振动图像与波的图像及多解问题专题.doc
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振动图像与波的图像及多解问题
一、振动图象和波的图象
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．
简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：
振动图象
波动图象
研究对象
一振动质点
沿波传播方向所有质点
研究内容
一质点的位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图线
物理意义
表示一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图线变化
随时间推移图延续，但已有形状不变
随时间推移，图象沿传播方向平移
一完整曲线占横坐标距离
表示一个周期
表示一个波长
例题精选：
例题1：
如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象
（1）说出两图中AA/的意义？
（2）说出甲图中OA/B图线的意义？
（3）求该波速v=？
（4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图
（5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移
解析：
（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．
（2）甲图中OA/B段图线表示O到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．
（3）甲图得波长λ＝4m，乙图得周期T＝1s所以波速v=λ/T=4m/s
（4）用平移法：
Δx＝v·Δt＝14m＝（3十½）λ
所以只需将波形向x轴负向平移½λ=2m即可，如图6——28所示
（5）求路程：
因为n==7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。
8m
求位移：
由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零．
例题2：
如图所示，
（1）为某一波在t＝0时刻的波形图，
（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是
A．该列波的波速度为4m／s；
B．若P点的坐标为xp＝2m，则该列波沿x轴正方向传播
C．该列波的频率可能为2Hz；
D．若P点的坐标为xp＝4m，则该列波沿x轴负方向传播；
解析：
由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速v＝λ／T＝4m／s．
由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：
若P点的坐标为xp＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为xp＝4m，则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝l／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确．
点评：
当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T、波速v均是唯一的．由于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P点在t＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向
二、波动图象的多解
波动图象的多解涉及：
（1）波的空间的周期性；
（2）波的时间的周期性；（3）波的双向性；（4）介质中两质点间距离与波长关系未定；（5）介质中质点的振动方向未定．
1．波的空间的周期性
沿波的传播方向，在x轴上任取一点P（x），如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt=x/v=xT0/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．
空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．
2．波的时间的周期性
在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况（位移、速度、加速度等）相同．因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．
波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．
①传播距离：
②传播时间：
③传播速度：
④质点振动路程：
3．波的双向性
双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．
4．介质中两质点间的距离与波长关系未定
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．
5．介质中质点的振动方向未定
在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样形成多解．
说明：
波的对称性：
波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．5．已知波速v和波形，画出再经时间波形图的方法
⑴平移法：
先算出经时间波传播的距离，再把波形沿波的传播方向平移即可。
因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变。
当时，可采取去整留零的方法，只需移x即可。
⑵特殊点法：
在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看。
由于经nT波形不变，所以也是去整留零，分别做出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。
6．已知振幅A和周期T，求振动质点在时间内的路程和位移
求振动物体在时间内的路程和位移，由于涉及质点的初始状态，需用正弦函数较复杂。
特殊情况下如T/2或T时，则比较容易求。
当质点的初始位移为x0时，经T/2的奇数倍时x=-x0，经T/2的偶数倍时，x=x0。
振动质点无论从哪个位置开始计时，在一个周期内通过的路程为4A，半个周期内通过的路程为2A，但不能说四分之一周期内通过的路程为A。
这与振子的计时位置有关。
例题3：
一列在x轴上传播的简谐波，在xl=10cm和x2=110cm处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为s，这列简谐波的波长为cm．
【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为4s．由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性：
（1）波沿x轴的正方向传播．在t＝0时，x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x2一x1＝（n十1/4）λ，λ=400/（1十4n）cm
（2）波沿x轴负方向传播．在t＝0时．x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性……，x2一x1＝（n十3/4）λ，λ=400／（3＋4n）cm
点评：
由于波在媒质中传播具有周期性的特点，其波形图每经过一个周期将重复出现以前的波形图，所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的（若要是唯一的，就得有两个前提：
一个是确定波传播方向；一个是确定波长的范围）．
例题4：
如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。
求：
4
x/m
y
0
①波传播的可能距离②可能的周期（频率）
③可能的波速④若波速是35m/s，求波的传播方向
⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。
解析：
①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：
向左传播或向右传播。
向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m（n=0、1、2…）
向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=（4n+1）m（n=0、1、2…）
②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：
T=4t/（4n+3）=0.8/（4n+3）（n=0、1、2…）
向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：
T=4t/（4n+1）=0.8/（4n+1）（n=0、1、2…）
③计算波速，有两种方法。
v=x/t或v=λ/T
向左传播时，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s.或v=λ/T=4（4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2…）
向右传播时，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s.或v=λ/T=4（4n+1）/0.8=（20n+5）m/s.（n=0、1、2…）
④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播。
⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。
则：
向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：
周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：
周期T=0.8s；波速v=5m/s.
点评：
做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。
例题5：
如图所示，一列简谐横波在t1时刻的波形，如图甲所示，质点P在该时刻的振动速度为v，t2时刻质点P的振动速度与t1时刻的速度大小相等，方向相同；t3时刻质点P的速度与t1时刻的速度大小相等，方向相反．若t2－t1＝t3—t2＝0．2秒，求这列波的传播速度．
解析：
从振动模型分析，若质点P从t1时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有：
t2—t1＝（n＋1／4）Tn＝0，1，2……
周期为：
T=（t2一t1）／（n十1/4）n＝0，1，2……
由公式：
v＝λ／T得出速度v的通解为：
v＝20（n＋l／4）n=0，1，2……方向向左．
若质点P从t1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有：
t2—t1＝（n＋3／4）Tn＝0，1，2……
周期为：
T=（t2一t1）／（n十3/4）n＝0，1，2……
由公式：
v＝λ／T得出速度v的通解为：
v＝20（n＋3／4）n=0，1，2……方向向右．
答案：
v＝20（n＋l／4）（n＝0，1，2……）方向向左．
或v＝20（n＋3／4）（n＝0，1，2，……）方向向右
123456789
QR
P
x/cm
s/m
O
例题6：
已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。
t2-t1=0.02s来求：
⑴该波可能的传播速度。
⑵若已知T⑶若0.01s解：
⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t2-t1内波形向右匀速传播了，所以波速=100（3n+1）m/s（n=0,1,2,…）；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v=100（3n+2）m/s（n=0,1,2,…）
⑵P质点速度向上，说明波向左传播，Tv=500m/s
⑶“Q比R先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01sv=400m/s
例题7：
一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d的M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰，若经过时间t，N质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？
A
C
B
D
分析与解：
本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N）：
若波的传播方向由M到N，那么：
在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且，所以波速．
在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波在时间t内向右前进的距离，且，所以波速．
在C图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
在D图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
若波的传播方向从N到M，那么：
在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰，则时间，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．
在B图中，经过时间t，N到达波峰，则时间，在此时间内波向左前进的距离，所以波速．
在C图中，波在时间t内向左前进的距离，且，所以波速．
在D图中，质点N经过变为波峰，所以，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．
所以该列波可能的波速有五种、、、、．
其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N点的距离S，波速v就等于．例如：
最后一种情况中，波峰在传播方向上到N点的距离，所以波速．其它情况读者可自行解决．
例题8：
（06上海10）在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点,相邻两质点的距离均为L,如图（a）所示,一列横波沿该直线向右传播,t=0时到达质点1,质点1开始向下运动,经过时间Δt第一次出现如图（b）所示的波形.则该波的 （）
A.周期为Δt,波长为8L
B.周期为Δt,波长为8L
C.周期为Δt,波速为12L/Δt
D.周期为Δt,波速为8L/Δt
答案BC
解析由图（b）可看出,该波波长λ=8L,质点9此时向上运动,这说明在Δt时间内,波传播的距离大于一个波长,因质点1开始振动的方向向下,故波传播到质点9时,质点9起振的方向应向下,而图（b）中质点9向上振动,这说明质点9已振动了,故Δt=+T,T=Δt,机械波传播的速度为v===,由此可知B、C选项正确.
例题9：
（07四川理综20）图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图,图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图象.从该时刻起 （）
A.经过0.35s时,质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
B.经过0.25s时,质点Q的加速度大于质点P的加速度
C.经过0.15s,波沿x轴的正方向传播了3m
D.经过0.1s时,质点Q的运动方向沿y轴正方向
解析由振动图象可判定t=0时刻质点P向下振动,则机械波向右传播.经0.35s,即经1T时,P点在波峰,故Q距平衡位置的距离小于P到平衡位置的距离,A对;经0.25s,即经1T时,P在波谷,Q的加速度小于P的加速度,B错;波速v==m/s=20m/s,所以经0.15s波沿x轴的正方向传播的距离s=vΔt=20×0.15m=3m,C对;Q点图示时刻向上振动,经半个周期,其运动方向沿y轴负方向,D错.答案AC
例题10：
（07上海9）如图所示,位于介质Ⅰ和Ⅱ分界面上的波源S,产生两列分别沿x轴负方向与正方向传播的机械波.若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和v1、v2,则 （）
A.f1=2f2,v1=v2
B.f1=f2,v1=0.5v2
C.f1=f2,v1=2v2
D.f1=0.5f2,v1=v2
解析机械波的频率是由波源决定的,机械波的传播速度是由介质决定的,所以f1=f2,对Ⅰ介质,波速v1=λ1f=Lf,对Ⅱ介质,波速v2=λ2f=f,所以v1=2v2.答案C
例题11：
（08全国Ⅰ16）一列简谐横波沿x轴传播,周期为T.t=0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于x=3m处的质点正在向上运动,若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xa=2.5m,xb=5.5m,则 （）
A.当a质点处在波峰时,b质点恰在波谷
B.t=T/4时,a质点正在向y轴负方向运动
C.t=3T/4时,b质点正在向y轴负方向运动
D.在某一时刻,a、b两质点的位移和速度可能相同
答案C
解析a、b两质点的平衡位置间的距离为Δx=xb-xa=5.5m-2.5m=3m,从波的图象可知：
λ=4m,所以Δx=λ.若Δx=（n+）λ且n=0,1,2,3…时两质点的振动反相,故A项错.由x=3m处的质点在t=0时刻的速度方向可判断出波速方向为-x方向,此时质点a、b的速度方向分别为+y、-y方向,可知B错,C对.若Δx=nλ且n=1,2,3…时两个质点的振动同相,故D错.
16.（09·上海物理·12）弹性绳沿x轴放置，左端位于坐标原点，用手握住绳的左端，当t＝0时使其开始沿y轴做振幅为8cm的简谐振动，在t＝0.25s时，绳上形成如图所示的波形，则该波的波速为___________cm/s，t＝___________时，位于x2＝45cm的质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。
答案：
20，2.75
解析：
由图可知，这列简谐波的波长为20cm，周期T=0.25s×4=1s，所以该波的波速；从t=0时刻开始到N质点开始振动需要时间,在振动到沿y轴正向通过平衡位置需要再经过，所以当t=（2.25+0.5）s=2.75s，质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。
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