几何图形Word文档下载推荐.docx
《几何图形Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何图形Word文档下载推荐.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的
面积。
（单位：
厘米）
2解：
将图形分割成两个全等的梯形。
7S组=（7-2+7）×
2÷
2×
2=24（平方厘米）
下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，
求阴影部分面积。
解：
将图形分割成3个三角形。
S=5×
5÷
2+5×
8÷
2+（8-5）×
2
=12.5+20+7.5=38（平方厘米）
左图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
解：
将阴影部分分割成两个三角形。
S阴=8×
（8+6）÷
2+8×
6÷
=56+24
=80（平方厘米）
二、添辅助线
已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
C解：
从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分
面积和空白部分面积相等。
PS阴=4×
4÷
2=8（平方厘米）
DB
A
将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？
因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40
平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：
40÷
8=5（厘米）
例：
平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是
A这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、
BB、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
C解：
如图连接平行四边形各条边上的中点，可以
看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，
阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷
8×
3=18（平方厘米）
三、倍比法
AB已知：
OC=2AO，SABO=2㎡，求梯形ABCD
O的面积。
因为OC=2AO，所以SBOC=2×
2=4（㎡）
DCSDOC=4×
2=8（㎡）
SABCD=2+4×
2+8=18（㎡）
7.5已知：
S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
因为7.5÷
2.5=3（倍）
所以S空=3S阴。
S=8.75×
（3＋1）=35（㎡）
2.5
A下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，
DE那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少
倍？
BC解：
设三角形ABE面积为1个单位。
则SABE=1×
3=3SABC=3×
5=1515÷
3=5
所以三角形ABC的面积是三角形ADE的5倍。
四、割补平移
S阴=20㎡，EF为中位线
EF求梯形ABCD的面积。
DC解：
沿着中位线分割平移，将原图转化
成一个平行四边形。
从图中看出，阴影
部分面积是平行四边形面积一半的一半。
SABCD=20×
2=80（㎡）
10求左图面积（单位：
5解1：
S组=S平行四边形=10×
（5+5）
5=100（平方厘米）
10
10解2：
S组=S平行四边形=S长方形
5=5×
（10+10）
10
把一个长方形的长和宽分别增加2
a2厘米，面积增加24平方厘米。
b求原长方形的周长。
22解：
C=（24÷
2-2）×
2=20（厘米）
五、等量代换
B已知：
AB平行于EC，求阴影部分面积。
AOC解：
因为AB//AC所以S△AOE=S△BOC
8则S阴=0.5S=10×
2=40（㎡）
E10D
m）
下图两个正方形边长分别是6分米、4分米。
因为S1+S2=S3+S2=6×
41所以S1=S3
32则S阴=6×
2=18（平方分米）
已知三角形ABC的面积等于三角形AED的面积（形状大小都相同），它们重叠在一起，比较三角形BDF和三角形CEF的面积大小。
（C）
AA三角形DBF大B三角形CEF大
DCC两个三角形一样大D无法比较
BF（因为S等量减S等量，等差不变）
E
六、等腰直角三角形
已知长方形周长为22厘米，长7厘米，求
阴影部分面积。
45°
b=22÷
2-7=4（厘米）
S阴=〔7+（7-4）〕×
2=20（平方厘米）
或S阴=7×
4-4×
已知下列两个等腰直角三角形，直角边分别
是10厘米和6厘米。
10-6=4（厘米）6-4=2（厘米）
2S阴=（6+2）×
2=16（厘米）
下图长方形长9厘米，宽6厘米，求阴影部分
AB面积。
三角形BCE是等腰三角形
FFD=ED=9-6=3（厘米）
EDCS阴=（9+3）×
2=36（平方厘米）
或S阴=9×
9÷
2+3×
3÷
七、扩倍、缩倍法
如图：
正方形面积是32平方厘米，直角三角形
中的短直角边是长直角边的四分之一，三角形
a面积是多少平方厘米？
b解：
将正方形面积扩大2倍为64平方厘米，
64=8×
8则a=8（厘米），b=8÷
4=2（厘米）
那么，S=8×
2=8（平方厘米）
还原缩倍，所求三角形面积=8÷
2=4（平方厘米）
求左下图的面积（单位：
米）。
30解：
将原图扩大两倍成长方形，求出长方
30形的面积后再缩小两倍，就是原图形面积。
40S=（40+30）×
30÷
2=1050（平方米）
左图中每个小方格都是面积为3平方厘米的
正方形。
先将3平方厘米缩小3倍，成1平方厘米。
面积是1平方厘米的正方形边长是1厘米。
将图形分割成两个三角形，
S=3×
1÷
2=4.5（平方厘米）
再将4.5扩大3倍，S阴=4.5×
3=13.5（平方厘米）
八、代数法
图中三角形甲的面积比乙的面积少8平方厘米,AB=8cm,CE=6cm。
求三角形甲和三角形乙的面积各是多少？
A甲D解：
设AD长为Xcm。
再设DF长为ycm。
8乙F8X+8=8（6+X）÷
24y÷
2+8=6（8-y）÷
2
BC6EX=4y=3.2
S甲=4×
3.2÷
2=6.4（c㎡）
S乙=6.4+8=14.4（c㎡）
B左图所示，AF=12，ED=10，BE=8，CF=6（单位：
C求四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
AEFD解：
AE-FD=2（厘米）
设FD长X厘米，则AE长（X+2）厘米。
SABCD=8（X+2）÷
2+6X÷
2+（8+6）（10-X）÷
=4X+8+3X+70-7X=78（平方厘米）
左图是一个等腰三角形，它的腰长是20厘米，
面积是144平方厘米。
在底边上任取一点向两腰
2020作垂线，得a和b，求a+b的和。
ab解：
过顶点连接a、b的交点。
20b÷
2+20a÷
2=144
10a+10b=144
a+b=14.4
九、看外高
下图两个正方形的边长分别是6厘米和3厘米，
求阴影部分的面积。
从左上角向右下角添条辅助线，将S阴看
成两个钝角三角形。
（钝角三角形有两条外高）
S阴=S△+S△
=3×
（6+3）÷
=22.5（平方厘米）
下图长方形长10厘米，宽7厘米，求阴影部分面积。
阴影部分是一个平行四边形。
与底边2厘米
2对应的高是10厘米。
S阴=10×
ADF正方形ABCD的边长是18厘米，CE=2DE
E
（1）求三角形CEF的面积。
BC
（2）求DF的长度。
BCF是一个钝角三角形，EFC也是一个钝角三角形
EC=18÷
（2+1）×
2=12（厘米）
（1）SCEF=18×
18÷
2-12×
2=54（平方厘米）
（2）DF=54×
12=9（厘米）
一十、概念法
一个直角三角形，三条边分别为4厘米、6厘米和7厘米。
求它的面积。
因为三角形两条直角边之和大于第三边，两边之差小于第三条边，所以这个三角形的两条直角边分别为4厘米和6厘米。
S=4×
2=12（平方厘米）
用4个直角边分别是3厘米、4厘米和5厘米的直角三角形拼成一个菱形。
这个菱形的周长和面积各是多少？
因为菱形的两条对角线互相垂直，所以斜边5厘米只能作为
菱形的边长。
C=5×
4=20（厘米）
4=24（平方厘米）
一个平行四边形两条边分别是5厘米和3厘米，其中一条高为
4.2，求这个平行四边形的面积。
因为在平行四边形中，高是一组对边间的距离，必定小于另一组对边的长度，所以高4.2厘米所对应的底只能是3厘米的边。
4.2=12.6（平方厘米）
一、分割法。
就是把一个组合图形根据它的特征和已知条件分割成几个简单的规则图形，分别算出各个图形的面积，最后求出它们的面积的和。
如图1就可以分割成一个梯形和一个平行四边形。
二、割补法。
就是把图形的某一部分割下来补到另一部分上，使它变成一个我们已学过的几何图形，然后再进行计算。
如图2。
三、挖空法。
就是把多边形看成是一个完整的规则图形，计算它的面积以后，再减去空缺部分的面积。
如图3，先把它看成一个长方形，求出它的面积后，再减去空缺的梯形面积。
四、折叠法。
就是把组合图形折成几个完全相同的图形。
先求出一个图形的面积，再求几个图形的面积之和。
如图4，用折叠法把它折成两个完全相同的梯形，只要先求出一个梯形的面积，然后再乘以2就行了。
五、旋转法。
就是把原图形进行一次或多次旋转，使它变成我们所熟悉的新图形，然后再进行计算。
利用旋转法把图5变成图6，图6中等腰直角三角形的面积，就是图5中所要求的阴影部分的面积。
计算一个组合图形的面积，有时可以有多种方法，我们要根据图形的特征、已知条件，以及整体与部分的关系，选择最佳解法。
二、圆与组合图形
以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。
现在我们继续讨论涉及圆的面积计算。
1．圆的周长与面积
计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算。
主要公式有：
（1）圆的周长=π×
直径=2π×
半径，即
C=πd=2πr；
（2）中心角为n°
的弧的长度=n×
π×
（半径）÷
180，即
（3）圆的面积=π×
（半径）2，即S=πr2；
（4）中心角为n°
的扇形面积=n×
（半径）2÷
360，即
例7下图是三个半圆（单位：
cm），其阴影部分的周长是多少？
解：
由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半圆周所围成，所以其周长为
说明：
实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的周长也正好等于大半圆的半圆周。
推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即
d1+d2+d3+…+dn=D，
那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即
πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn）=πD。
例8某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符号：
句号、逗号、问号。
已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。
若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多？
哪一个标点符号的油漆用得少？
分析：
在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。
现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解该题的关键点和突破口。
因为S句号=S大圆-S小圆=πR2-πr2
=π（2r）2-πr2=3πr2
留意我们的日常生活，不同于课本的“非常规”问题随处可见，如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观察、积极思考，考察转化的可能性和转化的途径。
像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形的基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。
2．圆与组合图形
在日常生活中，除了经常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。
组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。
例9下图中，ABCD是边长为a的正方形，分别以AB，BC，CD，DA为直径画半圆。
求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。
图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这四个半圆的直径围成一个正方形。
显然，这四个半圆的面积之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。
因此，我们就得到以下的算式：
此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。
如题图，设x和y分别表示相应部分的面积，由图看出
例10如左下图所示，平行四边形的长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm，求图中阴影部分的面积。
本题的图形比较复杂，我们可以先计算阴影部分的一半（见右上图）。
我们的目标是把图形分解成若干基本图形的组合或叠合。
本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。
仔细观察后得出结论：
右上图中的阴影部分等于
求一个不规则图形的面积，要设法找出它与规则图形面积的关系，化不规则为规则。
例11求下图中阴影部分的面积（单位：
cm）。
分析与解：
本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。
我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如下图所示），这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°
，到达右上角，得到同样的一个梯形。
当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分适当拼接成一个易于直接计算的图形。
也就是说，可以化零为整。
上述解法运用翻折（或旋转）的方法达到了化零为整的目的。
例12已知下图中正方形的面积是12cm2，求图中里外两个圆的面积。
计算圆面积，要知道半径。
先考虑内圆面积。
内圆的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。
根据已知正方形的面积是12cm2，可以推出内圆直径的平方为12cm2，再求内圆面积就不难了。
外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线分成的两个等腰直角三角形的面积之和。
再由正方形面积=2R×
R÷
2=2R2，2R2=12，便可求出外圆面积。
设内圆半径为r，由正方形面积为12cm2，正方形边长为2r，得（2r）2=12，r2=3。
内圆面积为πr2=3.14×
3=9.42（cm2）。
得R2=6，外圆面积为πR2=3.14×
6=18.84（cm2）。
升级会员 