数学思想.docx

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数学思想

数学思想

毕竟高中数学就哪些东西，技巧也很有限，硬是要把大学的方法和技巧强加在高中解题上，确实能做到事半功倍，甚至得心应手，可能还会有种错觉--居然会这么简单，以前怎么不觉得呢？

但若是把这种在大部分高中生看来纯属外挂的技巧付诸实践的话，很可能遭致老师的一顿痛批，你这个不对，应该怎么怎么地......（教育体制就这样，你就别硬出头了，这东西拿来在同学间装装逼就成了......）

数学学习绝对不该流于技法表面，更应注重对数学思想的训练。

很多高中生都算得上是解题能手，应对各类试题，采用题海战术那是鲜有失手，这也很大程度上给人一种错觉--只要做得多，数学就不会太差。

其实这是一个很大的误区，有事半功倍就会有事倍功半，学生从大量刷题中参悟的东西是因人而异的，有些人善于归纳总结，最后能举一反三；而有些人最终也只是简单题量的堆积，之后碰到同类题甚至是原题，有的只是似曾相识的感觉，具体该怎么下手则要取决于对答案的记忆程度了，收效甚微。

归结来看，就是学生在这种解题训练中对「数感」的累积存在差异--「悟性」这种东西真的很玄乎又很实在，透了也就透了，不懂始终就是不懂。

这也是学霸和学神之家无法跨越的鸿沟，有时候不是量变就一定能引发质变的。

高中数学是适合谈一谈数学思想的，即便是浅层次的理解也对解题有所助益，你应该始终坚信「数学万变不理其宗」，若能掌握其法门，终将立于不败之地。

记得高中某天晚自习的时候曾经误打误撞用推导出了球的体积公式，甚至还推论出球的切片体积公式。

主要用的思想就是简单的无限分割最后取极限，当时并不知道这就是高等数学里的积分方法，后来等我上了大学，学习《数学分析》的时候才知道原来早就有了这么一套系统的方法存在了......PS.那时候觉着自己为什么会这么屌，兴冲冲地就跑去向数学老师求证，还得到老师惊诧和赞许的目光，瞬间就有种想炫燿的冲动啊，有木有！

觉着也只有我这样碾压型的才能和数学老师进智力上的对话了！

现在想想，我只不过是把先贤的洞见重新“发掘”了一遍，在无穷分割和极限的思想方面有了一小点共鸣而已。

等我真正见识到了什么极座标系和球坐标系下的曲面积分，以及之后的第一类和第二类曲线积分，才知道什么叫山外有山，人外有人，所以说当年毕竟图样啊。

但这件事对我今后的数学学习影响很大，甚至很大程度上纠正了我的数学史观--数学并不失关于证明的精妙技法的简单炫耀，而是证明背后蕴含着的深刻的数学思想。

如果你能满满参透这一点，说明你离入门快不远了。

加油吧，少年！

举个例子，「反证法」算是我在证明方面比较得心应手的一种，这种逆天级的偷懒神技绝对是数学思想的真实写照--非此即彼，有着三两拨千金般动人心魄的魔力。

试想一下，现在有一堆形态完全一致，重量相当的珠子，事先告诉你其中只混杂了铁珠和玻璃珠，让你具体验证（数学上惯用「证明」）具体是那种组合--纯铁珠，纯玻璃珠，还是两者的混合（你说什么？

具体的数目配比，对不起，我们谈的是数学，只管证明，不是来算数的，那是你们工科生的活儿，谢谢~）。

那我们看怎么用「反证法」来求证这个结论。

传统的反证法只有两种状态，非此即彼，所以我们一般会习惯性开始假设其中一种状态成立，然后通过在这种设问下寻找到相应的矛盾，进而否定这种假设的正确性，于是在这种「一分为二，非此即彼」的逻辑框架下佐证了另一状态是成立的，本质上是一种间接求证的思想。

但是现在我们的例子涉及了三种待求证的状态，所以可以不用拘泥于传统的假设，直接引入一个「状态器」，通过这个状态器对这堆珠子的反应来判别究竟是那种状态成立。

好了，这个状态器怎么选，当然是要能绝对区分两种不同材质的珠子了，我们可以针对「铁钴镍」能被磁石吸引的这一特性，量身为其打造这个「状态器」。

对，你没有听错，就是这么个玩意儿--吸铁石。

我们只要将这个状态器对每个珠子进行挨个测试，通过最后的测试结果来验证究竟是那种状态。

状态器存储的结果是可预测的，无非只有三种情况：

∙珠子无一例外地都没能被吸引

∙全部都被吸引了

∙部分被吸引，部分无动于衷

我们根据最终「状态器」显示的结果来推断珠子的状态，对应的分别是纯玻璃珠，纯铁珠，混合型。

好了，到现在你可能会觉得这和「反证法」联系不大吧，你都没事先假设和推出矛盾。

那我们把问题简化一下，变换成所谓的传统版本：

事先告知你这堆珠子没有混杂铁珠，全部都是玻璃珠，你怎么证明？

还是类似的思路，我们事先假定其中混杂了铁珠（数目不详），那么按照这个假设，我们用「状态器」去挨个测试的时候，就该出现某些珠子被吸引的现象，一旦没有达到预期的结果，就产生了我们所说的矛盾，进而也就否定了伊始那个存在铁珠的假设了，于是「证毕」。

所以你看，只要你能体会这种「状态器」的妙用--无非就是如何正确筛选出哪些题设外的状态，你就能理解什么是「反证法」了，而且你还学会了更高阶的情形不是么？

！

//数学就是这点好，我们只证明存不存在，不管你具体有多少，我想正是这种不拘小节的大师风范才能让数学家们有更多的时间和经历去解决困扰人类智力的终极难题吧。

//什么，你居然问我万一珠子数量很多怎么办？

我擦，我们现在讨论的是逻辑层面的可行性好么，几秒钟就能解决的事儿，你跟我这谈实际的可操作性，我们这群手残党是脑力劳动者好么又不是干苦力的......况且珠子再多在数学上都逃不出「可数」的范畴，所以那都不是事儿。

PS.咦，怎么感觉又自黑了一把......

//那谁，你居然说这题犯不着这么麻烦，直接根据两种材质的硬度和弹性来区分，往地上一摔就能见分晓，是玻璃珠指定开裂，我擦，你过来，我保证不打死你......这么暴力，伤着花花草草的该多不好......

聊完「反证法」，我们再来谈谈高中数学中涉及的「数学归纳法」，很多高中生可能学习的时候都很难理解这种证明方法为什么要这样递推--先验证最低阶情形下命题成立，然后假定第N阶时命题成立，最后去证明N+1阶情形下命题也成立，于是整个命题在已知的任意情形下都成立。

我教过为数不多的几个学生都在这点上理解吃力，他们并不清楚这样假设的目的究竟是什么，也不甚理解整个证明过程中各阶段之间的递进关系。

只是机械地依葫芦画瓢，如果题目不提示利用归纳法解题的话很可能就“浑身法术”了......

说起「归纳法」，大学计算机编程中会涉及一种函数技巧--「递归函数」，比如你要计算10的阶乘，按照数学定义，你直接用就能得到，那你需要借助计算，以此类推，最终得到你要的计算结果为。

总结说来，递归思想就是要建立起相邻两阶之间的递推关系（由高到低方向，当然也是可逆的），高阶情形的实现依赖于低阶情形的实现，只要整个递推过程是有限的，那么最后总能化归为最低阶的情形。

现在我们类比地来看「归纳法」究竟是个什么鬼？

数学归纳法可以认为是「递归」的一个逆向过程，无非就是先验证最低阶情形下结论成立，然后构建相邻两阶之间的递推关系（低阶到高阶方向，自然也是可逆的）并验证结论成立，这样就能保证整个逻辑链条是开路的，也就证明了递推的可延展性（无限延伸）。

我们来看个简单的证明：

证明级数发散，即其值趋于

简单的思路（貌似当年数分上就有类似的证明题）就是通过放缩来证明，首先对级数进行拆分：

注意到每个括号中的数值都大于，所以不难归纳证明出，最后令即可证明级数发散.

当然这样具有构造性技巧的归纳证明有一定难度，这里举这个例子也只是为了说明「归纳法」的运用技巧和内在涵义。

最后我们捎带说下令无数学生神烦的「不等式」好了。

貌似用得最多的应该是均值不等式：

，其变形版本为当且仅当时等式成立。

怎么证明呢？

基本所有的高中不等式证明都是依照最简单粗暴的逻辑--左右相减，大小自现。

这是一条不破的铁律，对于上面那个不等式证明只需左右相减得当且仅当时等式成立。

大学里有很多更高阶版本的不等式：

∙Cauchy-Schiwarz不等式

∙Hölder不等式，其证明可以借助Young不等式：

∙Minkowski不等式

以上不等式涉及的证明其实并非很复杂，我们以Cauchy-Schiwarz不等式的证明为例，简要说明下不等式背后蕴含的等式涵义。

我高中的时候应该是借助二次函数的性质对其进行证明的：

首先构造，显然有，等式成立当且仅当对都有，即高中所说的对应成比例，而按照线性代数的观点就是两个向量共线；一旦不共线，则会发生“漂移”，不等号就严格成立了。

由拆分可以得到：

.

以上不等式左边可以看成是以为自变量的一元二次函数.

该不等式都成立，一个自然的考虑就是其，即，证毕.

这个例子说明了低阶版本的技巧和方法同样能够适用于解决高阶问题，关键就是在于你选择的视角。

同样的一个问题，从不同的角度去思考可能采用的方法决然不同。

举个简单的例子：

现在有10张面值不尽相同的人民币，面值分别为1020501001050100505010。

让你统计其面值总额，显然有两套方案：

∙顺次相加

∙归类汇总

第一种我们称为Riemann积分，第二种则叫Lebesgue积分，这个例子是我从一个教《测度论》的年轻老师那听来的，当时印象特别深刻，可以说是非常精准地捕捉了两种积分之间的理念差异。

以后你们若是有机会接触这类积分，或许对我说的这些还能有些印象，到时候仔细琢磨琢磨，看看是不是这么回事儿。

不同的视角，直接导致了不同的研究方法，有时候可能是异曲同工，但大多数时候还是会有优劣之分的，谁都想走捷径啊，不是么？

但这种「视角」怎么实现，这还依赖于平时的训练和思考积累。

学得东西多了，自然就见多识广了，拿大学的知识来虐高中试题算不得什么厉害，顶多说明你能活学活用，善用工具罢了。

但是若能洞见问题和方法背后共通的思想，将对你思考乃至最终解决问题都助益良多。

以上扯了这么多，无非是想说比起方法上的堆积，平时更应该多问几个为什么，只有你多参悟方法和技巧背后的思维方法，才能真正打开你的思路，甚至决定你看待问题的视角。

想想身处题海中的自己怎可奢望能一览其全貌，你眼里有的不过是一汪无尽的海水罢了。

如果哪一天你真的跳脱出来，开了一副上帝视角，那就会发现原来曾经自己所处的位置竟是“别有洞天”，转身回望，当是别样光景。