空间几何体的结构Word版有答案.docx
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空间几何体的结构Word版有答案
1.1
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
预习课本P2～4，思考并完成以下问题
1．空间几何体是如何定义的？
分为几类？
2．多面体有哪些？
能指出它们的侧面、底面、侧棱、顶点吗？
3．常见的多面体有哪些？
它们各自的结构特征是怎样的？
1．空间几何体
概念
定义
空间几何体
空间中的物体，若只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
2．空间几何体的分类
分类
定义
图形及表示
相关概念
空间几何体
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体
面：
围成多面体的各个多边形
棱：
相邻两个面的公共边
顶点：
棱与棱的公共点
空间几何体
旋转体
由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体
轴：
形成旋转体所绕的定直线
3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
分类
定义
图形及表示
相关概念
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作：
棱柱
ABCDA′B′C′D′
底面（底）：
两个互相平行的面
侧面：
其余各面
侧棱：
相邻侧面的公共边
顶点：
侧面与底面的公共顶点
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图可记作：
棱锥SABCD
底面（底）：
多边形面
侧面：
有公共顶点的各个三角形面
侧棱：
相邻侧面的公共边
顶点：
各侧面的公共顶点
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
如图可记作：
棱台
ABCDA′B′C′D′
上底面：
原棱锥的截面
下底面：
原棱锥的底面
侧面：
其余各面
侧棱：
相邻侧面的公共边
顶点：
侧面与上（下）底面的公共顶点
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）棱柱的侧面都是平行四边形（ ）
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥（ ）
（3）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）×
2．有两个面平行的多面体不可能是（ ）
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台D．以上都错
解析：
选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．
3．关于棱柱，下列说法正确的有________（填序号）．
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
（2）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；
（3）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
解析：
（1）不正确，反例如图所示．
（2）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．
（3）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．
答案：
（2）
棱柱的结构特征
[典例] 下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ）
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.
[答案] C
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
（1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．
（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
[活学活用]
下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④棱柱的侧棱总与底面垂直．
其中正确说法的序号是________．
解析：
①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③.
答案：
③
棱锥、棱台的结构特征
[典例]
（1）下列三种叙述，正确的有（ ）
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个D．3个
（2）下列说法正确的有________个．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②正棱锥的侧面是等边三角形．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
[解析]
（1）本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.
（2）①不正确．棱锥的定义是：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．
②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．
③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．
[答案]
（1）A
（2）0
判断棱锥、棱台形状的2个方法
（1）举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
（2）直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
[活学活用]
用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（ ）
A．四边形B．三角形
C．三角形或四边形D．不可能为四边形
解析：
选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形（如图①），如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形（如图②）．
多面体的平面展开图问题
[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
（1）解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
（2）若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
（3）若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
[活学活用]
下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是（ ）
解析：
选C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．
层级一 学业水平达标
1．下面的几何体中是棱柱的有（ ）
A．3个 B．4个
C．5个D．6个
解析：
选C 棱柱有三个特征：
（1）有两个面相互平行；
（2）其余各面是四边形；（3）侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
2．下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③B．①③④
C．①②④D．①②
解析：
选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
3．下列图形中，是棱台的是（ ）
解析：
选C 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥
C．五棱锥D．六棱锥
解析：
选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是（ ）
解析：
选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：
四棱柱有4条侧棱，8个顶点（可以结合正方体观察求得）．
答案：
4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：
面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：
5 6 9
8．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：
该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12cm.
答案：
12
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：
（1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
（2）这是一个六棱锥．
（3）这是一个三棱台．
10.如图所示是一个三棱台ABCA′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
解：
过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABCA′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′ABC，BA′B′C′，A′BCC′.（答案不唯一）
层级二 应试能力达标
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
解析：
选B 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.
2．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：
选D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
解析：
选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.
4．棱台不具有的性质是（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等D．侧棱延长后都相交于一点
解析：
选C 只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．
5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
解析：
将平面图形翻折，折成空间图形，
可得∠ABC＝60°.
答案：
60°
6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．（写出所有正确结论的编号）
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：
在正方体ABCDA1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：
①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，故填①③④⑤.
答案：
①③④⑤
7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解：
（1）如图折起后的几何体是三棱锥．
（2）S△PEF＝
a2，S△DPF＝S△DPE＝
×2a×a＝a2，
S△DEF＝
a2.
8.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？
如果是，是几棱柱？
为什么？
（2）用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解：
（1）是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形（四边形），且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
（2）各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1FCC1E和棱柱ABFA1DCED1.
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
预习课本P5～7，思考并完成以下问题
1．常见的旋转体有哪些？
是怎样形成的？
2．这些旋转体有哪些结构特征？
它们之间有什么关系？
它们的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？
1．圆柱、圆锥、圆台、球
分类
定义
图形及表示
表示
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径
球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O
[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
2．简单组合体
（1）概念：
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
（2）构成形式：
有两种基本形式：
一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
[点睛] 要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥（ ）
（2）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱（ ）
（3）圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台（ ）
（4）半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）√ （4）×
2．圆锥的母线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条D．无数条
答案：
D
3.右图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
解析：
选A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．
旋转体的结构特征
[典例] 给出下列说法：
（1）圆柱的底面是圆面；
（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；（3）圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
[解析]
（1）正确，圆柱的底面是圆面；
（2）正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
（3）不正确，圆台的母线延长相交于一点；
（4）不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
[答案]
（1）
（2）
1．判断简单旋转体结构特征的方法
（1）明确由哪个平面图形旋转而成；
（2）明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用
（1）简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
（2）在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
[活学活用]
给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．
其中正确说法的序号是________．
解析：
根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．
答案：
①④
简单组合体
[典例] 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥
[解析] 图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆柱、两个圆锥．
[答案] D
解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力．
[活学活用]
1.如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱
解析：
选B 由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．
2.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
解：
如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用
[典例] 如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：
蚂蚁爬过的最短路径长是多少？
[解] 将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．
∴A1B1＝
·2πr＝πr＝10π（cm）．
过点Q作QS⊥AA1于点S，
在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10（cm），
QS＝A1B1＝10π（cm）．
∴PQ＝
＝10
（cm）．
即蚂蚁爬过的最短路径长是10
cm.
求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
（1）将几何体沿着某棱（母线）剪开后展开，画出其侧面展开图；
（2）将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
（3）结合已知条件求得结果．
[活学活用]
如图，一只蚂蚁沿着长AB＝7，宽BC＝5，高CD＝5的长方体木箱表面的A点爬到D点，则它爬过的最短路程为________．
解：
蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，
在图1中AD＝
＝
＝13，
在图2中AD＝
＝
＝
，
∵
<13，
∴蚂蚁爬过的最短路程为
.
层级一 学业水平达标
1．如图所示的图形中有（ ）
A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：
选B 根据题中图形可知，
（1）是球，
（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台，故应选B.
2．下列命题中正确的是（ ）
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：
选C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.
3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ）
A．圆柱B．圆锥
C．球D．圆台
解析：
选C 由球的定义知选C.
4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是（ ）
A．4πB．8π
C．2πD．π
解析：
选C 边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.
5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是（ ）
A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台
答案：
C
6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．
解析：
由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．
答案：
两个同底的圆锥组合体
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为________cm.
解析：
如图所示，设圆台的母线长为xcm，
截得的圆台的上、下底半径分别为rcm,4rcm，
根据三角形相似的性质，得
＝
，解得x＝9.
答案：
9
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．
答案：
圆柱
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？
解：
旋转后的几何体结构如下：
是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：
（1）几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
（2）几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
（3）几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
层级二 应试能力达标
1．下列结论正确的是（ ）
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：
选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D.
2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（ ）
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
解析：
选D 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．
3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（ ）
A．2 B．2π
C.
或
D.
或
解析：
选C 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以
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