因式分解 基础题Word格式.docx

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（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数；

（4）必须分解到每个多项式不能再分解因式为止；

（5）分解因式与整式的乘法是一个互逆的过程。

【例】判断下列各式中从左到右是否是因式分解，用“√”表示是，用“×

”表示不是。

（1）

（）

（2）

（3）

（4）

2.公因式：

（1）公因式的定义：

多项式中各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的公因式。

（2）确定公因式的方法：

①对于系数，如果是整数系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；

②对于字母需要考虑两点:

一点是取各项相同的字母，另一点是相同字母的最低次幂。

（3）多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式。

（4）公因式的系数符号，般由首项决定，首项为“-”号，那么公因式系数为“-”号。

【例】写出下列多项式中各项的公因式：

；

（2）

（3）

（4）

（5）

。

3.提公因式法分解因式：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法。

（1）分配律是提公因式法分解因式乘法的依据，提公因式法分解因式是分配律的逆用。

即：

（2）提公因式法分解因式的步骤：

①找出多项式各项的公因式，这是提公因式法分解因式的关键。

②把多项式的每一项都写成公因式与另一个式子的积的形式。

③把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来和差形式。

【例】把下列各式分解因式.

；

【重点复习】

1．下列各式变形中，是因式分解的是（）

A．a2－2ab＋b2－1＝（a－b）2－1Ｂ．

C．（x＋2）（x－2）＝x2－4D．x4－1＝（x2＋1）（x＋1）（x－1）

2．下列各式中，分解因式正确的是（）

A．－3x2y2＋6xy2＝－3xy2（x＋2y）

B．（m－n）3－2x（n－m）3＝（m－n）（1－2x）

C．2（a－b）2－（b－a）＝（a－b）（2a－2b）

D．am3－bm2－m＝m（am2－bm－1）

3．如果多项式x2＋mx＋n可因式分解为（x＋1）（x－2），则m、n的值为（）

A．m＝1，n＝2B．m＝－1，n＝2

C．m＝1，n＝－2D．m＝－1，n＝－2

4．（－2）10＋（－2）11等于（）

A．－210B．－211C．210D．－2

5．多项式an－a3n＋an＋2分解因式的结果是（）

A．an（1－a3＋a2）B．an（－a2n＋a2）

C．an（1－a2n＋a2）D．an（－a3＋an）

6．3（x－3）2－6（3－x）12．y2（2x＋1）＋y（2x＋1）2

7．y（x－y）2－（y－x）38．a2b（a－b）＋3ab（a－b）9．－2x2n－4xn

10．x（a－b）2n＋xy（b－a）2n＋111.－16a2b－8ab12.x3（x－y）2－x2（y－x）2

13．在空白处填出适当的式子：

（1）x（y－1）－（）＝（y－1）（x＋1）；

（）（2a＋3bc）．

14．已知x，y满足

求7y（x－3y）2－2（3y－x）3的值．

15．已知x＋y＝2，

求x（x＋y）2（1－y）－x（y＋x）2的值

【知识梳理】

运用平方差公式分解因式：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，数学表达式：

注意：

（1）先把二项式写成

的形式，再套用平方差公式。

（2）平方差公式的条件：

①左边的多项式只有两项，并且都可以是写成两个数（或式子）平方的形式（包括系数）；

②左边两项符号相反；

③右边恰是这两个数（或式子）的和与这两个数（或式子）的差的积。

【例】1．在括号内写出适当的式子：

（1）0.25m4＝（）2；

（）2；

（3）121a2b6＝（）2．

2.把下列各式分解因式：

1.

2、

3、

4．4a2－9b25．（a＋b）2－646．m4－81n4

7．12a6－3a2b28．（2a－3b）2－（b＋a）29．a3－ab2

10．m2（x－y）＋n2（y－x）11．2－2m412．3（x＋y）2－27

13．a2（b－1）＋b2－b314．（3m2－n2）2－（m2－3n2）215、

16、

17、x（x2－1）－x2＋1

3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）

A．y2－49x2B．

C．－m4－n2D．

4．a2－（b－c）2有一个因式是a＋b－c，则另一个因式为（）

A．a－b－cB．a＋b＋cC．a＋b－cD．a－b＋c

5．把（3m＋2n）2－（3m－2n）2分解因式，结果是（）

A．0B．16n2C．36m2D．24mn

6．下列因式分解正确的是（）

A．－a2＋9b2＝（2a＋3b）（2a－3b）

B．a5－81ab4＝a（a2＋9b2）（a2－9b2）

C．

D．x2－4y2－3x－6y＝（x－2y）（x＋2y－3）

7．下列因式分解错误的是（）

A．1－16a2＝（1＋4a）（1－4a）

B．x3－x＝x（x2－1）

C．a2－b2c2＝（a＋bc）（a－bc）

D．

8．已知x＋2y＝3，x2－4y2＝－15，

（1）求x－2y的值；

（2）求x和y的值．

9．已知

求（x＋y）2－（x－y）2的值．

运用完全平方公式分解因式：

由整式的乘法得

，因为整式乘法与因式分解是相反的形式，将整式乘法的完全平方公式反过来，可得分解因式的完全平方公式：

，即两个数的平方和加两个数的和（或差）的平方。

注意：

（1）要符合完全平方公式的特征：

左边是三项式，首末两项是两数的平方和的形式，中间的一项是两个数的积的

倍，符号正、负均可，右边是这两个数的和或差的平方；

（2）用完全平方公式分解三项式时，一般先按公式的形式改写成三项式。

【例】

1．在括号中填入适当的式子，使等式成立：

（1）x2＋6x＋（）＝（）2；

（2）x2－（）＋4y2＝（）2；

（3）a2－5a＋（）＝（）2；

（4）4m2－12mn＋（）＝（）2

2．若4x2－mxy＋25y2＝（2x＋5y）2，则m＝______．

3．将a2＋24a＋144因式分解，结果为（）

A．（a＋18）（a＋8）B．（a＋12）（a－12）

C．（a＋12）2D．（a－12）2

4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（）

①9a2－1；

②x2＋4x＋4；

③m2－4mn＋n2；

④－a2－b2＋2ab；

⑤

⑥（x－y）2－6z（x＋y）＋9z2．

A．2个B．3个C．4个D．5个

5．下列因式分解正确的是（）

A．4（m－n）2－4（m－n）＋1＝（2m－2n＋1）2

B．18x－9x2－9＝－9（x＋1）2

C．4（m－n）2－4（n－m）＋1＝（2m－2n＋1）2

D．－a2－2ab－b2＝（－a－b）2

6．如果x2＋kxy＋9y2是一个完全平方公式，那么k是（）

A．6B．－6C．±

6D．18

7．如果a2－ab－4m是一个完全平方公式，那么m是（）

A．

B．

C．

D．

8．如果x2＋2ax＋b是一个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（）

A．b＝aB．a＝2bC．b＝2aD．b＝a2

9、把下列各式分解因式。

1．a2－16a＋642．－x2－4y2＋4xy3．（a－b）2－2（a－b）（a＋b）＋（a＋b）2

4．4x3＋4x2＋x5.

6.

7.

8.

9.an＋1＋an－1－2an

10.（a＋1）（a＋5）＋411．（m2＋n2）2－4m2n212．x2＋2x＋1－y2

13．（a＋1）2（2a－3）－2（a＋1）（3－2a）＋2a－314．x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1

15．若a2＋2a＋1＋b2－6b＋9＝0，求a2－b2的值．

16．若

求

的值．

17．若a4＋b4＋a2b2＝5，ab＝2，求a2＋b2的值．

18．已知x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）称为立方和公式，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：

（1）a3＋8

（2）27a3－1

考点

易错点津

因式分解的定义

因式分解最后结果一定是因式乘积的形式。

公因式

公因式由两部分组成：

数字及字母，也包括它前面的符号，尤其是首项的符号不能忽视。

提公因式法分解因式

确定公因式是提公因式法的关键

运用公式法分解因式

当多项式有两项时，先考虑平方差公式；

当有三项时，先考虑完全平方公式，注意：

因式分解必须彻底。