北师大版九年级数学下册全套教案Word文档格式.docx

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用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

学习方法：

探索——交流法.

学习过程：

一、正弦、余弦及三角函数的定义

想一想：

如图

（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?

（2）

有什么关系?

呢?

（3）如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?

你由此可得出什么结论?

（4）如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?

你由此又可得出什么结论?

请讨论后回答.

二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：

例1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°

，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.

例2、做一做：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，cosA＝

，AC＝10，AB等于多少?

sinB呢?

cosB、sinA呢?

你还能得出类似例1的结论吗?

请用一般式表达.

1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

2、在△ABC中，∠C＝90°

，sinA＝

，BC=20，求△ABC的周长和面积.

3、

在△ABC中.∠C=90°

，若tanA=

，则sinA=.

、

1.230°

、45°

、60°

角的三角函数值

1.经历探索30°

角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.

2.能够进行30°

角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°

的三角函数值说明相应的锐角的大小.

1.探索30°

角的三角函数值.

2.能够进行含30°

3.比较锐角三角函数值的大小.

进一步体会三角函数的意义.

自主探索法

一、问题引入

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：

①含30°

和60°

两个锐角的三角尺；

②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.

二、新课

[问题]1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?

它们分别等于多少度?

[问题]2、sin30°

等于多少呢?

你是怎样得到的?

与同伴交流.

[问题]3、cos30°

等于多少?

tan30°

[问题]4、我们求出了30°

角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°

，它们的三角函数值分别是多少?

你是如何得到的?

结论：

三角函数

角度

sinα

coα

tanα

30°

45°

60°

[例1]计算：

（1）sin30°

+cos45°

；

（2）sin260°

+cos260°

-tan45°

.

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°

，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.01m）

三、随堂练习

1.计算：

（1）sin60°

（2）cos60°

+tan60°

（3）

sin45°

+sin60°

-2cos45°

⑷

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°

.高为7m，扶梯的长度是多少?

3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30m，两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°

时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?

（精确到0.1m，

≈1.41，

≈1.73）

四、课后练习：

1、计算：

⑴、

⑵、

⑶、

⑷、

⑸、

⑹、

⑺、

·

tan60°

⑻、

2、请设计一种方案计算tan15°

的值。

1.4船有触礁的危险吗

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.

探索——发现法

一、问题引入：

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°

的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°

的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

你是如何想的?

与同伴进行交流.

二、解决问题：

1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°

，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°

.那么该塔有多高?

（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）

2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°

减至35°

，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？

楼梯多占多长一段地面?

（结果精确到0.0lm）

1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°

夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?

2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°

（1）求∠ABC的大小：

（2）如果坝长100m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?

（结果精确到0.01m3）

3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°

方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响.

（1）问：

B处是否会受到台风的影响?

请说明理由.

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?

（供选用数据：

≈1.4，

≈1.7）

1.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°

的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30°

的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.

2.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°

树的底部B点的俯角为30°

如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?

1.5测量物体的高度

1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容:

课题

在两岸近似平行的河段上测量河宽

测量目

标图示

测得数据

∠CAD=60°

AB=30m,∠CBD=45°

∠BDC=90°

请你根据以上的条件,计算出河宽CD（结果保留根号）.

2.下面是活动报告的一部分,请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.

测量旗杆高

测量示意图

测量项目

第一次

第二次

平均值

BD的长

24.19m

23.97m

测倾器的高

CD=1.23m

CD=1.19m

倾斜角

a=31°

15′

a=30°

45′

计算

旗杆高AB（精确到0.1m）

3.学习完本节内容后,某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据,求旗杆高AB（计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算）.

活动报告

利用测倾器测量学校旗杆的高

测量数据

BD=20.00m

CD=1.21m

α=28°

旗杆高AB的计算过程（精确到0.1m）

实践二：

提供选用的测量工具有：

①皮尺一根；

②教学用三角板一副；

③长为2.5米的标杆一根；

④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。

请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：

（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工

具的序号填写）

（2）在右图中画出你的测量方案示意图；

（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据：

（4）写出求树高的算式：

AB=

第二章二次函数

2.1二次函数所描述的关系

1.探索并归纳二次函数的定义.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.

1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.

2.能够表示简单变量之间的二次函数.

经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.

讨论探索法.

【例1】函数y=（m＋2）x

＋2x－1是二次函数，则m=．

【例2】下列函数中是二次函数的有（）

①y=x＋

②y=3（x－1）2＋2；

③y=（x＋3）2－2x2；

④y=

＋x．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例3】正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．

1、已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式．

2、已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式．

3、已知正方形的边长为x，若边长增加5，求面积y与x的函数表达式．

【例4】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图中，第一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与

（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？

请通过计算说明为什么？

课后练习:

1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；

当a，b时，是一次函数；

当a，b，c时，是正比例函数．

2．当m时，y=（m－2）x

是二次函数．

3．下列不是二次函数的是（）

A．y=3x2＋4B．y=－

x2C．y=

D．y=（x＋1）（x－2）

4．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（）

A．m、n为常数，且m≠0B．m、n为常数，且m≠n

C．m、n为常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数

2.2结识抛物线

经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．

利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好．只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．

函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．

探索——总结——运用法.

一、作二次函数y=x

的图象。

二、议一议：

1.你能描述图象的形状吗？

与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗？

如果有，交点的坐标是什么？

3.当x<

0时，y随着x的增大，y的值如何变化？

当x>

0时呢？

4.当x取什么值时，y的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、y=x

的图象的性质：

【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．

【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）

A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3

四、练习

1．函数y=x2的顶点坐标为．若点（a，4）在其图象上，则a的值是．

2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m=．

3．函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到．

五、课后练习

1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为．

2．函数y=x2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点．

3．点A（

，b）是抛物线y=x2上的一点，则b=；

点A关于y轴的对称点B是，它在函数上；

点A关于原点的对称点C是，它在函数上．

2.3刹车距离与二次函数

1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．

2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．

3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．

二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．

由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由

（1）列表，

（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．

类比学习法。

一、复习：

二次函数y=x2与y=-x2的性质：

抛物线

y=x2

y=-x2

对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

二、问题引入：

你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？

刹车距离与什么因素有关？

有研究表明:

汽车在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）汽车的刹车距离s（m）可以由公式：

晴天时：

雨天时：

，请分别画出这两个函数的图像：

三、动手操作、探究：

1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。

2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。

比较它们的性质，你可以得到什么结论？

四、例题：

【例1】已知抛物线y=（m＋1）x

开口向下，求m的值．

【例2】k为何值时，y=（k＋2）x

是关于x的二次函数？

【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=

x2，④y=－

x2的图象，并根据图象回答问题：

（1）当x=2时，y=

x2比y=3x2大（或小）多少？

（2）当x=－2时，y=－

x2比y=－3x2大（或小）多少？

【例4】已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．

（1）求a、m的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；

（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．

【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

2.4二次函数的图象（第一课时）

　　1．会用描点法画出二次函数

与

的图象；

　　2．能结合图象确定抛物线

的对称轴与顶点坐标；

3．通过比较抛物线

同

的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;

画出形如

与形如

的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

理解函数

、

及其图象间的相互关系

探索研究法。

一、复习引入

　　提问：

1．什么是二次函数？

　　2．我们已研究过了什么样的二次函数？

　　3．形如

的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

复习提问：

用描点法画出函数

的图象，并根据图象指出：

的开口方向，对称轴与顶点坐标.

例1 

在同一平面直角坐标系画出函数

的图象.

由图象思考下列问题：

（1）抛物线

的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（2）抛物线

　　（3）抛物线

，

的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？

（4）抛物线

继续回答：

　　①抛物线的形状相同具体是指什么？

　　②根据你所学过的知识能否回答：

为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

　　③这三条抛物线的位置有何不同？

它们之间可有什么关系？

　　④抛物线

是由抛物线

沿y轴怎样移动了几个单位得到的？

呢？

　　⑤你认为是什么决定了会这样平移？

例2在同一平面直角坐标系内画出

的图象．

三、本节小结

　　本节课学习了二次函数

的图象的画法，主要内容如下。

　　填写下表：

　　表一：

　　表二：

2.4二次函数的图象（第二课时）

的图像；

　　2．知道抛物线

会画形如

的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。

确定形如

的二次函数的顶点坐标和对称轴。

1、请你在同一直角坐标系内，画出函数

的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．

2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数

的图像？

3、你能否指出抛物线

的开口方向，对称轴，顶点坐标？

将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：

4、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数

中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？

5、抛物线

有什么关系？

6、它们的位置有什么关系？

①抛物线

怎样移动得到的？

②抛物线

③抛物线

④抛物线

⑤抛物线

总结、扩展

一般的二次函数，都可以变形成

的形式，其中：

　　1．a能决定什么？

怎样决定的？

2．它的对称轴是什么？

顶点坐标是什么？

2.5用三种方式表示二次函数

　　经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；

掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；

掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．

能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．

用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．

讨论式学习法。

一、做一做：

已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什