实验一秋数字信号处理实验报告离散傅里叶变换的性质.docx
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实验一秋数字信号处理实验报告离散傅里叶变换的性质
数字信号处理
实验报告
实验名称：
离散傅里叶变换的性质
实验日期：
2011.11.23
姓名：
学号：
一、实验目的
验证离散傅里叶变换的性质，包括线性特性、时移特性、频移特性、对称性和循环卷积等性质。
二、实验原理
1.线性特性
2.时移特性
3.频移特性
4.对称性
设由x（n）开拓成的周期序列为
则
偶序列
奇序列
将
和
截取主周期，分别得
则
x（n）序列的实部和虚部的离散立叶变换
5.循环卷积
有限长序列线性卷积与循环卷积的关系
X1（n）和x2（n）的线性卷积：
将X1（n）和x2（n）开拓成以N为周期的周期序列
则它们的周期卷积为
X1（n）和x2（n）周期开拓后的周期卷积等于他们的线性卷积的的周期开拓。
三、实验内容和步骤
详细描述为完成实验内容所需的实验步骤，对程序中关键代码进行说明，该部分不是实验结果的简单堆砌，还应该包括对实验结果的分析和从实验中获得的基本认识。
任取长度为N=8的随机实序列x1[n]，x2[n]，例如x1[n]=[13536839]，x2[n]=[24367902]，和长度为N=8的随机复序列x3[n]，x4[n]，例如x3[n]=[1+2j3+4j5+3j3+4j6+j8+2j3+3j9+2j]，x4[n]=[4+1j6+4j4+3j3+4j7+j8+3j3+4j1+2j]，采用MATLAB编程验证傅里叶变换的如下性质
1.线性特性
a.给出序列x1[n]的傅里叶变换X1[k]，并画出其幅度谱和相位谱
程序：
x1=[13536839];
fft_x1=fft（x1,8）;
x_axis=[0:
1:
7];
stem（x_axs,x1,'.'）;
xlabel（'n'）;title（'时间序列'）;%%%%x1的时间序列%%%%
stem（x_axis,abs（fft_x1））;gridon;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'幅度'）;
title（'幅度谱'）;%%%%x1幅度谱%%%%
stem（x_axis,angle（fft_x1））;gridon;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'相位'）;
title（'相位谱'）;%%%%x1的相位谱%%%%
图形：
图一
b.给出序列x2[n]的傅里叶变换X2[k]，并画出其幅度谱和相位谱
程序：
x2=[24367902];
fft_x2=fft（x2,8）;
x_axis=[0:
1:
7];
stem（x_axs,x2,'.'）;
xlabel（'n'）;title（'时间序列'）;%%%%x2的时间序列%%%%
stem（x_axis,abs（fft_x2））;gridon;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'幅度'）;
title（'幅度谱'）;%%%%x2幅度谱%%%%
stem（x_axis,angle（fft_x2））;gridon;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'相位'）;
title（'相位谱'）;%%%%x2的相位谱%%%%
图形：
图二
c.给出序列Z=2*X1[k]+6*x2[k],并与序列2*x3[n]+6*x4[n]的傅里叶变换比较，
程序：
J=sqrt（-1）;
x3=[1+2*J3+4*J5+3*J3+4*J6+1*J8+2*J3+3*J9+2*J];
x4=[4+1*J6+4*J4+3*J3+4*J7+1*J8+3*J3+4*J1+2*J];
x_sum=2*x3+6*x4;
fft_x_sum=fft（x_sum,8）;%序列之和的FFT
fft_x3=fft（x3,8）;
fft_x4=fft（x4,8）;
stem（x_axis,abs（fft_x_sum））;
title（'序列之和的幅度谱'）;
stem（x_axis,angle（fft_x_sum））;
title（'序列之和的相位谱'）;
fft_sum=2*fft_x3+6*fft_x4;%序列FFT的和
stem（x_axis,abs（fft_sum）,'k*'）;
title（'序列DFT之和的幅度谱'）;
stem（x_axis,angle（fft_sum）,'k*'）;
title（'序列DFT之和的相位谱'）;
stem（x_axis,abs（fft_x_sum））;holdon;
stem（x_axis,abs（fft_sum）,'k.'）;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'幅度'）;
title（'幅度谱'）;
stem（x_axis,angle（fft_x_sum））;holdon;
stem（x_axis,angle（fft_sum）,'k.'）;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'相位（弧度）'）;
title（'相位谱'）;
图形：
序列之和的相位谱，幅度谱，以及序列DFT的幅度谱和相位谱。
图三
序列之和与序列对比图形曲线拟合
图四
说明：
*代表序列DFT的相位谱和幅度谱○表示序列之和的相位谱和幅度谱。
通过图四序列之和与序列DFT相位谱和幅度谱的对比可知序列Z=2*X1[k]+6*x2[k],与序列2*x3[n]+6*x4[n]的傅里叶变换相同，所以满足线性关系。
2.时移特性
a.给出序列x1[n]右移3位后的傅里叶变换的幅度谱和相位谱，并和原始序列的幅度谱和相位谱相比较
程序：
x1=[13536839];
x2=circshift（x1,[03]）;%%%%右移三位%%%%
fft_x1=fft（x1,8）;
fft_x2=fft（x2,8）;
x_axis=[0:
1:
7];
figure（3）;%%%原时间序列与循环移位时间序列见图五%%%
subplot（211）;
stem（x_axis,x1,'.'）;
xlabel（'n'）;title（'原时间序列'）;
subplot（212）;
stem（x_axis,x2,'.'）;
xlabel（'n'）;title（'移位后时间序列'）;
figure
（1）;%%%循环移位后序列幅度谱与时间谱见图六%%%
subplot（211）;
stem（x_axis,abs（fft_x2））;gridon;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'幅度'）;
title（'X2幅度谱'）;
subplot（212）;
stem（x_axis,angle（fft_x2））;gridon;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'相位'）;
title（'X2相位谱'）;
figure
（2）;%%%循环移位序列和原始序列的幅度谱和相位谱相比较
subplot（211）;
stem（x_axis,abs（fft_x1）,'k*'）;gridon;holdon;
stem（x_axis,abs（fft_x2））;gridon;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'幅度'）;
title（'X1andX2幅度谱对比'）;
subplot（212）;
stem（x_axis,angle（fft_x1）,'k*'）;gridon;holdon;
stem（x_axis,angle（fft_x2））;gridon;
xlabel（'频率k'）;ylabel（'相位'）;
title（'X1andX2相位谱对比'）;
图五
图六
图七
说明：
*代表原序列○代表循环移位后序列
结论：
通过图七对比可知原序列和循环移位后序列幅度谱相同，但相位谱不同。
3.频移特性
程序：
x1=[13536839];
num=[2-3];%%%%%%右移两位，左移三位%%%%%%%%%%%%%
fork=1:
2
ford=1:
8
x2（d）=x1（d）.*exp（j.*2.*pi.*num（k）.*d./8）;
end
x_axis=[0:
1:
7];
fft_x1=fft（x1,8）;
fft_x2=fft（x2,8）;
figure
subplot（221）;
stem（x_axis,abs（fft_x1））;gridon;
xlabel（'频率khz'）;ylabel（'幅度'）;
title（'原序列幅度谱'）;
subplot（222）;
stem（x_axis,angle（fft_x1））;gridon;
xlabel（'原序列频率khz'）;ylabel（'相位'）;
title（'原序列相位谱'）;
subplot（223）;
stem（x_axis,abs（fft_x2））;gridon;
xlabel（'频率khz'）;ylabel（'幅度'）;
title（'移位后幅度谱'）;
subplot（224）;
stem（x_axis,angle（fft_x2））;gridon;
xlabel（'频率khz'）;ylabel（'相位'）;
title（'移位后相位谱'）;
end
说明：
x1原序列x2移位后序列
图形：
图八.右移二位序列
图九.左移三位序列
4.对称性
利用x1[n]构造奇对称序列和偶对称序列，讨论如下问题
（a）画出奇对称序列的傅里叶变换的实部和虚部
程序：
x1=[13536839];
N=length（x1）;
x2
（1）=x1
（1）;
fori=2:
N
x2（i）=x1（N+2-i）;
end
x1_e=（x1+x2）/2;%%%%构造奇偶序列
x1_o=（x1-x2）/2;
fft_x1_e=fft（x1_e）;
fft_x1_o=fft（x1_o）;
n_axis=[0:
1:
7];
%%%奇对称序列的傅里叶变换的实部和虚部%%%%
figure
（1）;
subplot（2,1,1）;
stem（n_axis,real（fft_x1_o））;gridon;
title（'奇对称序列实部'）;
subplot（2,1,2）;
stem（n_axis,imag（fft_x1_o））;gridon;
title（'奇对称序列虚部'）;
图十
（b）画出该偶对称序列的傅里叶变换的实部和虚部
程序：
%%%%%%偶对称序列的傅里叶变换的实部和虚部%%%%%%%%%%%%%
figure
（2）;
subplot（2,1,1）;
stem（n_axis,real（fft_x1_e））;gridon
title（'偶对称序列实部'）;
subplot（2,1,2）;
stem（n_axis,imag（fft_x1_e））;gridon;
title（'偶对称序列虚部'）;
图十一
结论：
有上图可知，一个偶对称序列的DFT为实数，奇对称序列的DFT为虚数，
同样对于一个共轭对称的复数序列的DFT为实数，共轭反对称的复数序列的DFT为虚数。
（2）当x（n）为复序列时，推导傅里叶变换公式，利用x3[n]构造奇对称序列和偶对称序列，讨论如下问题
（c）画出共轭对称序列的傅里叶变换的实部和虚部
（d）画出共轭反对称序列的傅里叶变换的实部和虚部
程序：
x1=[1+2j3+4j5+3j3+4j6+j8+2j3+3j9+2j];
N=length（x1）;
x2
（1）=x1
（1）;
fori=2:
N
x2（i）=x1（N+2-i）;
end
xe=（x1+conj（x2））/2;
xo=（x1-conj（x2））/2;
n=0:
N-1;
Xo=fft（xo）;
Ro=real（Xo）;
Io=imag（Xo）;
figure
（1）,
subplot（2,2,1）,stem（n,Ro,'r*'）;title（'共轭反对称序列的频谱实部'）;
subplot（2,2,2）,stem（n,Io,'r*'）;title（'共轭反对称序列的频谱虚部'）;
Xe=fft（xe）;
Re=real（Xe）;
Ie=imag（Xe）;
subplot（2,2,3）,stem（n,Re,'r*'）;title（'共轭对称序列的频谱实部'）;
subplot（2,2,4）,stem（n,Ie,'r*'）;title（'共轭对称序列的频谱虚部'）;
图十二
（e）总结奇对称和偶对称的实数序列和复数序列的傅里叶变换性质
偶对称序列的傅里叶变换频谱实部偶对称，虚部为零；幅度谱偶对称，相位谱也为偶对称。
共轭对称序列的频谱虚部为零，相位谱为偶对称；共轭反对称序列的实部为零。
奇对称序列的傅里叶变换频谱实部为零，虚部奇对称；幅度谱偶对称，相位谱奇对称。
5.循环卷积
1）计算序列x1[n]和x2[n]的循环卷积y[n]，计算x1[n]和x2[n]的傅里叶变换X1[k]和
X2[k]，Y[k]=X1[k]*X2[k],求Y[k]的反傅里叶变换y2[n]，比较y[n]与y2[n].
y[n]=[170175178143161115154158]
y[n]=y2[n]
程序：
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%快速卷积即为圆周卷积，与线性卷积相比计算速度大大加快
%快速卷积长度L>=N1+N2-1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x1=[13536839];
x2=[24367902];
M=length（x1）;
N=length（x2）;
x10=[x1,zeros（1,N-1）];%%%扩充至8+7=15点序列
x20=[x2,zeros（1,M-1）];
X10=fft（x10）;
X20=fft（x20）;
Y=X10.*X20;
y=ifft（Y）;%%反傅里叶变换得快速卷积序列15点
y1=conv（x1,x2）;%%直接卷积
%%%确定x轴长度
m=0:
length（x1）-1;
n=0:
length（x2）-1;
ny=0:
length（y）-1;
figure
（1）,
subplot（2,2,1）,stem（m,x1,'r*'）;title（'序列1'）;
subplot（2,2,2）,stem（n,x2,'r*'）;title（'序列2'）;
subplot（2,2,3）,stem（ny,y,'r*'）;title（'快速卷积'）;
subplot（2,2,4）,stem（ny,y1,'r*'）;title（'直接卷积'）;
图十三
结论：
%快速卷积即为圆周卷积，与线性卷积相比计算速度大大加快
%快速卷积长度L>=N1+N2-1
2）循环卷积和线性卷积的关系
a.x5=[13118552]x6=[2468]求x5,x6线性卷积y1（n）;令L=8，求x5,x6的L
点循环卷积y2（n）；比较y1（n）,y2（n）的不同。
b.L=7+4-1,重复a
c.L>7+4-1,重复a
程序：
clearall;
x5=[13118552];
x6=[2468];
y1=conv（x5,x6）;
ny=0:
length（y1）-1;
figure
（1）,
subplot（2,2,1）,stem（ny,y1,'r*'）;title（'线性卷积'）;
Narray=[81012];
fori=1:
3
N=Narray（i）;
x=[x5,zeros（1,N-length（x5））];%将x的长度扩展至N
h=[x6,zeros（1,N-length（x6））];%将h的长度扩展至N
m=[0:
N-1];
hm=h（mod（-m,N）+1）;%将h循环折叠
H=toeplitz（hm,[0,h（2:
N）]）;%用toeplitz函数产生循环卷积矩阵
y=x*H;%用向量－矩阵乘法求卷积
ny2=0:
length（y）-1;
figure
（1）,
subplot（2,2,i+1）,stem（ny2,y,'r*'）;title（'循环卷积'）;
end
图十四
结论
L点圆周卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列
若L>=N1+N2-1，则L点圆周卷积能代替线性卷积
6.补零
用MATLAB计算如下N点序列的M点DFT：
（1）取N=8，M=8
（2）取N=8，M=16
（3）取N=8，M=32
根据实验结果，分析延长序列的离散傅里叶变换的特点。
程序：
clearall;
N=8;
M1=8;
M2=16;
M3=24;
x1=ones（1,N）;
x2=[x1,zeros（1,M1）];
x3=[x1,zeros（1,M2）];
x4=[x1,zeros（1,M3）];
X1=fft（x1）;
X2=fft（x2）;
X3=fft（x3）;
X4=fft（x4）;
RX1=real（X1）;
IX1=imag（X1）;
MX1=abs（X1）;
phaseX1=atan2（IX1,RX1）;%angle（X）;
RX2=real（X2）;
IX2=imag（X2）;
MX2=abs（X2）;
phaseX2=atan2（IX2,RX2）;%angle（X）;
RX3=real（X3）;
IX3=imag（X3）;
MX3=abs（X3）;
phaseX3=atan2（IX3,RX3）;%angle（X）;
RX4=real（X4）;
IX4=imag（X4）;
MX4=abs（X4）;
phaseX4=atan2（IX4,RX4）;%angle（X）;
m=0:
length（x1）-1;
n=0:
length（x2）-1;
k=0:
length（x3）-1;
l=0:
length（x4）-1;
figure
（1）,
subplot（2,4,1）,stem（m,MX1,'r*'）;title（'原序列的幅度谱'）;
subplot（2,4,2）,stem（n,MX2,'r*'）;title（'补N个零后序列的幅度谱'）;
subplot（2,4,3）,stem（k,MX3,'r*'）;title（'补2N个零后序列的幅度谱'）;
subplot（2,4,4）,stem（l,MX4,'r*'）;title（'补4N个零后序列的幅度谱'）;
subplot（2,4,5）,stem（m,phaseX1,'r*'）;title（'原序列的相位谱'）;
subplot（2,4,6）,stem（n,phaseX2,'r*'）;title（'补N个零后序列的相位谱'）;
subplot（2,4,7）,stem（k,phaseX3,'r*'）;title（'补2N个零后序列的相位谱'）;
subplot（2,4,8）,stem（l,phaseX4,'r*'）;title（'补4N个零后序列的相位谱'）;
图十四
结论;
由图可知点数越多幅度谱和相位谱越密集说明，随着序列长度的增加分辨率越高。
7.采样时间对频率分辨的影响
构造两个正弦信号相加f1=100Hz,f2=105Hz,
x（t）=3*cos（2*pi*f1*t）+1*cos（2*pi*f2*t）
a.以采样频率fs=800Hz对x（t）采样得到x（n），采样的持续时间100ms，求x（n）的512点DFT
b.以采样频率fs=1600Hz对x（t）采样得到x（n），采样的持续时间100ms，求x（n）的512点DFT
c.延长采样时间为300ms,求x（n）的512点DFT
clc,clearall,closeall;
F1=100;%Hz;
F2=105;%Hz
Fs=800;%采样频率Hz
Ts=1/Fs;
A1=3;%信号1的幅度
A2=2;%信号2的幅度
L=512;%DFT长度
freq_axis=（[0:
512-1]-256）*Fs/512;
T1=100e-3;%采样时间100ms
t_axis1=[0:
Ts:
T1-Ts];
N1=length（t_axis1）;%采样时间内采到的样本总数
x1=A1*cos（2*pi*F1*t_axis1）+A2*cos（2*pi*F2*t_axis1）;
figure
（1）;
subplot（3,1,1）;
plot（x1）;title（['采样时间='num2str（T1）'采样频率='num2str（Fs）]）;
T2=100e-3;
Fs2=1600;
Ts2=1/Fs2;
t_axis2=[0:
Ts2:
T2-Ts2];
N2=length（t_axis2）;%采样时间内采到的样本总数
x2=A1*cos（2*pi*F1*t_axis2）+A2*cos（2*pi*F2*t_axis2）;
subplot（3,1,2）
plot（x2）;title（['采样时间='num2str（T2）'采样频率='num2str（Fs2）]）;
T3=300e-3;
t_axis3=[0:
Ts:
T3-Ts];
N3=length（t_axis3）;%采样时间内采到的样本总数
x3=A1*cos（2*pi*F1*t_axis3）+A2*cos（2*pi*F2*t_axis3）;
subplot（3
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