全国大学生数学建模B题Word下载.docx

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（一）、模型的初步建立

如M/M/1即表达到达过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台为一个，系统容量和顾客源无限，服务规则为FCFS的情况。

另外需要指出的是排队规则通常有标准型、顾客源有限型和服务系统容量有限型三种。

由于一个城市或任何地区的所有人都被认为是医院的可能“顾客”，这样到达的“顾客”数目可以认为是无限的，因此顾客源为有限的情况通常在医院服务中心是不存在的。

有些服务系统的容量是有限的，医院存在这种情形，如规定一天门诊挂50个号，那么第51个病人就会被拒绝。

对于医院急诊来说病人来源是无限的，系统容量也是无限的。

因此我们也可假定医院急诊排队系统就属于标准型：

1、排队系统的数量指标

研究排队系统的目的是通过了解系统状态，对系统进行调整和改进，使系统达到最优化的运行状态，取得最大的经济效益和社会效益。

从这一出发点，我们必须确定用以判断系统运行优劣的指标。

队长：

指在系统中的顾客数，包括正在排队的顾客和正在接受服务的顾客，它的期望值记作Ls；

队列长：

指在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值记作Lq；

队长=队列长+正被服务的顾客数。

Ls（或Lq）越大，说明服务率越低。

逗留时间：

指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作Ws；

等待时间：

指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq。

逗留时间=等待时间+服务时间

据调查显示，医院就诊排队问题中“顾客”常常只需关心等待时间的长短。

2、排队模型简介

M/M/1模型即指顾客到达服从泊松分布[3]，服务时间服从负指数分布，单服务台的情形，是实际中使用最广，数学处理最简单的模型，在排队论中有重要的作用。

标准的M/M/1模型是适合下列条件的排队系统：

输入过程——病人源是无限的，单个到来且相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布，到达过程已是平稳的（到达间隔时间及期望值、方差均不受时间影响）。

排队规则——单队，且对队长设有限制，先到先服务。

服务机构——单服务台，各病人的诊治时间时相互独立的，服从相同的负指数分布。

此外，还假定病人到达间隔时间和诊治时间是相互独立的。

M/M/1模型要求到达规律服从参数为

的泊松过程，服务时间服从参数为

的负指数分布。

即平均到达率，表示单位时间平均到达的病人数。

即平均服务率，表示单位时间能被服务完的病人数（期望值），而1/

就表示一个病人的平均服务时间。

在排队论中“平均”指概率论中的数学期望，这两个参数都需要对实测的数据经过统计学检验来确定。

有着重要意义，它是相同时间区间内病人到达的期望值与能被服务的期望值之比，这个比是刻划服务效率和服务机构利用程度的重要标志。

令

我们称

为服务强度。

在解排队论问题时，需要求出系统在任意时间的状态为n（系统中有几个病人数）的概率

，它决定了系统运行的特征，在本标准模型中，

。

由此推断，当

时，

，即系统内病人为0的概率，即空闲概率或病人不必等待的概率。

因此，可以得出排队论的各个运行指标：

多服务台标准模型M/M/S在计算上与M/M/1相似，其平均服务率

，或平均到达率

，即平均服务率是单服务台模型的s倍，到达率是平均到达率的1/s。

由此引出另一个问题，s个M/M/1与1个M/M/S模型相比谁的效率更高，在实际中即体现为分别在服务台排队还是统一排队安排进入服务台的问题。

计算证实，在服务台个数和服务率不变的条件下，联合服务（单队排队）比分散服务（多排队模式）效率更高，这是在实际使用中需要主要的问题。

因此，我们可以计算排队理论的各个指标，进行系统运行的评价。

在实际运用中，只要选择适当的模型，并提供输入数据，包括到达率

，服务率

和服务台数量，即可得出所有需要的评价指标。

3、使用排队模型中需要注意的问题

研究对象的数据分布律问题

派对系统中研究对象的数据分布通常需要经过假设检验验证（1-SampleK-STest）,通常来说，K-S检验比

[1]检验更具有优越性，因为其避免了

检验对于数据分类的依赖。

等待时间和服务能力的权衡

顾客等待和服务能力之间的权衡随处可见。

能力规划决策包含了对于提供服务的成本和顾客等待的成本（或者说是给顾客造成的不便）二者之间的权衡。

服务能力的成本由提供服务的服务台的数量决定，而顾客的不便是由等待时间来衡量的。

假设等待可以用货币成本来表示，那么，增加服务能力会导致等待成本降低而服务成本提高。

也就是我们在实际中看到的增加诊间或服务设备成本必然增加，而病人等待时间降低，这是决策者必须权衡的矛盾。

在排队理论中也提供了费用模型来解决这部分问题，但是必须计算出病人等待费用和我们的服务费用，其中病人等待的费用可能包括队列过长病人流失和病人等待病情恶化等潜在的损失，这在实际工作在很难估计。

稳态或统计平衡状态

计算上述所有指标的基础时系统状态的概率，这些状态概率与时刻t有关，但是当t充分大的时候，一个系统在t时刻的状态概率就接近于一个常数Pn.这时候就称为稳态或统计平衡状态。

我们所计算得出的概率都是在稳态的假设下得出的。

另外，根据以上的公式可以发现，当

时，即平均到达率大于平均服务率，系统中病人到达率大于了能够容纳的病人数，那么空闲概率

将成负值，这显然是不符合实际的。

我们可以解释为系统服务没有空闲的时间，而病人的队长将无限延长，也就是说，这一系统永远无法达到稳态，所以在运用排队理论时还有一个重要条件，即

或

排队理论在医院各项服务中都有广泛的运用前景，使用科学的方法进行科学的决策，也是现代管理所要求的。

在运用时必须注意运用的几个必要条件，否则将得出错误的结论。

在现实中，一般地随机到达规律都服从泊松过程。

病人到达医院的过程一般也是泊松过程，因此这有些情况下计算平均到独立时可不进行检验，以减少计算量。

图1.M|M|n多服务窗口等待制排队模型

（二）、原病床安排模型的优劣分析

问题一：

我们对各种病人的就诊情况进行了统计，并求了相关的平均值，具体结果如表1所示：

平均占床时间（出院—入院）

人数

入院--门诊相差天数

第1次手术—入院时间T1

第2次——第1次手术

术后观察时间

T4

急症

7.1

31

1

5.871

青光眼

10.35

34

12

2.41

7.941

白单

5.32

53

13

2.40

2.925

白双

8.4

62

3.52

2

4.903

视网膜

12.85

85

2.4

10.447

表1

表1中，平均占床时间指该病人从住院到出院所用的时间的平均值；

人数为该种病人在1个月到门诊看病人数；

入院与门诊的相差天数指门诊就诊时间与入院时间之间的等待天数；

于是，目前该医院住院部对全体非急症病人按照FCFS规则安排住院，计算出其平均等待时间

在床位满的情况下青光眼、白内障单眼手术、白内障双眼手术以及视网膜病人的需要就诊所需要平均等待时间依次分别为，14.41；

15.40；

15.52；

15.4天，而从平均占床时间可以看出，该种病人的在床位时间一般小于等待时间，因此在这种情况下，一些病人可能会得不到就诊而错过最佳的治疗时间，因此目前该医院的采取的入住方式不合理。

（三）、新模型的确立

由于在遇到急症病人需住院治疗时，必须立即为急症病人分配床位，而在不能分配床位的情况下，必须告知病人，让其在其他医院就诊，鉴于此，通过对急诊病人所占比例数据的统计分析，算得急症患者占床位时间基本为7天，而急症患者的平均入住时间占比例为0.089（见表2），在所给定79张床位的情况下，为急症病人分配7张床位，在以一周为7天为周期时，可以满足急症病人的要求。

因此在为其分配床位的情况下，该种患者的就诊不会对其他类病人产生影响。

本模型中参数

可通过现场获得，

和

分别表示该模型当中泊松流得参数，

表示负值数分布得参数，

表示窗口的数目。

系统的容量有限制（N）的情形（M/M/C/N/

）设系统的容量最大限制为N（

），当系统中顾客数n已达到N（即队列中顾客数已达

）时，再来的顾客即被拒绝，其他条件与标准的M/M/C/

相同。

（四）、排队模型得建立

1、求系统状态概率

与标准点M/M/C/

情况类似，得到

当n=N时，只有两种情况，如表

情况

时刻t顾客数

（t,t+

）

顾客数

到达

离去

A

B

N

N-1

与前同，解得：

于是有

由

即

当

时，由当前面的差分方程为：

解得

于是有，当

时，有

因为

1、求系统指标

顾客到达而能进入系统的概率为

，故系统的有效到达率为

特别的，当

（即时制）时，例如，停车场不允许排队等待空位，此时，

问题二：

现在就该医院当前的情况，建立合理的病床安排模型：

根据对数据的统计，将窗口分为4个的时候，服务强调小于1，此时可得表2，如下所示：

比例

分配床

第1次手术—入院时间

0.089

7

白内障

单眼

0.114

9

双眼

0.211

17

第三类

34

0.143

11

0.443

35

表2

依表2对于青光眼，所分配的床位数与平均占床时间的比为1:

1，以周期为7天计算的话，每天就有1.4人出院，因此可以接受1.4个此类病人入住；

同理，对于白内障单眼睛而言，分配床位数与平均占床时间比为1：

2，因此以7天为一个周期计算的话，一天就会有2.8人次/天出院；

白内障双眼，同样会有4人次出院，对于视网膜，分配床位数与平均占床时间比为2.7，故可以计算出，以7天为一周期的话，一天会有2.6人次/天，在将视网膜和青光眼作为在一个大类别处理的话，其每天会有3.8人次/天。

在此情况下，可以更具当天的即将出院的各类人数可以确定第二天的各类病人的入住人数，即：

在急症类病人当中可以安排1人入住；

白内障病人当中更具单双眼的比例，可以安排2个双眼和一个单眼患者入住；

由于视网膜和青光眼的比例为1：

3，此时在视网膜和青光眼类当中，可以安排3个视网膜患者和1个青光眼患者入住。

若床位不满，根据FCFS的原则，病人直接入住；

若是在满的情况下，来的病人数可采用以下方式，按照他们各个窗口内的出院人数接受病人：

1、在遇到急症病人时，立马让其入院，并在第二天就安排手术；

2、在周六及周日遇到白内障病人时，可将需要做双眼手术的人优先安排，这样可以保证该类病人能够在周一做第一只眼的手术，在周三做第二只眼睛的手术。

3、在遇到青光眼病人和视网膜眼科病人时，让他们按照3：

1的比例入住。

（五）模型检验

依据上面模型，通过相关程序进行检测，得出各种病人入住时的平均等待时间，如下表所示:

基于该模型求得的病床安排方案

最优适用度值

最短的平均等待时间

11233122222222233221213222122222213233233123333331332232121222113132221

9311.3

9.565277777777787

311331221332313331312231213321312321222113112222121112232131111213232133

9306.9

9.626388888888894

221233111233331332321311222223221121322333121222221222132231132221131132

9306.2

9.6361111111111

222311332112113132321122312122323121111131121222311322233322322133321323

9308.1

9.609722222222217

331211212313213221222122322332222213331122221313231111321133121221132231

9303.45

9.674305555555545

113221311233222311132331212231223123313132222321213221131131333232312121

9309.65

9.588194444444449

312322211232133322132211123311232122322223122322333131131232122312313233

9313.2

9.538888888888879

132********2332121222231331123232212223122323223132113121212321332111212

9307.35

9.620138888888883

233331*********132132322213123322321133313122121223322323331312222322121

9314.0

9.527777777777779

212211312233322122313323221133233232131233232323122121233332121212113311

9314.35

9.522916666666662

132********1213222133221112222212212333211213322221222331223323313312132

9308.15

9.609027777777783

表3

其中该模型求得的病床安排方案栏中，符号表示为：

1、白内障双眼病人入住，2、白内障单眼手术患者入住，3、青光眼和视网膜患者入住。

在最优适用度值变化很小的情况下，最短的平均等待时间变化很小，因此，该模型是稳定的。

根据上述模型，对计算出数据进行了随机帅选，选取少量的数据如表4所示：

次

数

2

3

4

5

6

7

平均等待时间

（天）

9.565

9.626

9.636

9.609

9.671

9.615

9.588

表4

从数据可以看出，平均等待时间小于该医院开始时采用的除急症病人外的先来先服务的平均等待时间T（13.734），即

.因此可以说，这种模型是可采纳的。

问题三：

在本就诊规则中，为病人进行了分类就诊方案[6]，并且在每一类当中，它都有其占病床天数，其等待时间的最大值应该为所分配的病床数目除以该类型病人的每天的出院人数，即可得到该病人的最大等待时间。

即依次算得白内障单眼，白内障双眼，视网膜和青光眼的最大等待时间为：

3.2天，4.25天，12天，最小值为1天，在门诊时，可以根据他在队列里面属于该类病人的位序和最大等待时间的差额来告知大致的入住时间。

即等待时间=最大等待时间--病人的位序。

而此时，在不耽误病人情况、在降低医院效率的情况下，可以让就诊队列里面的人数不应该超过各自所属病类型的最大等待时间。

问题四：

原方案当中，只是白内障病人的手术不安排在周六和周日做，其他的病人在就诊之后，只要是适合手术（除周一和周三之外），在条件允许的情况下就可以安排手术，周六和周天也可以安排手术。

而在周六周日不安排手术，此种变动对白内障病人的入住及手术没有产生任何影响，可以根据他们各自类别的平均入住时间，选用在周六和周日安排更多的数目入住，其他的时候可以相对这两天而言安排的数目比例应该小一些，这样可以在保持安排人数不变的情况下，让手术时间避开周六及周日做。

问题五：

逗留时间是指一个顾客在系统中的停留时间，它的期望值记作Ws。

等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq。

据调查显示，医院就诊排队问题中顾客常常只需关心等待时间的长短,而与服务时间的长短基本无关，因此，为了便于管理，一般情形下，在要求平均逗留时间（含等待入院时间及住院时间）最短的情况下，只需要各种平均等待时间最小，可以安排如下：

床位比例模型如下表5所示：

0.143

11

表5

五、模型分析

由于在建模的时候，首先在考虑急症病人的特殊性，为其分配了一定的床位，保证了该类病人不会在队列中和其他的病人争用窗口而产生等待时间，这样使得我们只需要考虑其余病人的情况，即白内障双眼、白内障单眼和青光眼和视网膜疾病这三种病人的入住情况。

而且在白内障双眼病人就诊时一般会安排在周六和周天入住，这样保证了这种病人在周一做一只眼手术，能够确保在周三做完第二只眼睛的手术，这样会减少该类病人的术前的等待时间，从而大大减少了整个排队系统的等待时间。

在对于青光眼和视网膜眼科疾病的病人安排时，将这两类病人安排在同一窗口来就诊，其原因在于在相等的时间段内，这两类就诊人数和白内障眼科病人的比例基本相等。

而且他俩的平均占床位时间很接近，在时间比较长的情形下，为他们分配的时间比较充分，使得他们在该窗口中就诊，会明显的减少等待时间，同样会提高医院的效率，使得整个在使用该模型的就诊方案时的平均等待时间极大的减少，一般病人不会因为等待时间久而放弃在该医院就诊，同时也减小了该医院的经济损失。

随后利用了程序对其进行了验证，得出平均等待时间的变化幅度较小，建立模型中，运用了排队论的原理，模型精确且稳定。

六、模型的评价

建模方法简单，便于实现。

利用该模型安排眼科医院床位患者需等待时间较短，相对误差小，不需要医院投入太多的设备和医务人员的投入，该模型实现十分灵活，适用于各种情况下的医生就医问题。

参考文献

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