②

的值不变，其中只有一个结论准确，请判断正确的结论，并说明理由.

第10讲【课后作业】

线角压轴题突破

1.（2014汉阳区七上期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足

.

（1）求线段AB的长；

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程

的解，在数轴上是否存在点P使

，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；

（3）如图，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点.

当P中B的右侧运动时，有两个结论：

①

的值不变；②

的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值.

2.（2013武昌区七上期末）如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，CD＝2BD，E为线段AC上一点，CE＝2AE.

（1）若AB＝18，BC＝21，求DE的长；

（2）若AB＝a，求DE的长（用含a的代数式表示）；

（3）若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍，求

的值.

3.（2013汉阳区七上期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在D左侧

（1）若

，求线段AB、CD的长；

（2）M、N分别为线段AC、BD的中点，则MN的长与CD的位置是否有关？

请以BC＜

CD为例说明；

（3）在

（1）的条件下，当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，下列两个结论：

①

是定值；

②是定值，请选择正确的一个并加以证明.

4.（2014洪山区七上期末）如图1，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOB与∠BOC互补.

（1）求∠AOB的度数；

（2）经过点O在∠AOC内部作射线OD、OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，当OD绕点O在∠AOC内部转动时，请写出∠AOB、∠COD和∠EOF之间的等量关系，并说明理由；

（3）如图，P在BO的延长线上，若∠POD＝50°，将∠AOC绕点O顺时针旋转，使AC与直线OB相交，在旋转的过程中，那么∠AOD－∠BOC的值是否发生变化？

请说明理由.

5.如图1，O为直线AB上一点，过O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝45°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，经过多少秒后OC所在直线恰好平分∠MON；

（2）在

（1）的条件下，若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒2°的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，那么经过多长时间射线OC平分∠MON？

请画图并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，从旋转开始经过多长时间OC平分∠MOB？

请画图并说明理由.

6.如图，点O为直线AB上一点，射线OC⊥AB于点O，将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处，斜边OE在射线OB上，直角顶点D在直线AB的下方.

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OE在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，此时直线OD是否平分∠AOC？

请说明理由；

（2）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线OD恰好平分∠AOC，则t的值为多少？

（3）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3，使OD在∠AOC的内部，请探究：

∠AOE与∠DOC之间的数量关系，并说明理由.