高中数学新湘教版选修22利用导数研究函数的单调性.docx
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高中数学新湘教版选修22利用导数研究函数的单调性
4．3
导数在研究函数中的应用
4．3.1 利用导数研究函数的单调性
[读教材·填要点]
函数在区间（a，b）上的单调性与其导函数的正负有如下关系：
导函数的正负
函数在（a，b）上的单调性
f′（x）>0
单调递增
f′（x）<0
单调递减
f′（x）＝0
常数函数
[小问题·大思维]
1．在区间（a，b）内，若f′（x）>0，则f（x）在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：
不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′（x）>0是y＝f（x）在某个区间上递增的充分不必要条件．
2．右图为导函数y＝f′（x）的图象，则函数y＝f（x）的单调区间是什么？
提示：
单调递增区间：
（－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞）；
单调递减区间：
[－3，－2]，[1,3]．
判断（或证明）函数的单调性
已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f（x）的单调性．
[自主解答] 由题设知a≠0.f′（x）＝3ax2－6x＝3ax，
令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝.
当a>0时，若x∈（－∞，0），则f′（x）>0.
∴f（x）在区间（－∞，0）上为增函数．
若x∈，则f′（x）<0，
∴f（x）在区间上为减函数．
若x∈，则f′（x）>0，
∴f（x）在区间上是增函数．
当a<0时，若x∈，则f′（x）<0.
∴f（x）在上是减函数．
若x∈，则f′（x）>0.
∴f（x）在区间上为增函数．
若x∈（0，＋∞），则f′（x）<0.
∴f（x）在区间（0，＋∞）上为减函数．
利用导数判断或证明函数单调性的思路
1．求证：
函数f（x）＝ex－x－1在（0，＋∞）内是增函数，在（－∞，0）内是减函数．
证明：
由f（x）＝ex－x－1，
得f′（x）＝ex－1.
当x∈（0，＋∞）时，ex－1>0，
即f′（x）>0.
∴f（x）在（0，＋∞）内为增函数．
当x∈（－∞，0）时，ex－1<0，
即f′（x）<0.
∴f（x）在（－∞，0）内是减函数．
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝3x2－lnx；
（2）f（x）＝－ax3＋x2＋1（a≤0）．
[自主解答]
（1）函数的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝6x－＝，
令f′（x）>0，即>0，
∵x>0，∴6x2－1>0，∴x>.令f′（x）<0，
即<0，∵x>0，∴6x2－1<0，∴0∴f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为.
（2）①当a＝0时，f（x）＝x2＋1，
其单调递减区间为（－∞，0），单调递增区间为（0，＋∞）．
②当a<0时，f′（x）＝－ax2＋2x，
f′（x）>0⇔（－ax＋2）x>0⇔x>0⇔x>0或x<；f′（x）<0⇔故f（x）的单调递增区间为和（0，＋∞），单调递减区间为.
求函数的单调区间的“两个”方法
方法一：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x），令f′（x）＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
（3）把函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间；
（4）确定f′（x）在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
2．已知函数f（x）＝（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线与x轴平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间．
解：
（1）由题意得f′（x）＝，
又f′
（1）＝＝0，故k＝1.
（2）由
（1）知，f′（x）＝.
设h（x）＝－lnx－1（x>0），则h′（x）＝－－<0，即h（x）在（0，＋∞）上是减函数．
由h
（1）＝0知，当00，从而f′（x）>0；
当x>1时，h（x）<0，从而f′（x）<0.
综上可知，f（x）的单调递增区间是（0,1），单调递减区间是（1，＋∞）．
已知函数的单调性求参数范围
已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax2＋2x，a≠0.
（1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
[自主解答]
（1）h（x）＝lnx－ax2－2x，x∈（0，＋∞），
所以h′（x）＝－ax－2.
因为h（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，
所以当x∈（0，＋∞）时，
－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G（x）＝－，所以只要a>G（x）min即可．
而G（x）＝2－1，所以G（x）min＝－1.
所以a>－1.即实数a的取值范围是（－1，＋∞）．
（2）因为h（x）在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′（x）＝－ax－2≤0恒成立．
即a≥－恒成立．
所以a≥G（x）max.而G（x）＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈.
所以G（x）max＝－（此时x＝4）．
所以a≥－.
当a＝－时，h′（x）＝＋x－2
＝＝.
∵x∈[1,4]，∴h′（x）＝≤0.
即h（x）在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
若将本例
（2）中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a的取值范围？
解：
∵h（x）在[1,4]上单调递增，
∴x∈[1,4]时，h′（x）＝－ax－2≥0恒成立．
即a≤－恒成立．
设G（x）＝－，∴只需a≤G（x）min.
又G（x）＝2－1，∵x∈[1,4]，∴∈.
∴G（x）min＝－1，∴a≤－1.
经验证：
a＝－1时，h（x）在[1,4]上单调递增，
综上所述，a的取值范围为（－∞，－1]．
已知f（x）在区间D上单调，求f（x）中参数的取值范围的方法为分离参数法：
通常将f′（x）≥0（或f′（x）≤0）的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f′（x）为二次函数，可以由f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立求出参数的取值范围．
3．已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，若f（x）在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C.D.
解析：
f′（x）＝（2x－2a）ex＋（x2－2ax）ex＝[x2＋（2－2a）x－2a]ex，
由题意当x∈[－1,1]时，f′（x）≤0恒成立，
即x2＋（2－2a）x－2a≤0恒成立．
令g（x）＝x2＋（2－2a）x－2a，则有
即解得a≥.
答案：
C
证明：
方程x－sinx＝0有唯一解．
[巧思] 方程f（x）＝0的解即曲线y＝f（x）与x轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决．
[妙解] 设f（x）＝x－sinx，当x＝0时，f（0）＝0，
所以x＝0是方程x－sinx＝0的一个解．
因为f′（x）＝1－cosx，
且x∈R时，f′（x）>0总成立，
所以函数f（x）在R上单调递增．
所以曲线f（x）＝x－sinx与x轴只有一个交点．
所以方程x－sinx＝0有唯一解．
1．函数f（x）＝x3－3x2＋1的单调递减区间为（ ）
A．（2，＋∞） B．（－∞，2）
C．（－∞，0）D．（0,2）
解析：
f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），
令f′（x）<0，得0∴函数f（x）的单调递减区间为（0,2）．
答案：
D
2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为（ ）
A．（－1,1]B．（0,1]
C．[1，＋∞）D．（0，＋∞）
解析：
函数y＝x2－lnx的定义域为（0，＋∞），y′＝x－＝，
令y′≤0，可得0＜x≤1.
答案：
B
3．函数f（x）＝x3＋ax－2在区间（1，＋∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[3，＋∞）B．[－3，＋∞）
C．（－3，＋∞）D．（－∞，－3）
解析：
f′（x）＝3x2＋a，
令3x2＋a≥0，∴a≥－3x2，
∵x∈（1，＋∞），∴a≥－3.
答案：
B
4．函数f（x）＝cosx＋x的单调递增区间是________．
解析：
因为f′（x）＝－sinx＋＞0，
所以f（x）在R上为增函数．
答案：
（－∞，＋∞）
5．已知函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为____________．
解析：
设g（x）＝f（x）－2x－4，则g′（x）＝f′（x）－2.
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴g′（x）＞0.∴g（x）在R上为增函数．
又g（－1）＝f（－1）＋2－4＝0，∴x＞－1时，g（x）＞0.
∴由f（x）＞2x＋4，得x＞－1.
答案：
（－1，＋∞）
6．求函数f（x）＝x3－3x2－9x＋1在区间[－4,4]上的单调性．
解：
∵f（x）＝x3－3x2－9x＋1，∴f′（x）＝3x2－6x－9.
令f′（x）>0，结合－4≤x≤4，
得－4≤x<－1或3令f′（x）<0，结合－4≤x≤4，得－1∴函数f（x）在[－4，－1）和（3,4]上为增函数，在（－1,3）上为减函数．
一、选择题
1．函数f（x）＝x－lnx的单调递减区间为（ ）
A．（0,1） B．（0，＋∞）
C．（1，＋∞）D．（－∞，0）∪（1，＋∞）
解析：
函数的定义域是（0，＋∞），且f′（x）＝1－＝，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是（0,1）．
答案：
A
2．已知函数f（x）＝＋lnx，则有（ ）
A．f
（2）（2）C．f（3）（2）D．f（e）（2）
解析：
在（0，＋∞）上，f′（x）＝＋>0，
所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
所以有f
（2）答案：
A
3．如图为函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，那么函数y＝f（x）的图象可能为（ ）
解析：
由导函数y＝f′（x）的图象，可知当－1所以y＝f（x）在（－1,3）上单调递减；
当x>3或x<－1时，f′（x）>0，
所以y＝f（x）在（－∞，－1）和（3，＋∞）上单调递增．
综上，函数y＝f（x）的图象的大致形状如A中图所示，所以选A.
答案：
A
4．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）<0，且f（－1）＝0，则f（x）g（x）<0的解集为（ ）
A．（－1,0）∪（1，＋∞）B．（－1,0）∪（0,1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（0,1）
解析：
令F（x）＝f（x）g（x），则F（x）为奇函数，
且当x<0时，F′（x）<0，
即F（x）在（－∞，0）上为减函数．
又∵f（－1）＝0，即F（－1）＝0.
∴F（x）＝f（x）g（x）<0的解集为（－1,0）∪（1，＋∞）．
答案：
A
二、填空题
5．若函数y＝x2－2bx＋6在（2,8）内是增函数，则实数b的取值范围是________．
解析：
y′＝2x－2b≥0在（2,8）内恒成立，即b≤x在（2,8）内恒成立，∴b≤2.
答案：
（－∞，2]
6．已知函数y＝f（x）在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为________．
解析：
f′（x）≤0的解集，即为函数y＝f（x）的单调减区间，
∴f′（x）≤0的解集为∪.
答案：
∪
7．设函数f（x）＝x（ex－1）－x2，则f（x）的单调增区间是________，减区间是________．
解析：
f（x）＝x（ex－1）－x2，
f′（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）．
当x∈（－∞，－1）时，f′（x）>0；当x∈（－1,0）时，
f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0.
故f（x）在（－∞，－1），（0，＋∞）上单调递增，在（－1,0）上单调递减．
答案：
（－∞，－1）和（0，＋∞） （－1,0）
8．已知函数f（x）＝－2x2＋lnx（a＞0）．若函数f（x）在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
解析：
f′（x）＝－4x＋，若函数f（x）在[1,2]上为单调函数，
即f′（x）＝－4x＋≥0或f′（x）＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立
，即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h（x）＝4x－，则h（x）在[1,2]上单调递增，
所以≥h
（2）或≤h
（1），即≥或≤3，
又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.
答案：
∪[1，＋∞）
三、解答题
9．已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
解：
（1）对f（x）求导得f′（x）＝－－，
由f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x
知f′
（1）＝－－a＝－2，解得a＝.
（2）由
（1）知f（x）＝＋－lnx－，
则f′（x）＝，
令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5，
因x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去．
当x∈（0,5）时，f′（x）<0，故f（x）在（0,5）内为减函数；
当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（5，＋∞）内为增函数．
10．已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＝－1时，证明：
当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋2>0.
解：
（1）根据题意知，f′（x）＝（x>0），
当a>0时，则当x∈（0,1）时，f′（x）>0，当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<0
，所以f（x）的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1，＋∞）；
同理，当a<0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）；
当a＝0时，f（x）＝－3，不是单调函数，无单调区间．
（2）证明：
当a＝－1时，f（x）＝－lnx＋x－3，
所以f
（1）＝－2，
由
（1）知f（x）＝－lnx＋x－3在（1，＋∞）上单调递增，
所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）>f
（1）．
即f（x）>－2，所以f（x）＋2>0.
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