八年级数学上册 三角形全等之类比探究讲义及答案人教版.docx
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八年级数学上册三角形全等之类比探究讲义及答案人教版
三角形全等之类比探究（讲义）
Ø知识点睛
1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．
2.解决类比探究问题的一般方法：
（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问；
（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．
整体框架照搬包括_________________，________________，_________________．
3.常见几何特征及做法：
见中点，___________________________．
Ø精讲精练
1.
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：
DE=AD-BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的数量关系．
2.如图1，四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角∠DCG的
平分线CF于点F．
（1）求证：
AE=EF（提示：
在AB上截取BH=BE，连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．
（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？
说明理由．
（3）如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”是否成立？
说明理由．
3.
以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE，AC=AD，M是BC中点，连接AM，DE．
（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC=90°时，求AM与DE的数量关系和位置关系．
（2）如图2，当△ABC为一般三角形时，
（1）中的结论是否成立，并说明理由．
（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他条件不变，
（1）中的结论是否成立，并说明理由．
4.
（1）如图1，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=
∠ADC=90°，则能得到如下两个结论：
①DC=BC；②AD+AB=AC．请你证明结论②．
（2）如图2，把
（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC+∠ADC=180°”，其他条件不变，则
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把
（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC=∠ADC”，其他条件不变，
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请直接回答；若不成立，请直接写出你的结论．
【参考答案】
Ø知识点睛：
解决类比探究问题的一般方法：
（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；
（2）用解决第
（1）问的方法类比解决下一问，整体框架照搬．
整体框架照搬包括照搬字母，照搬辅助线，照搬思路．
常见几何特征及做法：
见中点，考虑倍长中线．
Ø精讲精练
1.证明：
（1）如图，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE+DC
=AD+BE
（2）如图，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠CBE+∠2=90°
∴∠1=∠CBE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE-DC
=AD-BE
（3）DE=BE-AD，理由如下：
如图，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=DC-CE
=BE-AD
2.解：
（1）AE=EF，理由如下：
如图，在AB上截取BH=BE，连接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠1=∠2=45°
∴∠AHE=135°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠GCF=45°
∴∠ECF=135°
∴∠AHE=∠ECF
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°
∴∠3=∠4
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF（ASA）
∴AE=EF
（2）AE=EF仍成立，理由如下：
如图，在AB上截取BH=BE，连接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠1=∠2=45°
∴∠AHE=135°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠GCF=45°
∴∠ECF=135°
∴∠AHE=∠ECF
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°
∴∠3=∠4
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF（ASA）
∴AE=EF
（3）AE=EF仍成立，理由如下：
如图，延长BA到H，使BH=BE，连接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠H=45°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠1=45°
∴∠H=∠1
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠2=90°
∴∠2=∠3
∵∠HAE+∠2=180°，∠CEF+∠3=180°
∴∠HAE=∠CEF
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF（ASA）
∴AE=EF
3.解：
（1）DE=2AM，AM⊥DE，理由如下：
如图，延长AM到F，使MF=AM，连接BF，延长MA交DE于G．
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA（SAS）
∴FB=AC，∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE（SAS）
∴AF=ED，∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
（2）
（1）中的结论成立，理由如下：
如图，延长AM到F，使MF=AM，连接BF，延长MA交DE于G．
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA（SAS）
∴FB=AC，∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE（SAS）
∴AF=ED，∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
（3）
（1）中的结论成立，理由如下：
如图，延长AM到F，使MF=AM，交DE于G，连接BF．
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA（SAS）
∴FB=AC，∠FBM=∠ACM
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∠BAC=∠BAE+∠CAD-∠DAE
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE（SAS）
∴AF=ED，∠BAF=∠AED
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠BAF+∠EAF=90°
∴∠AED+∠EAF=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
4.
（1）证明：
如图，在BN上截取BE=AD．
∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°
∴∠1=∠2=60°
在△CDA和△CBA中
∴△CDA≌△CBA（AAS）
∴DC=BC，AD=AB
在△CDA和△CBE中
∴△CDA≌△CBE（SAS）
∴AC=EC
∵∠2=60°
∴AC=AE
=BE+AB
=AD+AB
（2）成立，证明如下：
如图，过C作CG⊥AM于G，CF⊥AN于F，在BN上截取BE=AD．
∵CG⊥AM，CF⊥AN
∴
∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°
∴∠1=∠2=60°，CG=CF
∵∠ABC+∠ADC=180°
∠CDG+∠ADC=180°
∠ABC+∠EBC=180°
∴∠CDG=∠CBF，∠ADC=∠EBC
在△CGD和△CFB中
∴△CGD≌△CFB（AAS）
∴CD=CB
在△CDA和△CBE中
∴△CDA≌△CBE（SAS）
∴CA=EC
∵∠2=60°
∴AC=AE
=BE+AB
=AD+AB
（3）①成立；②不成立，AD+AC=AB
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