北大版线性代数部分课后答案详解Word下载.docx
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32
…20072
2OO82
D=
33
43
…20083
20083
20072（xn
2OO82007
...2OO82007
最后一行元素，除去2007*”是奇数以外，其余都是偶数，故含2008^7的因式也都是偶数。
若最后一行取2OO72007,则倒数第二行只有取2OO72006才有可能最后乘积为奇数,以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。
故原命题得证。
习题1.3
1求下列行列式的值:
3
a
b
c
d
a+b
a+b+c
a+b+c+d
⑴
（3.）A=
2a+b
3d+2b+c
4a+3b+2c+d
3a+b
6a+3b+c
10a+6b+3c+d
解:
0111
、
3321
1011
y^3+几4>
1-100
C4+C3，
0-100
1101
—An4-/I3
01-10
C3+C2
00-10
1110
一人+Ao
001—1
C2+Q
000-1
=-3；
abc
cl
aba+b+c
a+b+c+cl
ab6a+3b+c10"
+6b+3c+〃
a0
0d
aa
a+ba+b+c+d
a2a
3a+2b4a+3b+2c+d
a3a
6a+3b10a+6b+3c+d
a2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+d
a3a+b6a+3b+c10“+6b+3c+d
a0cd
a000
aaca+b+c+d
aau+ba+b+c
+
—
a2ac4a+3b+2c+d
a2a3a+2b4a+3b+2c
a3ac\Oa+6b+3c+d
a3a6a+3b\Oa+6b+3c
a00d
“000
000
aaa+bd
aaaa+b+c
aaba+b+c
a2a3a+2bd
a2a3a4a+3b+2c
十
a2a2b4a+3b+2c
a3a6a+3bd
a3a6a10“+6Z?
+3c
a3a3b10"
+6b+3c
6/000
aaaa+b
aaac
aaaa
aaab
二
a2a3a4a+3b
a2a3a2c
a2a3a4a
a2a3a3b
a3a6a\0a+6b
a3a6a3c
a3a6a10a
a3a6a6b
Cl
2a
3a
4“
6a
10"
-a
ux—ax—ax\0a=a4
65
2.求下列n阶行列式的值:
2・••
n+\
n+2•…
2n
2n+\
In+2•…
3n
（〃-l”z+l
•♦
（77-1）/7+2・・・
■n"
2・••
2…
3…
（3）
…n
-1
•…n
x+1
・・・n
-2
♦•
（4）
一3
…0
…x+1
（1）Dn=
综上:
n+1
2n+l
n+2
2n+2
3/2
（”一1）〃+1
（7?
-1）/7+2
若22;
则卩严
••・
D严
2n+1
2/7+2
3〃
（n-l）n+l
（n-l）n+2
n2
2...
n・••
n•…
=0；
▼▼▼
♦••（7?
-1）/?
+1（77-l）77+2•…
•>
ir
若幵n3,则
Dn=\
—/L->
+/tq
—儿+*^2
…2
…3
其中,
i先后取n,nT,・・・2、
一4-1+4
…2
••・o
•••o
-11
i依次取n,n-1…2
3+2（舁_1）
2x2
10
01
00
0=2n+l;
・••n
♦
-3
i依次取n,n・l,…21
22x3…In
3・••2n
x+\
j依次取2、3、…n
x-2
X-72+1
=（x-l）（x-2）-••（%-/?
+1）;
习题1.4
1.计算下列行列式:
X
y
1+x：
W2
…
乙
f
\+x；
…◎”
g
h
k
u
I
…1+兀
V
S/2
7
9
5
（）
4
8
6
x
=xyzuv;
♦♦•
•♦•
0a
z
;
ix；
r
1+x；
“2
…W”
...0
1+X；
力宀••
1+JV；
=
爾
1+xj
・・•0
1+X；
••
…1+尤
…1
g・•
•丙"
•花兀
1+X：
…"
X宀・
••鬲
（-1厂
1+%2
…吃兀
+对
•
・・x2
兀一內
…1+E-1
尤2・
…I
X宀
…召舛-
…巧_2
•Vl
1+€
…^2^.-1
+x；
=
…花兀-2
Vi^i
宀
…1+V2
1〒ah-1
心-2兀2
…1+理2
+•・•+益；
+G+X,；
=・ul+
2•依次取1、2、…n—1》
=1）
=（-9
（*6）+{3+4）
56
（订（3+4）+（】+2）
74
32
68
53
43
■■
•…a
E+（—l）g…（7）亍—2=/-2（/_]）；
W：
2•试用拉普拉斯左理汁算:
nx/j
=0
■>
1230
0X]x2x3
0x[x；
x；
X4
_（_]）U+2”（l+2）
11
12
111
x2x3x4
111
+（j）（l+2）+（g1
X；
X；
xj
-七）[（勺72）（勺-勺）-2（^3-西）（兀4-xj]
2.利用范徳蒙行列式计算:
d”打-
（a_l）”...（―町”
（d-l）"
“...（a-n）n~]
•••••
CI2
7J-1f
a2b2
…卅
K-l
…a2b2
b：
a—1…a-n
an+l
"
一1;
勺+Q+1
1…1
（40,i=l,2,・・・/+1）
j依次取n、
（-0"
/（仇_1）“
2）
n+l>
r>
>
l
n（Wj
/>
y>
习题1.5
L用克莱姆法则解下列方程:
2x}+x2-5x3+x4=8
xx_3x2_6x4=9
2x2-x3+2x4=-5
X|+4x2一7^3+6x4=0
（_]）（屮X（2+4）
121
-5
总复习题一
1•计算行列式D=
201
102
-99
98
2•计算行列式D=3•计算行列式D=4•计算行列式D=5•计算行列式D=
246
427
327
1014
543
443
-342
721
621
1+X
l—x
1+y
l-y
x—l
X+1
x-1
x+\
13
3...
33
6•计算行列式A=
al+bi
5+2
…5+仇
勺+勺
^2+b2
…a2+hn
+也
5+b2
•••a+b
7•计算行列式
1+q
\+a2
8证明D=
1+6
…1+勺
2cosx
0•
1•
2cosx•
9.证明：
•0
sin（n+l）x
sinx
•2cosx
•1
轨卫）…孤⑴和2丿（?
）…a2n（0
••…•
轨⑴…碱）
11•一个n阶行列式9的元素满足，则称为反对称行列式，证明：
奇数阶反对称行列式为零。
12讣算由杨辉三角规律给出的n阶横列式
11111…
1233
136
D=.…
1.
i依次取1、2、4
C3+Cl>
=C3+q>
=246[（500+43）（600+21）-（400+43）（700+21）]
-427（1014x621+342x443）+327（1014x721+342x543）=246x17800+
1014[721（427-100）-427（721-100）]+342[543（427-100）-427（543-100）]=
4378800-29811600-3967200=-29400000
\+x111
x001
11-x11
j依次取1、2、3、
0-x01
111+y1
=_q+q
00y1
1111一y
yyyi一y
一1
=6（h-3）!
a2+hl
4+勺
q+
b?
…5+4
a2+bX
a2+b2
…勺+化
5+A
•••（i+b
…q
+4
4+2
6+4…^2+bn
若n=l,则A=«
|+b{:
若1=2侧A=
i+b2
a2+b2
=（。
2—4）（勺一优）：
q+勺
ai+b2
…a\+bn
勺-优
…6+化
3）若n>
3,5lijA=
①+勺
…5+“
bX~b2
b2~b3
…a2+bn
5+®
5+4
…ci+b
h\~b2
b2一$
…务+乞
5+也
・•・人=仲2-山）（*-仇）o
n=1
n=2
n>
7•汁算行列式
-A2+A3
_右+
-（"
-1）
-II
=（-l）
-（T
（-l）,+n+1（-1）
1+n+l
x2x
-72
一⑺一1）
（-1严）6x
8证明
一口
一（〃一1）
1+G]
1+冬
…1+色
=（-i）
（/i+3）（;
i+4）
3!
川=（—1）=35!
\/=1一]7
a\ar^anHO；
\+a3
i依次取n-1、m2、…、2、1》
一&
・+备1
1+a〕
，依次取n、n-1、…、2
A+A-i
/?
-i
5-
I+an
an
~an-l
qo,…幺
心+
一5
…0
...0
一a?
-«
a„
~an.l
an-l
i依次取2、
3、…、n
Un-\+
--1-1-1
1+a】+a2+・•・+6//r_|
山（一1广（1+石+砰+・・・+昭）（-1广
2cosx
1）：
当n=l时，D]=2cosx="
nJ”sinx
csin3x
=2cos"
x+cos2x=
2COST
1…
2cosx…
■•
9•证明:
_sin（n+l）xsinx
1...
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