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为此，教师在教学实践中应当注重加强以下三个方面的工作：
1.认真研究学生的实际能力
学生的实际能力就是指学生在学习新知识之前所具备的知识能力，这一点常常被忽视。
众所周知，任何人
在学习新知识时，旧知识总是要参与其中的，用已有的知识学习新知，既提高了课堂教学的科技含量，也消除
了课堂上的无效空间，减少了学生的学习障碍。
比如，在讲解新的数学概念时，教师应尽可能地从实际中引出
问题，使学生了解这些数学知识来源于生活，同时又应用于生活实际，从而认识到数学知识在现实生活中的作
用；
同时，教师也应给学生提供更多的机会，让他们自己从日常生活中的具体事例中提炼出数学问题，用所学
的数学知识去解决现实生活中的许多实际问题。
数学教学一方面要使学生了解人类关于数学方面的文化遗产，另一方面要使学生建立起正确对待周围事物
的态度和方法，学会使用数学的观点和方法来认识周围的事物，培养学生从现实生活事例中看出数量关系的能
力，这两者都是不可偏废的，都是学生是否具备数学素养的重要标志。
所以，在数学教学中，教师要重视培养
学生的数学意识，特别是要有意识地培养学生从日常生活的具体事物中发现数量关系的能力；
要认真研究学生
学习新知识时已具有的能力，认真研究学生学习新知识的方法，以学法定教法。
这样教学，起点低、层次多、
要求高，适应了学生的实际认知水平。
只有这样，课堂教学才能充分发挥学生的智力潜能，创造出适合每一个
学生的教育。
2.努力探寻学生的潜在能力
充分发挥学生的潜在能力是素质教育研究的重点。
我们知道，学生是正在发展中的人，学习新知时所具有
的能力就是学生的潜在能力。
因此，在所有智力正常的学生中，没有潜能的学生是不存在的。
课堂教学的关键
就是要拓展学生的心理空间，激发学生学习的内驱力，发挥学生的潜在能力，促使学生积极主动思维，充分发
挥其创造性和智力潜能。
数学学习过程是一个不断地探索和思考的过程。
在数学教学中，是单纯地给学生现成的知识，还是为学生
创设一定的问题情景，使学生有更多的机会去探索和思考，以便发挥其潜在能力，这是数学教学改革的核心问
题，是要“应试教育”还是要素质教育的大问题。
一般地说，数学教科书中的例题是学习的范例，学生要通过
例题的学习，了解例题所代表的一类知识的规律和理解方法。
但这并不是说，只要学生学会了书本上的例题就
可以自然而然地解决与之相似的问题。
要能举一反三，就还需要学生有一个深入思考的过程，甚至要经过若干
次错误与不完善的思考，这样才能达到一定的熟练程度。
这更需要学生把书本上的知识内化为自己的知识。
要
达到这样的目的，教师在教学中要结合具体的教学内容，为学生提供独立思考的机会，给学生留有充分的思考
余地，让学生根据自己对问题的理解和思维发展水平，提出自己对问题的看法，不同学生的不同方法反映出学
生对一个问题的认识水平。
学生学习时说出自己的方法，表面上看课堂教学缺乏统一性，但教师从学生的不同
回答中可以了解学生是怎样思考的，哪些学生处于较高的理解层面，哪些学生理解得还不够深入或不够准确，
并从中调整了一步教学的内容和方法，以恰当地解决学生学习中存在的问题。
在这样的教学过程中，学生能够
养成一种善于思考、勇于提出自己想法的习惯，这对学生学习新内容、研究新问题是非常重要的。
相反地，在
教学中，教师如果不给学生提供独立思考的机会，只是让学生跟着教师的思路走，一步一步引导学生说出正确
的解题方法，虽然这样可以比较顺利地完成教学任务，但长此以往，学生就会养成惰性。
所以，教师在课堂教
学中要特别注意为学生创造更多的思考机会，充分激发学生的内在动机，努力发展学生的潜在能力，使学生在
认识所学的知识、理解所学知识的同时，智力水平也不断提高。
3.注重培养学生的自学能力
自学能力是所有能力中最重要的一种能力。
对于小学生来讲，最重要的是学会学习、学会思考、学会发现
、学会创造，掌握一套适应自己的学习方法，做到在任何时候学习任何一种知识时都能“处处无师胜有师”。
为此，教师有必要更新观念，研究数学的智慧，分析数学的方法，努力使学生像数学家那样去学习、去思考、
去发现、去应用、去创造数学知识。
在教学中，教师在学生掌握知识的基础上，培养、发展学生的思维能力。
比如，教师可要求学生课前预习
——学生把自己不懂的地方记录下来，上课时带着这些问题听讲，而对于在预习中已弄懂的内容可通过听讲来
比较一下自己的理解与教师讲解之间的差距、看问题的角度是否相同，如有不同，哪种好些；
课后复习——学
生可先合上书本用自己的思路把课堂内容在脑子里“过”一遍，然后自己归纳出几个“条条”来。
同时，教师
还应加强对书本例题的剖析和推敲，因为课堂内老师讲的例题尽管数量不多，但都有一定的代表性。
教师要研
究每个例题所反映出的原理，分析解剖每个例题的关键所在，思考这类例题还可以从什么角度来提问，把已知
条件和求解目标稍作变化又有什么结果，解题中每一步运算的依据又是什么，用到了哪些已有的知识，这类题
还可以用什么方法求解，等等。
数学教学的关键不在改变数学知识本身，而是要改变教学思想、教学方法，要有先进的思想意识，要不断
地将教学内容结构化，不断地将结构化的知识纳入到学生的认知结构中。
学生只有掌握了数学的基本原理、基
本概念、基本结构，才会做到以一贯十，触类旁通。
当然，如果教师在具体的教学实践中能给每一个学生提供足够的时间和充分的帮助，那么每一个学生都能
学会并达到正常的学习水平。
教师在教学中要努力创造适合每个儿童的数学教育，其目的就是要努力创造条件
，弥补缺陷，转变学生的状况，让每一个学生都掌握数学，让不同的人学习不同的数学。
因此，在小学数学教
学中，教师应注重因材施教，增加每个学生参与学习的机会，发展学生的潜能。
只有这样，才能真正使每个学
生得到充分而全面的发展。
小学数学学习的思想方法
一、数形结合的思想方法
数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。
“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。
我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。
二、集合的思想方法
把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。
集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。
在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。
如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。
让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。
利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。
三、对应的思想方法
对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。
小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。
如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。
四、函数的思想方法
恩格斯说：
“数学中的转折点是笛卡儿的变数。
有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。
函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。
学生对函数概念的理解有一个过程。
在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。
函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。
如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。
五、极限的思想方法
极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。
在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；
在循环小数这一部分内容中，1÷
3=0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；
在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
六、化归的思想方法
化归是解决数学问题常用的思想方法。
化归，是指将有待解决或未解决的的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。
客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。
数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。
任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。
化归是基本而典型的数学思想。
我们实施教学时，也是经常用到它，如化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。
如：
小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；
异分母分数加减法化归为同分母分数加减法；
异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等；
在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。
七、归纳的思想方法
在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。
数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。
在解决数学问题时运用归纳思想，既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。
因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。
在教学“三角形内角和”时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。
这就运用归纳的思想方法。
八、符号化的思想方法
数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。
符号就是数学存在的具体化身。
英国著名数学家罗素说过：
“什么是数学？
数学就是符号加逻辑。
”数学离不开符号，数学处处要用到符号。
怀特海曾说：
“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。
”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。
如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。
现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。
人教版教材从一年级就开始用“□”或“（）”代替变量x，让学生在其中填数。
例如：
1+2=□，6+（）=8，7=□+□+□+□+□+□+□；
再如：
学校有7个球，又买来4个。
现在有多少个？
要学生填出□○□=□（个）。
符号化思想在小学数学内容中随处可见，教师要有意识地进行渗透。
数学符号是抽象的结晶与基础，如果不了解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而生畏。
因此，教师在教学中要注意学生的可接受性。
九、统计的思想方法
在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。
例如，求平均数是一种理想化的统计方法。
我们要比较两个班的学习情况，以班级学生的平均数作为该班成绩的标志是有一定说服力的，这是一种最常用、最简单方便的统计方法
小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外，还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。
从教学效果看，在教学中渗透和运用这些教学思想方法，能增加学习的趣味性，激发学生的学习兴趣和学习的主动性；
能启迪思维，发展学生的数学智能；
有利于学生形成牢固、完善的认识结构。
总之，在教学中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，无疑有助于学生的终身学习和发展。
“约数和倍数”教学实录与反思
周丽凤
教学内容：
苏教版九年义务教育六年制小学数学第十册第39-40页“约数和倍数”。
教学目标：
1．知识目标：
使学生理解整除的意义，理清“除尽”和“整除”的关系；
理解和掌握约数和倍数的意义，了解约数和倍数相互依存的关系。
2．能力目标：
能判断一个数能否被另一个数整除，会根据约数和倍数的意义描述两个数之间的关系，培养学生根据信息进行分类、总结、概括的能力，培养学生会进行初步的观察、比较、分析、判断、概括的能力。
3．情感目标：
渗透初步的辩证唯物主义思想教育；
并通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，从而树立学好数学的自信心。
教学重点：
理解和掌握整除的意义、约数和倍数的意义。
教学难点：
引导学生探索并理解约数和倍数之间的相互依存的关系。
教学过程：
一、创设情境
1.交流生活中的数学信息
师：
（拿着数学课本）问这是一本？
生：
数学课本
“数学”就是关于“数”的学问，我们的身边有“数”吗？
有
你能举几个例子吗？
生1：
我有7本书。
生2：
我有3个好朋友。
生3：
我们班里有26名女同学。
……
2．根据信息组成应用题。
今天老师也带来了一些数学信息，让我们一起来看一下吧！
（课件出示）
A组
B组
（1）35张圣诞贺卡
（8）共用去6.6元
（2）每本练习本2.2元
（9）平均分给11个同学
（3）有5个同学给灾区捐款
（10）共捐了15.5元
（4）小红每天读2页课外书
（11）已经读了24页
（5）买了4枝同样的钢笔
（12）共用布15米
（6）小东参加三门考试
（13）共考了273分
（7）做7套同样的校服
（14）小明带32元钱买钢笔
请根据你们的生活经验，选择两条相关的信息组成一道简单的应用题，并列式计算。
（学生伴随轻音乐读题思考）同桌的同学可以互相说一说。
谁来说说看，你先择的是哪两条，求的是什么？
怎么列式？
我选
（2）和（8）求的是可买多少本？
列式为6.6÷
2.2=3
我选的是
（1）和（9）求的是平均每人得到几张贺卡，列式为35÷
11=3……2
共得到7道算式，分别是：
6.6÷
2.2=3
35÷
11=3……2
15.5÷
5=3.1
24÷
2=12
32÷
4=8
273÷
3=91
15÷
7=2……1
[学生的学习材料来源于学生自己，并从学生的已有知识经验出发，找准知识的生长点。
这样的学习，可以使学生一开始就处于积极状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于继续学习下去，而无须教师强迫学生学习。
]
二、自主探究
请同学们观察以上这些算式，并根据算式的特点分类，分好后小组交流。
（学生自己分好类后小组交流）
哪位同学来说说你是怎么分类的？
为了方便，老师给它们加上序号。
（分别给7道算式加上序号）
①6.6÷
②35÷
③15.5÷
④24÷
⑤32÷
⑥273÷
⑦15÷
我将②和⑦分为一类，①为一类，③④⑤⑥分为一类，第一类是有余数的，第二类的被除数和除数都是小数，第三类的除数都是整数。
我也将②和⑦分为一类，①③④⑤⑥分为一类。
第一类是有余数的，第二类是没有余数的。
生3……
从同学们的分类中可以看出：
分类的标准不同所得的答案也不同。
那我们先选择其中的一种分类来研究。
（先择②和⑦分为一类，①③④⑤⑥分为一类）这位同学他是按是不是除尽来分类的，那什么叫除尽？
什么又叫除不尽呢？
商是有限小数的就是除尽，商是无限小数的就是除不尽。
[学生通过小组讨论、观察、分析、比较和分类，在头脑中建立了小数除法、有余数的整数除法和没有余数的整数除法三种类型的除法的表象。
学生的分类，恰当地提供了学生学习新知的素材资源，使学生乐学、会学。
三、归纳特征
我们再来仔细观察这些除尽的算式（①6.6÷
2.2=3③15.5÷
5=3.1④24÷
4=8⑥273÷
3=91），看看这些算式还能不能再分分类，你准备怎么分？
2.2=3和③15.5÷
5=3.1分为一类，因为这里面有小数，④24÷
2=12、⑤32÷
4=8和⑥273÷
3=91这三个算式分为一类，因为这三个算式中的被除数、除数和商都是整数，而且没有余数。
我们可以将（学生分类后）指着整除的一组算式：
象这样被除数、除数和商都是整除而且没有余数我们就称它为“整除”（板书“整除”）（课件出示）
那我们仔细地观察整除和除尽有什么关系呢？
除尽的范围比整除的大。
如果我们用一个大圈来表示除尽，那整除就是其中的一个小圈。
（课件出示集合图）
你还能再举出一些整除的算式吗?
4÷
2=2。
30÷
5=6
280÷
70=4。
整除的算式实在是太多了（在整除的小圈后加……）那我们能不能用一个含有字母的式子来概括整除算式呢？
用a÷
b=c（板书）
是不是要加个什么条件呢？
b≠0（板书），因为b=0，除法就无意义了。
如果a、b、c都是整数（板书），且b≠0，那我们就说a能被b整除，或b能整除a。
［教师先从圈中拿去除不尽的除法算式，再将这些能除尽的算式进行分类，揭示出整除的算式。
这样以集合圈的形式，渗透整除和除尽的关系。
在学生找出了整除算式的特征后，教师请学生再举一些这样的算式，让学生再次感悟和应用整除算式的特征，并体会象这样的算式有无数个。
并通过用一个含有字母的算式来抽象概括，既让学生感悟到用字母表示数的简便，又便于学生理解和掌握数的整除的概念。
］
如15÷
3=5，我们就说15能被3整除，或3能整除15。
谁来说说这几道的（指着黑板上的几道整除算式）？
2=12我们就说24能被2整除，或2能整除24。
32÷
4=8我们就说32能被4整除，或4能整除32。
273÷
3=91我们就说273能被3整除，或3能整除273。
我们一起看看书P49的练一练1。
生答……
［教师针对内容的特殊性，采用传统的教学方式，直接说明、学生模仿。
不容忽视的是，有意义的接受性学习、记忆和模仿还是必要的。
在教师揭示了数的整除的概念后，通过让学生跟着老师一起说、请学生说和学生自己任选两个算式说给同桌听，到一起其说等多种方式让学生通过读来区分两种说法的区别，自我感悟。
四、感悟关系
我们已经知道整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而且没有余数，我们就说数
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