4线 射线和线段Word文档格式.docx
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这些都不能只凭感觉得出结论，而要经过推理证明才行。
由此可见，学习几何不仅是获得具体的几何知识，更重要的是学会思考问题的方法，培养我们的空间想象能力，逻辑推理能力。
因此有人说：
“几何是训练人类思维的体操”，这就是学习几何的目的。
2．本章要学习构成各种几何图形的基本元素——直线、线段、射线、角的定义，性质及画法等内容，它是关系到能否学好平面几何的重要一章。
如何学会这些基本元素的定义，性质及画法是本章的重点，又是一个难点。
本章的概念，术语较多，学习时要重视几何概念是怎样建立的。
要学会把运动引入平面图形，用运动观点来分析概念定义的图形，要把定义概念的图形和所定义的概念建立起对应关系。
这种对应关系实质上起到了平面图形和概念的相互转化作用。
它能使我们见到定义概念的图形就能想到所定义的概念；
反之，提到所定义的概念就可以联想到定义概念的图形。
3．另一个重点，也是难点就是几何语言的学习。
几何语言是几何中的专用术语。
几何语言产生于对图形的正确理解和简练的叙述，几何语言要求图形中的元素位置关系准确，概念清楚，先后顺序明确，语句简练。
在今后的学习几何中若能较快地掌握几何语言，那么述事，说理才会简洁明了。
4．学习几何语言要注重以下四点：
①要深刻理解几何语言中所叙述的图形，建立基本概念，关联词与图形之间的对应。
②要把图形结构，语句、命题的结构，语言的语法结构结合起来。
③要强化“文”，“图”，“式”相互转化的训练。
④要随着学习的深入做好几何语言的归纳，积累逐步掌握几何语言的规律，提高语言的表达能力。
5．体、面、线、点
①只考虑物体的形状，大小和位置的物体叫做几何体。
体是由面围成的，面与面相交于线，线与线相交于点。
对于面、线、点应认识到它们是不定义的原始概念，只给一个形象上的、描述性的认识。
②面有平面和曲面。
如桌面可以想象为一个平面。
皮球的表面可以想象为一个曲面。
现实的世界中是找不到几何中的面的。
它是从实际物体中抽象出来的图形。
几何重点研究平面，把它看成是一个到处平直，没有厚度，向各个方向无限延展的面。
③线有直线和曲线之分。
如一束光线，可以想象成直线。
一个圆桌的边可想象成曲线。
同样几何中的说的线，也只能从实物中想象。
要把线看成没有宽窄，其中直线又是反向两个方向无限延伸的。
④对于点，有时我们在纸上画一个红点就代表一个点，在地图上把一个城市看成一个点，这些都想象为点。
几何中的点在现实中也是找不到的。
几何中的点看成是没有形状和大小，只有位置的元素。
例：
国庆五十周年时天安门广场的“背景组字”在天安门城楼上一看组成很多美丽的图案。
它是由很多人一排排地坐好，举出不同的纸板球组成的，远看就成了一张完整的画面。
我们可以将每个人看成一个点，每一排人看成一条线，整个画面看成一个面。
这样，我们看到无数多点可以集合成线，无数多线可以集合成面。
也可以理解为，一条线上有无数多点，一个面内有无数多线。
又如广场礼花在夜空中留下的图形，你是否看到了点动成线？
在电视中看到收割机在麦田中收割小麦，你是否看到了线动成面？
6．直线、射线、线段
①直线是不给定义的，但射线和线段是有定义的。
②例：
数轴
数轴的作用是：
所有的实数都可以用数轴上的点表示（到代数开方一章后把数从有理数扩充到实数）,由于实数是无穷多的，而实数与数轴上点又是一一对应的，且数轴本身是一条直线，因此我们很容易想到它是如何地向两方无限延伸的，同时可知直线是由无穷多点集合而成。
在数轴上，以O为原点取向右的方向为正方向，相反的方向为负方向，将它们单独取出，如图，就是两条射线，这就很形象地看到射线是向一方无限延伸的。
再者，组成一条数轴不可少的三要素之一是单位长，它就是线段，有确定的长度。
这样一条数轴上包含着直线、射线、线段。
也可以说射线，线段均为直线上一部分。
可小结为：
a：
直线向两方无限延伸，无端点，不可说延长直线。
b：
射线向一方无限延伸，有一个端点，向一方不可说延长射线，而可由端点处作反向延长线。
c：
线段有确定的长度，有二个端点，可向两方作延长线。
③直线、射线、线段的联系和区别：
a．三者的联系是：
射线和线段都是直线的一部分，在直线上取一点，可以分成两条射线，取两点可以得到一条线段和四条射线，把射线反向延长线或把线段两方延长就可得到直线。
b．三者的区别：
除前面讲到的端点个数和可无延伸外再从表示方法上区别。
在表示方法上射线AB和射线BA是两条不同的射线，而直线AB和直线BA却表示同一条直线。
线段AB和线段BA表示同一条线段，但A和B是线段的端点。
直线AB和直线BA中的A、B两点是直线上的任意两点。
7．线段的中点：
点M是线段AB中点,AM=MB=
AB
若点M是线段AB中点，那么AM=MB=
AB，AB=2AM=2MB；
反之，如果点M在线段AB上，且有AM=MB=
AB或AB=2AM=2MB，那么M是线段AB的中点。
8．关于线段的计算：
两条线段长度相等，这两条线段称为相等的线段，记作AB=CD，平面几何中线段的计算结果仍为一条线段。
即使不知线段具体的长度也可以作计算。
如图：
AB+BC=AC，或说：
AC-AB=BC
AC=CD=DB，即AB=3AC=3CD=3BD
或AC=
AB，AD=
AB，AB=
AD
六．例题精选
例1．过三点A、B、C可以画几条直线？
解：
分两种情况：
（1）A、B、C在一条直线上，此时可画一条直线，如图所示：
（2）A、B、C不在一条直线上，此时，无法画直线。
例2．
过A、B、C三点中的任意两点画直线，共可画几条？
（1）A、B、C三点在一条直线上，此时，可画一直线直线如图所示：
（2）A、B、C三点不在一条直线上，此时可画三条直线，如图所示：
说明：
例1、2在解的过程中都需要“分类讨论”，这是一种重要的数学思想方法，从初一就开始渗透将对今后的学习起到很好的作用。
例3．
在图中，共有几条线段？
分别把它们表示出来。
答：
共有6条线段，它们是：
线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD。
识别有重叠部分的图形时，要注意不要遗漏、不重复。
该题通常可以以端点的次序计数：
以A为左端点的线段有：
AB、AC、AD；
以B为左端点的线段有：
BC、BD；
以C为左端点的线段有：
CD。
线段AB和线段BA是同一条线段。
例4．已知线段AB=5cm。
（1）在线段AB上画线段BC=3cm,并求线段AC的长；
（2）在直线AB上画线段BC=3cm，并求线段AC的长；
（1）用刻度尺画线段AB=5cm,在线段AB上画线段BC=3cm，如图1所示，则AC=AB-BC=5cm-3cm=2cm;
（2）画直线a,在a上画线段AB=5cm,以B为端点在直线a上画线段BC=3cm（点C可能在B的左侧或右侧），如图所示2，则AC=AB-BC=2cm或AC=AB+BC=8cm。
在线段AB上画线段BC，因线段是固定的，所以只能在线段AB上戴取，结果线段AC是唯一的；
在直线AB上戴取线段BC，由于直线是向两方向无限延伸的，所以C点可以落在B点的左侧或右侧，故有两解。
例5：
如图所示，把线段AB延长至D，使BD=
AB，再反向延长AB至C，使AC=AB，问：
①CD是AB的几倍？
②BC是CD的几分之几？
（1）∵CD=CA+AB+BD，又∵CA=AB，BD=
∴CD=AB+AB+
AB=
（2）∵BC=CA+AB=2AB，又∵CD=
∴
CD是AB的
倍，BC是CD的
。
测试
选择题
1．平面上有三个点A、B、C，过其中的两个点共可以连成（）条直线。
A、3条 B、1条 C、3条或1条 D、以上都不正确
2．平面上有三个点A、B、C，过其中的两个点可以连成（）条线段。
3．下列说法中正确的是（）
A、若AP=
AB，则P是AB的中点
B、若AB=2PB，则P是AB的中点
C、若AP＝PB，则P是AB的中点
D、若AP＝PB＝
AB，则P是AB的中点
4．以下画图顺序不正确的是（）
A、直线AB经过点C．画法：
先画点C，再画过点C的直线AB
B、点C在直线AB上．画法：
先画直线AB，再在AB上画一点C
C、点G在直线a上但不在直线b上，画法：
先画直线a，在a上画一点G，再画不过G的任一条直线b
D、直线a与直线b相交于点O．画法：
先画直线a或b，再画与直线a或b相交于点O的直线b或a
5．线段AB被分成2:
3:
4三部分，已知第一部分和第三部分中点的距离是5.4厘米，线段AB的长应为（）
A、8.1厘米 B、9.1厘米 C、10.8厘米 D、7.4厘米
6．下面说法正确的是（）
A、射线比直线短 B、两点确定一条线段
C、两点确定一条射线 D、两点间的线叫做线段
7．下列语句正确的是（）
A、作出A、B两点的距离 B、作出A、B两点的长度
C、量出A、B两点的线段 D、量出A、B两点的距离
8．平面上有5个点，其中只有三点共线，经过这些点，可以作（）条直线。
A、6条 B、8条 C、10条 D、以上都不对
9．如图1所示，B，C是线段AD上任意两点，M是AB中点，N是CD中点，若MN＝a，BC＝b，则AD的长为（）
A、2a-b B、a-b C、a+b D、以上都不对
10．如图2所示，如果延长线段AB到C，使BC=
AB，D为AC中点，DC＝2.5，则AB的长是（）
A、5 B、3 C、13 D、4
答案与解析
答案：
1.C 2.A 3.D 4.D 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10.D
解析：
1．用直接法
当A、B、C三点不在同一直线上时，过A、B、C中的任意两点一共可以连成三条不同的直线AB、BC、AC；
当A、B、C三点在同一直线上，过A、B、C三点中的任意两点连成的直线都是同一条直线，所以只有一条。
故本题应选C
2．用直接法
当A、B、C三点不在同一直线上时，以A、B、C三点中的点为端点的线段有三条，
当A、B、C三点在同一直线上，过A、B、C三点中的任意两点为端点的线段有三条，即线段AB、BC、AC.
故本题应选A
3．用直接法
考虑线段的中点定义，必须满足两个条件，点在直线上，且这一点把线段分成相等的两条线段．故本题应选D
4．用排除法
选项A，B，C中画图顺序均正确，皆排除，故本题应选D
5．用直接法
如图3所示，AC:
CD:
DB＝2:
4，E、F分别是线段AC，DB的中点，则EF＝5.4厘米
设AC，CD，DB分别为2x,3x，4x，
那么EC＝x，DF＝2x，
依据题意有：
x+3x+2x＝5.4．
解方程得x＝0.9
∴AB＝AC+CD+DB＝2x+3x+4x＝9x＝9×
0.9＝8.1
6．用直接法
由于射线和直线都是无限长，对于两个无穷大量的比较不能简单地应用整体大于部分这一规律，所以射线与直线不能比较长短，选项A是错的；
由于两点能确定一条直线，所以两点能确定一条线段，选项B是对的；
由于A、B两端可以确定两条射线，射线AB与射线BA，所以选项C是错的；
因为两点间的线可以是直的，也可以是曲的，所以选项D错
故本题应选B
7．用排除法
因为连结A、B两点的线段是一个图形，而A、B两点间的线段的长度或A、B两点间的距离是一个量．因此，作某个图形和量某个量的说法才是正确的，所以排除A、B、C，本题应选D
8．用直接法
除共线的三点以外的其它两点分别与共线的三点共可确定6条直线；
另外由三点共线及其它两点确定的直线各有一条，所以，共有8条直线。
故本题应选B
9．用直接法
∵MN=a,BC=b,∴MB+CN=MN-BC=a-b.
又∵M,N为AB，CD的中点，∴AM=MB,CN=ND.
∵AM+ND=MB+CN=a-b.∴AD=AM+ND+MN=a-b+a=2a-b.
10.用直接法
∵AD=DC，∴AC=5， 又BC=
AB，∴
AB+AB=AC
即
AB=5，∴AB=4。
故本题应选D
中考解析
一、直线、射线、线段
直线
考点扫描:
1、了解直线的概念及其表示方法；
4、了解两条相交直线确定一个交点。
名师精讲
1．直线的概念
学习几何是从简单图形开始的，直线是最简单的图形之一，也是我们开始认识的第一个几何图形。
直线的概念是不定义的，从生活实际中抽象出来，可以描述为：
一根拉得很紧的线，向两个方向无限延伸。
“拉得很紧”，即直线是无弯折的直的线，“向两个方向无限延伸”，即直线的长度无法度量的。
因此，直线无“起点”和“终点”（即：
无“端点”），也无所谓“长短”。
2．直线的表示方法
在几何中，每种图形都规定了特定的表示的方法。
直线的表示方法有两种：
（1）在直线旁写一个小写字母，用一个小写字母表示直线。
如直线a，直线l等；
（2）用表示直线上任意两个点的大写字母来表示直线，如直线AB（或直线BA）,直线CD等。
注意：
①表示直线的两个字母的顺序可以互换。
即直线AB与直线BA表示同一条直线。
②表示直线时，在字母的前面一定要写上“直线”两字。
3．点与直线的位置关系
点与直线有且只有两种位置关系：
（1）点在直线上，也可以说成这条直线经过这点；
（2）点在直线外，也可以说成这条直线不经过这点。
对图形之间的位置关系的表述也是基本技能之一。
不仅要理解常用几何语句的意义，还要会根据几何语句画出相应图形，而且要学会用这些几何语句描述图形间的特定位置关系。
4．直线的性质——直线公理
直线公理：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，其中，“有”表示经过两点的直线肯定存在，指出了直线的存在性；
“只有”表示经过两点的直线只有一条，不会有两条，三条等，指出了直线的唯一性。
二者缺一不可。
上述两层含义合起来可以简单说成“有且只有”或者说“确定”，因此直线公理可以简单说成“两点确定一条直线”，或“经过两点有且只有一条直线”。
5．相交直线
如果两条直线有一个公共点，则称它们相交，这个公共点叫做它们的交点。
两条不同的直线相交，不能有两个或更多个公共点，否则，根据直线公理可知，这两条直线一定重合，即它们是同一条直线。
中考典例
（江西省）同一平面上有四个点，过每两点画一条直线，则直线的条数是（ ）
A、1条 B、4条 C、6条 D、1条或4条或6条
考点：
点与直线的位置关系、直线公理
评析：
根据直线公理“经过两点有且只有一条直线”可知，当四个点在同一直线上可画一条直线；
如果三个点在同一直线上，另一点不在该直线上，可画四条直线；
如果四点中，任意三点都不共线，则可画六条直线，所以应选D。
解此类题时一定要全面考虑，分类讨论，不要只考虑任意三点都不共线的情况，这也是易犯错误。
射线、线段
考点扫描
①了解射线、线段的概念及直线、射线、线段之间的关系；
②掌握射线、线段的表示方法及画法
1．射线和线段的概念
（1）直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点。
注意它有三个特征：
①直；
②有一个端点；
③可向一方无限延伸。
（2）直线上两点间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。
它有三个特征：
②有两个端点；
③不具有延展性。
2．射线、线段的表示方法
射线的表示方法：
（1）用一个小写字母表示，并在字母前写上“射线”两字；
（2）用表示端点的字母和表示射线上其他任意一点的字母表示，端点字母一定要写在前面。
同一条射线有不同的表示方法；
端点相同的射线不一定是同一条射线；
两条射线为同一条射线必须具备的两个条件：
端点相同、延伸的方向相同。
线段的表示方法：
（1）用表示端点的两个大写字母表示；
（2）用一个小写字母表示，并在前面写上“线段”两字。
3．直线、射线、线段的联系和区别
射线
线段
图形
端点个数
0
1
2
表示方法
直线AB或直线m
射线AB或射线l
线段AB或线段a
延展性
向两方向无限延伸
向一方向无限延伸
不能延伸
长度
无长度
有长度
作图语言
过A、B两点作直线AB
以A为端点作射线AB
连接A、B两点
从直线、射线与线段的概念、表示、读法、性质等方面进行对比，分析及研究它们之间的联系与区别，有助于深化理解、准确掌握这部分知识。
（四川省）点A、B、C、D在同一直线上，那么这条直线上共有线段（ ）
A、3条 B、4条 C、5条 D、6条
线段
如图所示，直线l上有四点A、B、C、D，根据线段定义可知共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD六条，应选D。
解这类问题可按规律：
有两个点为1条，三个点有1+2=3条、四点有1+2+3=6条，n个点为1+2+…+（n–1）=
条。
线段的比较和画法
1．理解线段的和、差及线段的中点等概念，会比较线段的大小；
2．理解两点间的距离的概念，会度量两点间的距离。
1．线段的比较
线段大小就是它们的长度的大小。
比较两条线段的大小有两种方法：
（1）叠合比较法（这是形的比较）：
把要比较的两条线段中的一个端点重合，两条线段叠合在一起，由另一个端点的位置关系，即可得出两条线段的大小关系。
（2）度量比较法（这是数的比较）：
用刻度尺度量两条线段的长度，再按照长度的大小得到两条线段的大小。
“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个带有单位的正数，二者是有区别的，不要混淆。
线段的大小关系与其长度的大小关系是一致的。
2．线段的画法
（1）画一条线段等于已知线段。
（2）画线段的和、差、倍、几分之几。
画图有两种方法：
一是用刻度尺量线段长度后再画；
二是用圆规截取后配合直尺来画。
这是本节的重点，尤其是线段的中点，用得较多，要学会规范地使用表述几何图形画法的语句。
3．线段的中点及等分点的概念
如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点。
它的表达方法有三种：
若点C是线段AB的中点，则：
（1）AC=BC；
（2）AB=2AC=2BC；
（3）AC=BC=
AB，这个概念也是本节的重点，熟悉它的表达形式对以后学习几何的推理证明有帮助。
4．线段公理
“两点之间，线段最短。
”这个公理是以后进行推理证明的根据，也是本节的重点。
其意思是说，在连结两点的所有线中，以连结两点的线段的长度最小。
5．两点的距离
连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
这里，一要注意两个词语的意义：
“连接”和“联接”，线段的公理是说，所有“联接”两点的线中，线段最短，联接的线可以是曲线，折线，线段等，而“连接”的线只是以两个点为端点的线段；
二是要注意距离是线段的长度，是个数量，不是线段本身，因此，不能说“A、B两点间的距离是线段AB”，而应该说“A、B两点间的距离是线段AB的长度”，就是说，它是数量关系，而不是图形之间的关系。
考点例析
（西宁市）如图，点B、C在线段AD上，M是AB中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，则AD长是 。
线段的中点
因为M、N分别是AB、CD的中点，所以AM=
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