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长度相等的弧叫做等弧。
（×
）
3、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
（1）圆的对称轴有无数条。
（2）错误说法：
圆的对称轴是直径。
因为直径是弦，弦是线段，所以直径是线段，而对称轴是直线。
应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。
4、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
5、垂径定理的推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（4）在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图1-3，
=
。
③AE=BE
④=
⑤=
6、垂径定理的基本图形（如图1-4）
②CD⊥AB
①CD为直径
几何语言表述：
垂径定理的五个基本条件：
（1）过圆心；
（2）垂直于弦；
（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；
（5）平分弦所对的劣弧。
在这五个条件中，知道其中任意两个即可推出另外三个（知二推三）。
特别注意：
（1）（3）时“平分弦”中的“弦”不能是直径。
平分弦的直径垂直于弦。
（×
7、弓高（拱高），弦心距
一条弦的中点和它所对的弧的中点所连线段叫做弓形的高，圆心到弦的距离叫弦心距。
8、半径、弦长、弓高及弦心距之间的关系
设圆的半径为R，弦长为a，弦心距为d，弓高为h，则
d+h=R；
d2+（
）2=R2
在R、a、d、h这四个量中，已知其中两个量即可求出另两个量。
图1-5是垂径定理三角形的基本图形。
9、证明点共圆的方法
要证明几个点在同一个圆上，根据圆的定义，可以证明几个点到某一个定点的距离相等，那么这些点就在以这个定点为圆心，以其中一点到定点的距离为半径的圆上。
这个定点可能是已知的，也可能是未知的，要是未知的就要先设法找到它。
掌握方法：
如何确定到三个点距离相等的点的位置，三点所连线段中任意两条垂直平分线的交点。
10、常用辅助线：
作半径和弦心距，构造直角三角形进行计算。
二、弧、弦、圆心角、圆周角
1、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，围绕圆心任意旋转一个角度α，都能够与原来的图形重合。
①圆不但是轴对称图形，还是中心对称图形。
②实际上，圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆心角、弧、弦、弦心距四者关系可理解为：
在同圆或等圆中，①圆心角相等；
②所对的弧相等；
③所对的弦相等；
④所对弦的弦心距相等。
四项“知一推三”，一项相等，其余三项都相等。
可简记为：
“等角对等弧”、“等角对等弦”、“等弧对等角”……
圆心角定理基本图形，如图2-1，在⊙O中，OM⊥AB，OM′⊥A′B′，则
AB=A′B′
5、圆心角度数定理
（1）把顶点在圆心的周角分成360等份时，每一份的圆心角是1°
的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被分成360等份，我们把每一份这样的弧叫做1°
的弧。
定义：
1°
的圆心角所对的弧叫做1°
（2）圆心角度数定理：
圆心角的度数和它所对弧的度数相等。
6、圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
7、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
如图2-2，写出等量关系式：
∠ACB=∠ADB=
∠AOB
8、推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
简记为：
“等弧对等角”、“等角对等弧”（角既可以是圆心角，也可以是圆周角）
推论2：
直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°
的圆周角所对的弦是直径。
“直径对直角”、“直角对直径”
如图2-3，①∵AB是直径∴∠ACB=90°
②∵∠ACB=90°
∴AB是直径
推论3：
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
如图2-3所示：
∵CD=AD=BD（或CD=
AB）∴△ABC是直角三角形
9、辅助线作法小结
（1）当已知中有弦的中点时，常常连接圆心和中点，进而利用垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；
另外，当要证明同一圆中的两条弦相等时，也常常作弦心距（即过圆心作弦的垂线段）。
（2）在计算弧的度数时，或者有等弧的条件时，或需要证明等弧时，常连接半径作出弧所对的圆心角。
（3）当条件中有弧的中点或需要证明弧的中点时，常有以下几种作辅助线的方法：
①连接弧的中点与圆心，构造半径；
②连接等弧所对的弦；
③作等弧所对的圆心角。
圆知识点汇总
（二）
一、点和圆的位置关系
1、点和圆的位置关系（设半径为r，点到圆心的距离为d），如图1-1所示，
（1）点在圆外
d>
r，如点A。
（2）点在圆上
d=r，如点B。
（3）点在圆上
d<
r，如点C。
2、过三点的圆
定理：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
同一平面上的三个点可以确定一个圆。
（×
）
3、三角形的外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
4、经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面上，经过平面上两点的圆有无数个，这些圆的圆心在这两点所连线段的中垂线上。
5、用集合的观点看点与圆的位置关系
（1）圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内，这就是说：
“圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
”
（2）圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上，这就是说：
“圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。
（3）圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外，这就是说：
“圆可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
6、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心的位置
不同类型的三角形外心位置不同，如下图所示，找出相应的外心，并画出对应的外接圆。
结论：
锐角三角形的外心在三角形的内部；
直角三角形的外心在斜边的中点上；
钝角三角形的外心在三角形的外部。
二、线和圆的位置关系
7、直线和圆的位置关系（设半径为r，直线l到圆心O的距离为d）
分别在下面三个图上作出直线l到圆心O的距离d，填写下面的结论：
（1）如图1-3，直线和圆相交
r，有两个公共点；
（2）如图1-4，直线和圆相切
d=r，有且只有一个公共点；
（3）如图1-5，直线和圆相离
r，没有公共点。
直线和圆的位置关系可以用下表来表示
直线和圆的位置关系
直线名称
公共点的个数
公共点名称
圆心到直线的距离d与半径r的关系
相交
割线
2
交点
r
相切
切线
1
切点
d=r
相离
无
8、切线的判定和性质
（1）切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：
过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件。
9、切线的判定方法：
（1）当直线与圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。
（利用切线的定义）
（2）当圆心到直线的距离等于该圆半径时，这条直线是圆的切线。
（利用切线中r与d的关系）
（3）当直线经过圆的半径并且垂直于这条半径时，这条直线是圆的切线。
（利用切线定理）
10、切线长和切线长定理
切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
如图1-6所示，P为⊙O外一点，PA、PB为圆的两条切线，根据切线长定理，写出两个结论：
PA=PB，∠APO=∠BPO
11、三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
三角形的内心到三角形三条边的距离相等。
任意一个三角形都有并且只有一个内切圆。
12、
（1）等边三角形的内心、外心重合。
（为什么？
（2）直角三角形中，∠C=90°
，三边分别用a、b、c表示，
图1-7
则Rt△ABC的内切圆半径r=
=
三角形面积的另一种表示形式S=
（a+b+c）r。
13、圆外切四边形两组对边的和相等。
如图1-8所示，⊙O是四边形ABCD的内切圆，点E、F、G、H分别为切点，求证：
AB+CD=AC+BD
14、用切线长判定定理解题的思路：
（1）有切点：
连半径，证垂直
（2）无切点：
作垂直，证半径
三、圆和圆的位置关系
15、圆和圆的位置关系有五种，分别是外离、外切、相交、内切、内含。
其中，外离和内含统称为相离；
外切和内切统称为相切；
同心圆是内含的一种特殊情况。
16、如果用R与r分别表示两圆半径（R>
r），d表示两个圆的圆心距，则
图示
两圆位置关系
R、r、d之间的关系
公共点个数
外离
R+r
外切
d=R+r
R-r<
d<
内切
d=R-r
内含
R-r
同心圆（内含）
d=0
17、相切（外切、内切）的两圆组成的图形是轴对称图形，它的对称轴是两圆心所连的直线，并且切点一定在对称轴上。
18、如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。
19、相交两圆的连心线垂直且平分公共弦（即两圆交点所连线段）。
圆的有关定理的补充：
（1）弦切角定理：
弦切角等于所夹弧所对的圆周角。
弦切角：
角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图
（1），BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
（2）相交弦定理：
圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等
如图
（2）圆的两条弦AB与CD相交于点P，则PA·
PB=PC·
PD。
（3）切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图（3），PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，则PA2=PB·
PC。
（4）割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图（4），PAB、PCD是⊙O的割线，则PA·
C
（5）圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙O中，如图（5）
∵四边形ABCD是内接四边形∴∠C+∠BAD=180°
∠B+∠D=180°
∠DAE=∠C
三圆知识点汇总（三）
一、正多边形和圆
1、正多边形的定义及正多边形与圆的关系
（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
（2）把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
2、正多边形的有关概念
（1）正多边形的中心：
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（2）正多边形的半径：
正多边的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（3）正多边形的中心角：
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
（4）正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
3、作正n边形的半径和边心距，可以把正n边形划分为2n个全等的直角三角形。
其中每一个直角形三角形的一条直角边为边心距，另一条直角边为边长的一半，斜边为正多边形的半径。
4、画正n边形的方法
（1）用量角器以圆心为顶点画出一个
的圆心角
（2）用圆规截取这个圆心角所夹的弧
（3）保持圆规不变，依次在圆上截取这个弧长，可以将圆分为n等份，并得到n个等分点
（4）依次连接这n个等分点即可得到正n边形
5、画正四边形、正八边形、正十六边形的方法
（1）用尺规在圆中作两条互相垂直的直径
（2）依次连接四个顶点即可得到正四边形
（3）再逐次等分各边所对的弧，可以画出正八边形、正十六边形。
6、画正六边形、正三边形、正十二边形的方法
（1）用圆规截取半径的长，将圆分为六等份，依次连接可以得到正六边形
（2）连接不相邻的三个点可以得到正三边形
（3）将正六边形所对的弧依次平分，连接可以得到正十二边形
7、对于一些特殊正多边形的计算公式，应熟记它们的结论
边数n
内角An
中心角αn
半径R
边长an
边心距rn
周长Cn
面积Sn
3
60°
120°
R
R2
4
90°
2R2
6
6R
8、正多边的外角和等于360°
，可以通过计算外角的方法计算内角。
例如，正十二边形有12个相等的外角，则每一个外角为30°
，因为内角与外角互补，则正十二边形的内角为150°
9、使用一种或多种正多边形铺地砖，若要正好平铺，则必须满足：
几个正多边形的内角和恰好等于360°
例如4个正四边形，6个正三边形，3个正六边形，或者两个正十二边形与1个正三边形。
二、弧长和扇形面积
1、弧长公式：
在半径为R的圆中，n°
圆心角所对的弧长的计算公式l=
2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
3、扇形面积公式：
S扇形=
lR
4、由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。
当弓形所含的弧是劣弧时，S弓形=S扇形-S△；
当弓形所含的弧是优弧时，S弓形=S扇形+S△；
当弓形所含的弧是半圆时，S弓形=
S圆
5、扇形的周长等于弧长加上两条半径的长，即C扇形=l+2R
6、阴影部分面积的求法：
（1）图形的平移；
（2）图形的旋转；
（3）等积变形；
（4）图形的拼接；
（5）图形的分割
三、圆锥的侧面积和全面积
1、母线定义：
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
2、圆锥的高：
连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
3、圆锥的侧面展开图是扇形，其中扇形的弧长是圆锥的底面圆周长，半径是圆锥的母线。
4、设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥展开后的扇形的半径为l，扇形的弧长为2
r，因此圆锥的侧面积为：
S锥侧=
rl，圆锥的全面积为：
S锥全=
rl+
r2
5、圆锥有无数个轴截面，它们是全等的等腰三角形，其中腰为圆锥的母线，底为圆锥的底面直径，高为圆锥的高。
补充：
（1）两圆公切线长的计算公式：
①公切线长：
在Rt△O1O2C中，
②外公切线长：
CO2是半径之差
内公切线长：
CO2是半径之和
（2）圆柱侧面展开图
（3）圆锥侧面展开图
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