圆锥曲线解题方法技巧归纳Word格式文档下载.doc

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（1），可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）

（3）

（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？

第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题）

设、，为椭圆的弦中点则有

，；

两式相减得

=

2、联立消元法：

你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？

经典套路是什么？

如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元·

·

，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。

若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线为，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;

（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

分析：

第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。

第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；

解：

（1）设B（,）,C（,）,BC中点为（）,F（2,0）则有

两式作差有

（1）

F（2,0）为三角形重心，所以由，得，由得，代入

（1）得

直线BC的方程为

2）由AB⊥AC得

（2）

设直线BC方程为，得

，

代入

（2）式得

，解得或

直线过定点（0，，设D（x,y），则，即

所以所求点D的轨迹方程是。

3、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。

本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。

建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,

建立目标函数，整理,化繁为简.

解法一：

如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称

依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得

，

设双曲线的方程为，则离心率

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

，①

②

由①式得，③

将③式代入②式，整理得

，

故

由题设得，

解得

所以双曲线的离心率的取值范围为

考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示，回避的计算,达到设而不求的解题策略．

解法二：

建系同解法一，，

，又，代入整理，由题设得，

4、判别式法

例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。

分析1：

解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：

过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.由此出发，可设计如下解题思路：

把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式

直线l’在l的上方且到直线l的距离为

分析2：

如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：

转化为一元二次方程根的问题

求解

问题

关于x的方程有唯一解

简解：

设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：

于是，问题即可转化为如上关于的方程.

由于，所以，从而有

于是关于的方程

由可知：

方程的二根同正，故恒成立，于是等价于

.

由如上关于的方程有唯一解，判别式，就可解得.

点评：

上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:

和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.

这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。

其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？

一方面利用点Q在直线AB上；

另一方面就是运用题目条件：

来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理

利用点Q满足直线AB的方程：

y=k（x—4）+1，消去参数k

点Q的轨迹方程

在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：

所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。

从而简化消去参的过程。

设，则由可得：

解之得：

（1）

设直线AB的方程为：

，代入椭圆C的方程，消去得出关于x的一元二次方程：

（2）

∴

代入

（1），化简得（3）

与联立，消去得：

在

（2）中，由，解得，结合（3）可求得

故知点Q的轨迹方程为：

（）.

由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.

5、求根公式法

例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.

本题中，绝大多数同学不难得到：

=，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：

其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；

其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1:

从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

所求量的取值范围

把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程

xA=f（k），xB=g（k）

得到所求量关于k的函数关系式

求根公式

AP/PB=—（xA/xB）

由判别式得出k的取值范围

简解1：

当直线垂直于x轴时，可求得;

当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：

，代入椭圆方程，消去得

解之得

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.

当时，，，

所以===.

由,解得，

所以，综上.

分析2:

如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：

判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.

xA+xB=f（k），xAxB=g（k）

构造所求量与k的关系式

关于所求量的不等式

韦达定理

简解2：

设直线的方程为：

（*）

则

令，则，

在（*）中，由判别式可得，

从而有，所以，解得.结合得.

综上，.

范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

第三、推理训练：

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。

以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。

在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。

通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：

是否存在直线，使点恰为的垂心？

若存在，求出直线的方程;

若不存在，请说明理由。

思维流程：

写出椭圆方程

由，

（Ⅰ）

由F为的重心

（Ⅱ）

两根之和，

两根之积

得出关于

m的方程

解出m

消元

解题过程：

（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则

又∵即，∴

故椭圆方程为

（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则

设，∵，故，

于是设直线为，由得，

∵又

得即

由韦达定理得

解得或（舍）经检验符合条件．

点石成金：

垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（Ⅰ）求椭圆的方程：

（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；

由椭圆经过A、B、C三点

设方程为

得到的方程组

解出

（Ⅰ）

由内切圆面积最大

转化为面积最大

转化为点的纵坐标的绝对值最大最大

为椭圆短轴端点

面积最大值为

（Ⅱ）

得出点坐标为

（Ⅰ）设椭圆方程为，将、、代入椭圆E的方程，得

解得.∴椭圆的方程．

（Ⅱ），设Δ边上的高为

当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．

设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，

所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.

例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？

若存在，求出点的坐标；

若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）解：

依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入，消去整理得

设

则

由线段中点的横坐标是，得，解得，符合题意。

所以直线的方程为，或.

（Ⅱ）解：

假设在轴上存在点，使为常数.

①当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知

所以

将代入，整理得

注意到是与无关的常数，从而有，此时

②当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时，亦有

综上，在轴上存在定点，使为常数.

例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

（1）设椭圆方程为

则∴椭圆方程为

（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又KOM=

由

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可

设

则由

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

思维流程：

∵

（1）原点到直线AB：

的距离.

故所求双曲线方程为

（2）把中消去y，整理得.

设的中点是，则

即

故所求k=±

点石成金:

C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;

例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标．

（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：

椭圆的标准方程为．

（II）设． 联立

得 ，则

又．

因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，

，即. ．

． ．

解得：

，且均满足．

当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．

以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点CA⊥CB;

例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.

（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；

（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

（Ⅰ）（法一）由题意知,,,

（1分）

解得.由双曲线定义得:

所求双曲线的方程为:

（法二）因,由斜率之积为,可得解.

（Ⅱ）设,

（法一）设P的坐标为,由焦半径公式得,,，

的最大值为2,无最小值.此时,

此时双曲线的渐进线方程为

（法二）设,.

（1）当时,,

此时.

（2）当,由余弦定理得:

,

,综上,的最大值为2,但无最小值.（