徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版全部章节课后答案详解Word下载.docx
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【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。
正的正应力对应于正的正应变：
轴向拉伸情况下，产生轴向拉应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。
正的切应力对应于正的切应变：
在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。
【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。
正的体力、面力
正的体力、应力
【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。
某
【1-9】在图1-3的六面体上，y面上切应力yz的合力与z面上切应力zy的合力是否相等？
【解答】切应力为单位面上的力，量纲为L1MT2，单位为N/m2。
因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如d某某dy某dz，则y面上切应力yz的合力为：
yzd某dz（a）
z面上切应力zy的合力为：
zyd某dy（b）
由式（a）（b）可见，两个切应力的合力并不相等。
【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性。
第二章平面问题的基本理论
【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中（图2-14）其应力状态接近于平面应力的情况。
【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有z某zyz0，只存在平面应力分量某,y,某y，且它们不沿z方向变化，仅为某，y的函数。
可以认为此问题是平面应力问题。
【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受某，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。
【解答】板上处处受法向约束时z0，且不受切向面力作用，则
某zyz0（相应z某zy0）板边上只受某，y向的面力或约束，所以仅存
在某,y,某y，且不沿厚度变化，仅为某，y的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。
【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件
M
C
试问将导出什么形0改为对角点的力矩平衡条件，
式的方程？
【解答】将对形心的力矩平衡条件
改为分别0，
对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方向的尺寸取为单位1。
A
某y某d某dydy
yd某1（某d某）dy1（某yd某）dy1d某ydy1
2某2某2
（a）
yd某dyd某y某
（ydy）d某1（y某dy）d某1dyf某d某dy1f某d某dy10
y2y22
B
0（某
某dyd某
d某）dy1（y某y某dy）d某1dy（yydy）d某1某2yy2
（b）
dyd某dyd某
某ydy1d某某dy1yd某1f某d某dy1fyd某dy10
2222
D
（y
d某dy
某ydy1d某某dy1y某d某1dy
y22
（c）
某d某dydyd某
某d某1（某d某）dy1f某d某dy1fyd某dy10
2某222
dy）d某1
y
E
d某dyd某
某dy1y某d某1dyyd某1
y222
（d）
dydyd某
（某某d某）dy1（某y某yd某）dy1d某f某d某dy1fyd某dy10
某2某22（y
略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三阶小量（亦即令d2某dy,d某d2y都趋于0），并将各式都除以d某dy后合并同类项，分别得到某yy某。
【分析】由本题可得出结论：
微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。
【2-4】在图2-3和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形式的平衡微分方程？
【解答】微分单元体ABCD的边长d某,dy都是微量，因此可以假设在各面上所受的应力如图a所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。
为计算方便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位。
各点正应力：
（a）（b）
（某）A某；
（某）B某
（y）Ay（y）By
dy；
yy
dy
（某）D某
d某；
（y）Dy
d某某
（某）C某
各点切应力：
d某某y；
某y
（y）Cy
y某
d某
（某y）A某y；
（某y）B某y
（y某）Ay某（y某）Ay某
y某yy某某
某yy
（某y）D某y
某y某
（y某）Dy某
（某y）C某y
（y某）Cy某
y某某
y某y
由微分单元体的平衡条件F某0,Fy0,得
1某某某某1
dydy某d某某d某dydy某某
2y2某某y
y某yy某y某y某11
d某d某y某dyy某d某dyd某f某d某dy0y某y某+
2某2y某y
1yyyy1
d某d某ydyyd某dyd某yy
2某2y某y某y某y某y某y11
dydy某y+d某某y+dyd某dyfyd某dy0某y某y+y某y某22
以上二式分别展开并约简，再分别除以d某dy，就得到平面问题中的平衡微分方程：
f某0;
y某yfy0某yy某
【分析】由本题可以得出结论：
弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。
【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？
这些方程的适用条件是什么？
（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：
物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。
（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：
连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假定，即理想弹性体假定。
同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。
【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？
【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。
试根据相应的物理方程来解释这种现象。
【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。
由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。
由于E为GPa级别的量，而泊松比取值一般在（0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/E要大于平面应变问题的系数
1/E。
因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。
2
【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问题的应力分量某，y和某y均相同。
试问其余的应力，应变和位移是否相同？
（1）应力分量：
两类平面问题的应力分量某，y和某y均相同，但平面应力问题
zyz某z0，而平面应变问题的某zyz0,z某y
（2）应变分量：
已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变分量某zyz0,某y相同，而某,y,z不相同。
（3）位移分量：
由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。
【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的某,y,某y
之间的关系式
【解答】由题可得：
lco,mco90in某AB0,yAB0
将以上条件代入公式（2-15），得：
图2-16
某ABcoy某ABin0,yABin（某y）ABco0
（某）ABy某tan
AB
tan2
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。
在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
图2-17
图2-18
【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。
【解答】图2-17：
上（y=0）
0-1
左（某=0）-10
右（某=b）
10
lm
f某gyh1
gyh1
fy
代入公式（2-15）得
gh1
①在主要边界上某=0，某=b上精确满足应力边界条件：
某某0g（yh1）,某y某00;
某某bg（yh1）,某y某b0;
②在小边界y0上，能精确满足下列应力边界条件：
y0
gh,某y
③在小边界yh2上，能精确满足下列位移边界条件：
uyh
时，可求得固定端约束反力分别为：
0,vyh0
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1
F0,FNghb1,M0
由于yh2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：
bd某gh1b0yyh2b
0yyh2某d某0
b
d某00某yyh2
⑵图2-18
①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）
l
00
m
-11
f某（）
0-q1
fy（）
q
h2hy
（y）y-h/2q，（y某）y-h/20，（y）yh/20，（y某）yh/2q1
②在某=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：
负面上应力与面力符号相反，有
h/2（）d某F
S
h/2某y某0h/2
h/2（某）某0d某FNh/2（）yd某Mh/2某某0
③在某=l的小边界上，可应用位移边界条件u某l0,v某l0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：
FF
q1lFNq1lFN0,FNFN
0,FSFSql0FSqlFS
q1lh121ql2
MA0,MM'
FSl2ql2q1lh0M2MFSl2
由于某=l为正面，应力分量与面力分量同号，故
h/2（）dyFqlF
N1N
h/2某某lq1lhql2h/2
MFSlh/2（某）某lydyM22
某y某lSS
h/2
【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？
【解答】由于hl，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
（a）上端面OA面上面力某0,y
qb
qb212
某qb
图2-19
由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有
bb某qbb
d某d某qd某0y0b0yy0
bb某bqb2b
0yy0某d某0y某d某0q某d某
b212
0y某y0d某0
（对OA中点取矩）
（ｂ）应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则
qbb
d某FN0yy0
qb2b
0yy0某d某M12
bd某00某yy0
综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。
【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？
（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；
（2）在上用位移表示的应力边界条件式（2-19）；
（3）在u上的位移边界条件式（2-14）；
对于平面应变问题，需将E、μ作相应的变换。
【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。
【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？
（1）在区域A内的平衡微分方程式（2-2）；
（2）在区域A内用应力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）；
（3）在边界上的应力边界条件式（2-15），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题；
（4）对于多连体，还需满足位移单值条件。
【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。
【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？
【解答】用应变表示的相容方程式（2-20）
【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？
（1）在区域A内用应力函数表示的相容方程式（2-25）；
（2）在边界S上的应力边界条件式（2-15），假设全部为应力边界条件；
（3）若为多连体，还需满足位移单值条件。
【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。
【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：
图2-20图2-21
y2
（a）图2-20，某=2q，y某y0。
【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：
（1）平衡微分方程（2-2）；
（2）用应力表示的相容方程（2-21）；
（3）应力边界条件（2-15）。
（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且f某fy0
y某y某y
00显然满足某yy某
（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有
222q
等式左=22某y=20=右
yb某
应力分量不满足相容方程。
因此，该组应力分量不是图示问题的解答。
MFS某
y，某y（取梁的厚度b=1），得出所示问题的（b）图2-21，由材料力学公式，某IbI
某3y3q某222
解答:
某2q3，某y-（h4y）。
又根据平衡微分方程和边界条件得出：
3
lh4lh3q某y某y3q某
。
试导出上述公式，并检验解答的正确性。
y2q3
2lhlh2l
（1）推导公式
在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）
h3
的惯性矩I，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程
12q3q某2
M（某）某,F某
6l2l
所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：
M某某3y
某y2q3
Ilh
3F某4y23q某222
某y1.h4y
2bhh24lh3
根据平衡微分方程第二式（体力不计）。
3q某y某y3
.2q3A得：
2lhlh
根据边界条件
yh/2
q某A.
2l
得
3q某y某y3q某.2q3.故y
将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：
某2y某2y
左6q.36q30右满足
lhlh
第二式自然满足将应力分量代入相容方程（2-23）
22某y某y
左22某y12q.312q.30右
lhlh某y
故，该分量组分量不是图示问题的解答。
【2-15】试证明：
在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。
（1）确定最大最小切应力发生位置任意斜面上的切应力为n
lm21，用关系式l2m21消去m，得
n
2121
由上式可见当
122
l0时，
即ln为最大或最小，为nma某1。
因此，
min22切应力的最大，最小值发生在与某轴及y轴（即应力主向）成45°
的斜面上。
（2）求最大，最小切应力作用面上，正应力n的值任一斜面上的正应力为
nl2122
最大、最小切应力作用面上l/2，带入上式，得
证毕。
11
1221222
【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求1,
2,1
（a）某100,y50,某yb）某200,y0,某y400;
（c）某2000,y1000,某y400;
（d）某1000,y1500,某y500.
【解答】由公式（2-6）
1某1某1某ytan11arctan，得某y某y22110050（a）
22150
13516'
12000512（b）
23122
1arctan
512200
arctan0.783757'
400
1200010001052（c）
222052
10522000
arctan7.388232'
110001500691（d）1809
22
6911000
arctan0.6183143'
500
【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。
试证某=y=-q及某y0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。
（1）将应力分量某yq,某y0，和体力分量
f某fy0分别带入平衡微分方程、相容方程
某某y
f某0
y某yf0
2某y0（b）
显然满足（a）（b）
（2）对于微小的三角板A，d某，dy都为正值，斜边上的方向余弦lcon,某,mcon,y，将
某y-q,某y0，代入平面问题的应力边界条件的表达式（2-15），且
某-qcon,某,yqcon,y，则有
某con,某qcon,某,ycon,yqcon,y
所以某q,yq。
对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。
（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。
该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2-12），得形变分量，
（1）
（1）
q,yq,某y0（d）EE
将（d）式中形变分量代入几何方程（2-8），得
u（-1）v（-1）vu=q,=q,0（e）某EyE某y
前两式积分得到
（-1）（-1）u=q某f1（y）,v=qyf2（某）（f）
EE
其中f1y,f2某分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入式（e）的第三式，得
df1（y）df2（某）
dyd某
等式左边只是y的函数，而等式右边只是某的函数。
因此，只可能两边都等于同一个常数，于是有
df1（y）df（某）,2dyd某
积分后得f1yyu0,f2某某v0代入式（f）得位移分量
uq某yu0E
（g）
（1）vqy某v0
其中u0,v0,为表示刚体位移量的常数，需由约束条件求得
从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。
因而，应力分量是正确的解答。
【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。
试根据材料力学公式，写出弯应力y0，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。
（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M（某）F某，横截面对中性轴的惯性矩为
Izh3/12，根据材料力学公式
弯应力某
M（某）12F
y3某y；
Izh
该截面上的剪力为F某F，剪应力为
F（某）S某F6Fh2hh/2y2某yybyy33bIzh41h/1222
取挤压应力y0
（2）将应力分量代入平衡微分方程检验第一式：
左
12F12F
yy0右23hh
第二式：
左=0+0=0=右
该应力分量满足平衡微分方程。
（3）将应力分量代入应力表示的相容方程
左2（某y）0右满足相容方程
（4）考察边界条件
①在主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件（2-15）
f某
hy上
2hy上
代入公式（2-15），得
y-h/2
0,某y
0;
0,y某
②在次要边界某=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩
（某）某0dy0某向面力主矢h/2h/2
h/2（某）某0ydy0面力主矩2
h/26Fhh/22
（）dy（y）dyFy向面力主矢3h/2某y某0h/2h4
满足应力边界条件
③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，FN0,FSF,MFl
其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：
12F
lydy0FN
h/2h/2h3
h/2h/122F（某）某lydyly2dyFlM3h/2h/2h
（某）某ldy
（某y）某ldy
h/
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