空间点直线平面之间的位置关系课时作业Word文件下载.docx

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2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（　　）

A．平行B．相交

C．垂直D．互为异面直线

不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l.

C

3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行B．一定相交

C．一定是异面直线D．一定垂直

两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.

D

4．如图所示，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°

，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为（　　）

A.B．－

C.D．－

延长CD至点H，使DH＝1，连接HG，HF，则HF∥AD，且HF＝DA＝2，又∵GF＝，HG＝，∴cos∠HFG＝＝.

5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD（如图2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（　　）

A．相交且垂直B．相交但不垂直

C．异面且垂直D．异面但不垂直

在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.

6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则（　　）

A．EF与GH平行

B．EF与GH异面

C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

D．EF与GH的交点M一定在直线AC上

连接EH，FG，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．

二、填空题

7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．

因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：

一是两两相交，有1个交点；

二是互相平行，没有交点．

0或1

8．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________．

∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.

又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c，∴a∥b∥c.

a∥b∥c

9.如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，∴MK∥AN，

∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，

N为BC的中点，

由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2.

∴MK＝.

在Rt△CKN中，CK＝＝.

在△CKM中，由余弦定理，得

cos∠KMC＝＝.

10.（2017·

揭阳模拟）如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB＝1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

如图，取A1C1的中点D1，连接B1D1，

因为D是AC的中点，

所以B1D1∥BD，

所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．

连接AD1，设AB＝a，

则AA1＝a，所以AB1＝a，B1D1＝a，AD1＝＝a.

所以，在△AB1D1中，由余弦定理得，

cos∠AB1D1＝

＝＝，

所以∠AB1D1＝60°

.

60°

三、解答题

11．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEB＝CFFB＝21，CGGD＝31，过E、F、G的平面交AD于点H.

（1）求AHHD；

（2）求证：

EH、FG、BD三线共点．

解：

（1）∵＝＝2，∴EF∥AC，

∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，

平面EFGH∩平面ACD＝GH，

∴EF∥GH，∴AC∥GH.

∴＝＝3，∴AHHD＝31.

（2）证明：

∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．

令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，又P∈FG，FG⊂平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴P∈BD，∴EH、FG、BD三线共点．

12．（2017·

河南焦作一模）如图所示，平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD＝2AB＝2AD＝2ED＝xAF.

（1）若四点F、B、C、E共面，AB＝a，求x的值；

平面CBE⊥平面EDB.

（1）∵AF∥DE，AB∥DC，AF∩AB＝A，DE∩DC＝D.

∴平面ABF∥平面DCE，

∵四点F，B，C，E共面，∴FB∥CE，

∴△ABF与△DCE相似．

∵AB＝a.

∴ED＝a，CD＝2a，AF＝，

由相似比得＝，即＝.

所以x＝4.

不妨设AB＝1，则AD＝AB＝1，CD＝2，在Rt△BAD中，BD＝，取CD中点为M，则MD与AB平行且相等，连接BM，可得△BMD为等腰直角三角形，因此BC＝，因为BD2＋BC2＝CD2，所以BC⊥BD，又因为平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊥AD，所以ED⊥平面ABCD，∴BC⊥DE，又因为BD∩DE＝D，∴BC⊥平面EDB，∵BC⊂平面ECB，∴平面CBE⊥平面EDB.

1．（2017·

山西四校联考）如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是（　　）

A．4πB．π

C．2πD.

连接DN，则△MDN为直角三角形，在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接DP，则DP＝1，所以点P在以D为球心，1为半径的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S＝×

4πR2＝.

2．（2016·

浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°

，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．

作BE∥AC，BE＝AC，连接D′E，则∠D′BE为所求的角或其补角，作D′N⊥AC于点N，设M为AC的中点，连接BM，则BM⊥AC，作NF∥BM交BE于F，连接D′F，设∠D′NF＝θ，∵D′N＝＝，BM＝FN＝＝，∴D′F2＝－5cosθ，∵AC⊥D′N，AC⊥FN，∴D′F⊥AC，∴D′F⊥BE，又BF＝MN＝，∴在Rt△D′FB中，D′B2＝9－5cosθ，∴cos∠D′BE＝＝≤，当且仅当θ＝0°

时取“＝”．

3．（2017·

广东适应性考试）如图，在直二面角E－AB－C中，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝2，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.

（1）证明：

FB⊥平面PAC；

（2）求异面直线PC与AB所成的角的余弦值．

易得FB＝4，cos∠PFA＝cos∠BFA＝.在△PAF中，

PA＝

＝＝.

∵PA2＋PF2＝3＋9＝12＝AF2，

∴PA⊥BF.

∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，AB⊥AC，∴AC⊥平面ABEF.

∵BF⊂平面ABEF，∴AC⊥BF.

∵PA∩AC＝A，∴BF⊥平面PAC.

（2）过P作PM∥AB，PN∥AF，分别交BE，BA于M，N，∠MPC或其补角为PC与AB所成的角．连接MC，NC.易得PN＝MB＝，AN＝，NC＝＝，BC＝2，PC＝＝，MC＝＝，cos∠MPC＝＝＝－.

∴异面直线PC与AB所成的角的余弦值为.