初中线段相等比例关系的证明方法Word格式.docx
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添加辅助线,构造全等三角形
二、利用等腰三角形的判定(等角对等边)证明线段相等
如果两条所证线段在同一三角形中,证全等一时难以证明,可以考虑用此法。
[例1]如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC于F。
AF=EF。
辅助线是中线倍长法
[例2]如图,已知△ABC中,AB=AC,DF⊥BC于F,DF与AC交于E,与BA的延长线交于D,求证:
AD=AE。
三、利用平行四边形的性质证明线段相等
如果所证两线段在一直线上或看似平行,用上面的方法不易,可以考虑此法。
[例1]如图,△ABC中,∠C=90°
,∠BAC=30°
,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD,DE与AB交于F,
EF=FD。
(辅助线是过E作EG⊥AB,连接DG)
构造平行四边形
[例2]如图,AD是△ABC的中线,过DC上任意一点F作EG//AB,与AC和AD的延长线分别交于G和E,FH//AC,交AB于点H。
HG=BE。
构造平行四边形,利用平行线分线段成比例转化
证明:
延长AD到A′,使DA′=AD,又∵BD=CD
∴四边形BACA′是平行四边形
∴BA=A′C
由题设可知HFGA也是平行四边形
∴HF=AG
∵HF//AC,∴
又∵
,HF=AG,BA=A′C
∴BH=EG
∴四边形BEGH是平行四边形
四、利用中位线证明线段相等
如果已知中含有中点或等边等,用上面方法较难,可以考虑此法。
[例1]如图,以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点。
DM=EM。
辅助线取斜边中点
[例2]如图所示,△ABC中,中线BD、CE相交于O,F、G分别为OB、OC的中点.
四边形DEFG为平行四边形.
五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。
如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形,并且可能构成斜边及斜边上的中线,用上面方法一时证不出来,可以考虑此法。
[例]1已知:
在△ABC中,M是BC的中点,CE⊥AB,BF⊥AC。
求证:
EM=FM
[例]2如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,EC和DF相交于G,连接AG,求证:
AG=AD。
六、利用等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边
如果所证线段在一条直线上相邻,且在一个等腰三角形中,不妨用此法
[例]如图,△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CF⊥AE于F,AB=5,AC=3,则DF的长为______.
七、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等
如果两条线段在一个三角形中证明相等,且第三边有垂直或中点,用此法
[例]已知如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于 _________ .
1、补充2016年安徽中考解答题第23题第2小问是中垂线的性质
2、三角形三条中垂线交于一点
八、角平分线上任一点到角的两边距离相等
适用于有角平分线和垂直的图形
[例]如图,∠AOP=∠BOP=15°
PC∥OA交OB于C,PD⊥OA垂足
为D,若PC=4,则PD=.
1、补充2013年安徽省中考解答题第23题第3小问
2、三角形三条角平分线交于一点
九、圆的性质和定理
同圆(或等圆)中半径相等,等弧所对的弦或与弦心距相等的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等,圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等,圆外一点引圆的两条切线的切线长相等
[例]1如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,且AB=CD.求证:
AE=CE.
辅助线AC不一定经过O
[例]2如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连结ED、BE.试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
十、等积法
面积相等,等底或等高可以转化
[例]如图,在平行四边形ABCD中,E是CD上一点,F是AD上一点,且CF=AE,AE交CF于点O.求证:
OB平分∠AOC.
十一、长度相等:
测量法
适用于选择题或填空题,解答题必须求出其具体长度或都是某条线段的倍数
十二、等量转化:
等于同一线段的两条线段相等以上都可以用
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式成立,往往要添加辅助线,以构造一对或多对相似三角形。
一、添加平行线
(1)添加三角形内的平行线段
添加的方法是过端点或内分点做平行线,利用“平行于三角形的一边,并且和其他两边或其延长线相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明线段成比例。
在几何命题中,如果出现一组(或两组)相比线段重叠在一条直线上时,可考虑添加三角形内的平行线。
[例]1、如图,已知AD是△ABC的外角平分线,AD与BC的延长线交于D。
BD:
CD=AB:
AC
[例]2、如图,点D在△ABC的AC边上,且AD=BE。
求证:
.
[例]3、如图,已知BD:
DC=5:
3,E为AD的中点,求BE:
EF的值.
(2)添加三角形外的平行线
添加的方法是过端点作平行线
[例]1、如图,已知在△ABC中,AD平分
,求证:
[例]3、已知△ABC中,AD为中线,E、F分别在AB、AC上,且AE=AF,EF交AD于G,求证:
.(过B、C分别作EF的平行线)
二、利用三角形相似的性质
[例]1、如图,已知△ABC中,
,D是AB的中点,过D作AB的垂线交AC于E,交BC的延长线于F,求证:
DC²
=DE·
DF
[例]2、如图,在△ABC中,AD、BE分别是BC、AC边上的高,过D作AB边上的垂线交AB于F,交BE于G,交AC的延长线于H.求证:
DF²
=GF·
HF
三、利用面积比求比例关系
(1)相似三角形性质面积比等于相似比的平方
[例]如图1,点
将线段
分成两部分,如果
,那么称点
为线段
的黄金分割点。
某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:
直线将一个面积为
的图形分成两部分,这两部分的面积分别为
、
,如果
,那么称直线为该图形的黄金分割线.
(1)如图2,在△
中,
°
,
的平分线交
于点
,请问点
是否是
边上的黄金分割点,并证明你的结论;
(2)若△
在
(1)的条件下,如图(3),请问直线
是不是△
的黄金分割线,并证明你的结论;
(2)非相似三角形用等底或等高转化
[例]如图△ABC中D为BC上任一点,E为AD或延长线上一点。
(3)
S△ABE
(2)
四、利用长度关系求比例