复数十年高考题Word格式.docx
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18.若z∈C,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z=.
19.若复数z满足方程i=i-1(i是虚数单位),则z=_____.
20.已知a=(i是虚数单位),那么a4=_____.
21.复数z满足(1+2i)=4+3i,那么z=_____.
三、解答题
22.已知z、w为复数,(1+3i)z为纯虚数,w=,且|w|=5,求w.
23.已知复数z=1+i,求实数a,b使az+2b=(a+2z)2.
24.已知z7=1(z∈C且z≠1).
(Ⅰ)证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(Ⅱ)设z的辐角为α,求cosα+cos2α+cos4α的值.
※25.已知复数z1=i(1-i)3.
(Ⅰ)求argz1及|z1|;
(Ⅱ)当复数z满足|z|=1,求|z-z1|的最大值.
26.对任意一个非零复数z,定义集合Mz={w|w=z2n-1,n∈N}.
(Ⅰ)设α是方程x+的一个根,试用列举法表示集合Mα;
(Ⅱ)设复数ω∈Mz,求证:
MωMz.
27.对任意一个非零复数z,定义集合Mz={w|w=zn,n∈N}.
(Ⅰ)设z是方程x+=0的一个根,试用列举法表示集合Mz.若在Mz中任取两个数,求其和为零的概率P;
(Ⅱ)若集合Mz中只有3个元素,试写出满足条件的一个z值,并说明理由.
28.设复数z满足|z|=5,且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,|z-m|=5(m∈R),求z和m的值.
29.已知复数z0=1-mi(M>0),z=x+yi和ω=x′+y′i,其中x,y,x′,y′均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有ω=·
,|ω|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式;
(Ⅱ)将(x,y)作为点P的坐标,(x′,y′)作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:
它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.
当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;
(Ⅲ)是否存在这样的直线:
它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上若存在,试求出所有这些直线;
若不存在,则说明理由.
※30.设复数z=3cosθ+i·
2sinθ.求函数y=θ-argz(0<θ<)的最大值以及对应的θ值.
※31.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实数根b,且z=a+bi,求复数(1-ci)(c>0)的辐角主值的取值范围.
※32.设复数z满足4z+2=3+i,ω=sinθ-icosθ(θ∈R).求z的值和|z-ω|的取值范围.
※33.已知复数z1满足(z1-2)i=1+i,复数z2的虚部为2,且z1·
z2是实数,求复数z2的模.
※34.已知向量所表示的复数z满足(z-2)i=1+i,将绕原点O按顺时针方向旋转得,设所表示的复数为z′,求复数z′+i的辐角主值.
※35.已知复数z=i,w=i,求复数zw+zw3的模及辐角主值.
36.已知复数z=i,ω=i.复数z,z2ω3在复数平面上所对应的点分别是P、Q.证明:
△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).
37.设虚数z1,z2满足z12=z2.
(1)若z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1、z2;
※
(2)若z1=1+mi(m>0,i为虚数单位),ω=z2-2,ω的辐角主值为θ,求θ的取值范围.
38.设z是虚数,w=z+是实数,且-1<ω<2.
(Ⅰ)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(Ⅱ)设u=,求证:
u为纯虚数;
(Ⅲ)求w-u2的最小值.
39.已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z1+z2=i.求z1、z2的值.
※40.设复数z=cosθ+isinθ,θ∈(π,2π).求复数z2+z的模和辐角.
※41.在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O
是原点),已知Z2对应复数z2=1+i,求Z1和Z3对应的复数.
※42.已知z=1+i,
(Ⅰ)设w=z2+3-4,求w的三角形式.
(Ⅱ)如果=1-i,求实数a,b的值.
43.设w为复数,它的辐角主值为π,且为实数,求复数w.
答案解析
1.答案:
B
解析一:
通过复数与复平面上对应点的关系,分别求出z1、z2的辐角主值.argz1=π,argz2=.
所以arg∈[0,2π),
∴argπ.
解析二:
因为.
在复平面的对应点在第一象限.故选B
评述:
本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念,同时考查了灵活运用知识解题的能力,体现了数形结合的思想方法.
2.答案:
A
解析:
由已知z=[(m-4)-2(m+1)i]在复平面对应点如果在第一象限,则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.
3.答案:
(1+i)(cosθ+isinθ)=(cos+isin)(cosθ+isinθ)
=[cos(θ+)+isin(θ+)]
∵θ∈(,π)∴θ+∈(,)
∴该复数的辐角主值是θ+.
4.答案:
C
解法一:
(i)3=(cos60°
+isin60°
)3=cos180°
+isin180°
=-1
解法二:
,
∴
5.答案:
D
6.答案:
∴
∴应在第四象限,tanθ=,θ=arg.
∴arg是π.
7.答案:
∵argz1=π,argz2=π
∴tanθ=tan=tan75°
=tan(45°
+30°
)=.
8.答案:
根据复数乘法的几何意义,所求复数是
.
9.答案:
采用观察排除法.复数对应点在第二象限,而选项A、B中复数对应点在第一象限,所以可排除.而选项D不是复数的三角形式,也可排除,所以选C.
把复数直接化为复数的三角形式,即
10.答案:
11.答案:
设z1=2sinθ+icosθ=|z1|(cosα+isinα),
其中|z1|=,
sinα=().
∴z2=|z1|·
[cos(α)+isin(α)]
=r(cos+isin).
∴tan=
12.答案:
∵-i=cos+isin
∴-i的三个立方根是cos(k=0,1,2)
当k=0时,;
当k=1时,;
当k=2时,.
故选D.
由复数开方的几何意义,i与-i的另外两个立方根表示的点均匀地分布在以原点为圆心,1为半径的圆上,于是另外两个立方根的虚部必为-,排除A、B、C,选D.
本题主要考查了复数开方的运算,既可用代数方法求解,也可用几何方法求解,但由题干中的提示,几何法解题较简捷.
13.答案:
故(2+2i)4=26(cosπ+isinπ)=-26,1-,
故.
于是,
所以选B.
原式=
∴应选B
解法三:
2+2i的辐角主值是45°
,则(2+2i)4的辐角是180°
;
1-i的一个辐角是-60°
,则(1-i)5的辐角是-300°
,所以的一个辐角是480°
,它在第二象限,从而排除A、C、D,选B.
本题主要考查了复数的基本运算,有一定的深刻性,尤其是选择项的设计,隐藏着有益的提示作用,考查了考生观察问题、思考问题、分析问题的综合能力.
14.答案:
z=-i是z3=1的一个根,记z=ω,ω4=ω,故选B.
15.答案:
设复数z在复平面的对应点为z,因为|z+i|+|z-i|=2,所以点Z的集合是y轴上以Z1(0,-1)、Z2(0,1)为端点的线段.
|z+1+λ|表示线段Z1Z2上的点到点(-1,-1)的距离.此距离的最小值为点Z1(0,-1)到点(-1,-1)的距离,其距离为1.
本题主要考查两复数之差的模的几何意义,即复平面上两点间的距离.
16.答案:
Rez>1
设z=a+bi,如果z+>2,即2a>2
∴a>1反之,如果a>1,则z+=2a>2,故z+>2的一个充要条件为Rez>1.
本题主要考查复数的基本概念、基本运算及充要条件的判断方法.
17.答案:
设
∵w1⊙w2=0∴由定义x1x2+y1y2=0
∴OP1⊥OP2∴∠P1OP2=.
18.答案:
z=-3-i
∵(3+z)i=1∴3+z=-i∴z=-3-i
19.答案:
1-i
∵i=i-1,∴=(i-1)(-i)=1+i
∴z=1-i.
20.答案:
-4
a4=[()2]2=[]4=()4
=(-1+i)4=(-2i)2=-4
21.答案:
2+i
由已知,
故z=2+i.
22.解法一:
设z=a+bi(a,b∈R),则(1+3i)z=a-3b+(3a+b)i.
由题意,得a=3b≠0.
∵|ω|=,
∴|z|=.
将a=3b代入,解得a=±
15,b=±
15.
故ω=±
=±
(7-i).
由题意,设(1+3i)z=ki,k≠0且k∈R,
则ω=.
∵|ω|=5,∴k=±
50.
23.解:
∵z=1+i,
∴az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,
(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i,
因为a,b都是实数,所以由az+2b=(a+2z)2得
两式相加,整理得a2+6a+8=0,
解得a1=-2,a2=-4,
对应得b1=-1,b2=2.
所以,所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.
24.(Ⅰ)解法一:
z,z2,z3,…,z7是一个等比数列.
∴由等比数列求和公式可得:
∴1+z+z2+z3+…+z6=0
S=1+z+z2+…+z6①
zS=z+z2+z3+…+z6+z7②
∴①-②得(1-z)S=1-z7=0
∴S==0
(Ⅱ)z7=1,z=cosα+isinα
∴z7=cos7α+isin7α=1,7α=2kπ
z+z2+z4=-1-z3-z5-z6
=-1-[cos(2kπ-4α)+isin(2kπ-4α)+cos(2kπ-2α)+isin(2kπ-
2α)+cos(2kπ-α)+isin(2kπ-α)]
=-1-(cos4α-isin4α+cos2α-isin2α+cosα-isinα)
∴2(cosα+cos2α+cos4α)=-1,
cosα+cos2α+cos4α=-
z2·
z5=1,z2=
同理z3=,z=
∴z+z2+z4=-1---
∴z+++z++z=-1
∴cos2α+cosα+cos4α=
25.(Ⅰ)解:
z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i)
∴|z1|=,argz1=2(cosπ+isinπ)
∴argz1=π
(Ⅱ)解法一:
|z|=1,∴设z=cosθ+isinθ
|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|
=
当sin(θ)=1时|z-z1|2取得最大值9+4
从而得到|z-z1|的最大值2+1
|z|=1可看成z为半径为1,圆心为(0,0)的圆.
而z1可看成在坐标系中的点(2,-2)
∴|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点距离最大.由图12—2可知:
|z-z1|max=2+1
26.(Ⅰ)解:
∵α是方程x2-x+1=0的根
∴α1=(1+i)或α2=(1-i)
当α1=(1+i)时,∵α12=i,α12n-1=
当α2=(1-i)时,∵α22=-i
∴Mα=}
(Ⅱ)证明:
∵ω∈Mz,∴存在M∈N,使得ω=z2m-1
于是对任意n∈N,ω2n-1=z(2m-1)(2n-1)
由于(2m-1)(2n-1)是正奇数,ω2n-1∈Mz,∴MωMz.
27.解:
(Ⅰ)∵z是方程x2+1=0的根,
∴z1=i或z2=-i,不论z1=i或z2=-i,
Mz={i,i2,i3,i4}={i,-1,-i,1}
于是P=.
(Ⅱ)取z=,
则z2=i及z3=1.
于是Mz={z,z2,z3}或取z=i.(说明:
只需写出一个正确答案).
28.解:
设z=x+yi(x、y∈R),
∵|z|=5,∴x2+y2=25,
而(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i,
又∵(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,
∴3x-4y+4x+3y=0,得y=7x
∴x=±
,y=±
即z=±
(+i);
z=±
(1+7i).
当z=1+7i时,有|1+7i-m|=5,
即(1-m)2+72=50,
得m=0,m=2.
当z=-(1+7i)时,同理可得m=0,m=-2.
29.解:
(Ⅰ)由题设,|ω|=|·
|=|z0||z|=2|z|,
∴|z0|=2,
于是由1+m2=4,且m>0,得m=,
因此由x′+y′i=·
得关系式
(Ⅱ)设点P(x,y)在直线y=x+1上,则其经变换后的点Q(x′,y′)满足
消去x,得y′=(2-)x′-2+2,
故点Q的轨迹方程为y=(2-)x-2+2.
(Ⅲ)假设存在这样的直线,
∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,
∴所求直线可设为y=kx+b(k≠0).
解:
∵该直线上的任一点P(x,y),其经变换后得到的点Q(x+y,x-y)仍在该直线上,
∴x-y=k(x+y)+b,
即-(k+1)y=(k-)x+b,
当b≠0时,方程组无解,
故这样的直线不存在.
当b=0,由,
得k2+2k=0,
解得k=或k=,
故这样的直线存在,其方程为y=x或y=x.
本题考查了复数的有关概念,参数方程与普通方程的互化,变换与化归的思想方法,分类讨论的思想方法及待定系数法等.
30.解:
由0<θ<得tanθ>0.
由z=3cosθ+i·
2sinθ,得0<argz<及tan(argz)=tanθ
故tany=tan(θ-argz)=
∵+2tanθ≥2
∴≤
当且仅当=2tanθ(0<θ<)时,
即tanθ=时,上式取等号.
所以当θ=arctan时,函数tany取最大值
由y=θ-argz得y∈().
由于在()内正切函数是递增函数,函数y也取最大值arctan.
本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖,对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.
31.解:
∵方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,
∴b2+(4+i)b+4+ai=0,
得b2+4b+4+(b+a)i=0,
即有
得z=a+bi=2-2i,
∴.
当0≤c≤1时,复数(1-ci)的实部大于0,虚部不小于0,
∴复数(1-ci)的辐角主值在[0,
范围内,有arg[(1-ci)]=arctan=arctan(-1),
∵0<c≤1,∴0≤-1<1,
有0≤arctan(-1)<,
∴0≤arg[(1-ci)]<.
当c>1时,复数(1-ci)的实部大于0,虚部小于0,
∴复数(1-ci)的辐角主值在(,2π)
范围内,有arg[(1-ci)]=2π+arctan=2π+arctan(-1).
∵c>1,∴-1<-1<0,
有<arctan(-1)<0,
∴<arg[(1-ci)]<2π.
综上所得复数(1-ci)(c>0)的辐角主值的取值范围为[0,∪(,2π).
本题主要考查复数的基本概念和考生的运算能力,强调了考生思维的严谨性.
32.解:
设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入4z+2=3+i
得4(a+bi)+2(a-bi)=3+i.
∴.∴z=i.
|z-ω|=|i-(sinθ-icosθ)|
=
∵-1≤sin(θ-)≤1,∴0≤2-2sin(θ-)≤4.
∴0≤|z-ω|≤2.
本题考查了复数、共轭复数的概念,两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.
33.解:
由(z1-2)i=1+i得z1=+2=(1+i)(-i)+2=3-i
∵z2的虚部为2.
∴可设z2=a+2i(a∈R)
z1·
z2=(3-i)(a+2i)=(3a+2)+(6-a)i为实数.
∴6-a=0,即a=6
因此z2=6+2i,|z2|=.
34.解:
由(z-2)i=1+i得z=+2=3-i
∴z′=z[cos(-)+isin(-)]=(3-i)(i)=-2i
z′+i=-i=2(i)=2(cosπ+isinπ)
∴arg(z1+i)=π
本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念.
35.解法一:
zw+zw3=zw(1+w2)=(i)(i)(1+i)
=(1+i)2(i)=
故复数zw+zw3的模为,辐角主值为.
w=i=cos+isin
zw+zw3=z(w+w3)=z[(cos+isin)+(cos+isin)3]
=z[(cos+isin)+(cos+isin)]=z()
故复数zw+zw3的模为,辐角主值为π.
本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.
36.证法一:
ω=
于是zω=cos+isin,=cos(-)+isin(-).
z2ω3=[cos(-)+isin(-)]×
(cosπ+isinπ)=cosπ+isinπ
因为OP与OQ的夹角为π-(-)=.
所以OP⊥OQ
又因为|OP|=||=1,|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1
∴|OP|=|OQ|.
由此知△OPQ为等腰直角三角形.
证法二:
∵z=cos(-)+isin(-).
∴z3=-i
又ω=.
∴ω4=-1
于是
由此得OP⊥OQ,|OP|=|OQ|
故△OPQ为等腰直角三角形.
37.解:
(1)因为z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根,所以z1、z2是共轭复数.
设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=a-bi
于是(a+bi)2=(a-bi),于是
解得或
(2)由z1=1+mi(m>0),z12=z2得z2=(1-m2)+2mi
∴ω=-(1+m2)+2mi
tanθ=-
由m>0,知m+≥2,于是-1≤tanθ≤0
又-(m2+1)<0,2m>0,得π≤θ<π
因此所求θ的取值范围为[π,π).
38.解:
(Ⅰ)设z=a+bi,a、b∈R,b≠0
则w=a+bi+
因为w是实数,b≠0,所以a2+b2=1,
即|z|=1.
于是w=2a,-1<w=2a<2,-<a<1,
所以z的实部的取值范围是(-,1).
(Ⅱ).
因为a∈(-,1),b≠0,所以u为纯虚数.
(Ⅲ)
.
因为a∈(-,1),所以a+1>0,
故w-u2≥2·
2-3=4-3=1.
当a+1=,即a=0时,w-u2取得最小值1.
39.解:
由|z1+z2|=1,得(z1+z2)()=1,又|z1|=|z2|=1,故可得z1+z2=-1,所以z1的实部=z2的实部=-.又|z2|=1,故z2的虚部为±
z2=-±
i,z2=z1.
于是z1+z1,
所以z1=1,z2=或z1=,z2=1.
所以,或
40.解法一:
z2+z=(cosθ+isinθ)2+cosθ+isinθ=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ
=2cosθcos+i·
2sincos=2cos(cosθ+isinθ)
=-2cos[cos(π+θ)+isin(π+θ)]
∵θ∈(π,2π),∴∈(,π),∴-2cos>0
∴复数z2+z的模为-2cos,辐角为2kπ+π+θ(k∈Z)
z2+z=z(1+z)=(cosθ+isinθ)(1+cosθ+isinθ)
=(cosθ+isinθ)(2cos2+i·
2sincos)
=2cos(cosθ+isinθ)(cos+isin)=2cos(cosθ+isinθ)
以下同解法一.
41.解法一:
如图12—3,设Z1、Z3对应的复数分别为z1、z3,则由复数乘除法的几何意义有z1=z2[cos()+isin()]
z3=.
注:
求出z1后,z3=iz1=
设Z1、Z3对应的复数分别是z1、z3,根据复数加法和乘法的几何意义,依题意得
∴z1=z2(1-i)=(1-i)(1-i)=i
z3=z2-z1=(1+i)-(i)=i
本题主要考查复数的基本概念和几何意义,以及运算能力.此题以复平面上的简单几何图形为背景,借以考查复数的向量表示与复数运算的几何意义等基本知识,侧重概念、性质的理解与掌握,以及运