概率论与数理统计公式-小抄必备Word文件下载.doc

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贝叶斯公式

（逆概率公式）

两个事件

相互独立

；

二、随机变量及其分布

1、分布函数

2、离散型随机变量及其分布

分布名称

分布律

0–1分布

二项分布

泊松分布

3、续型随机变量及其分布

密度函数

分布函数

均匀分布

分布名称

指数分布

正态分布

标准正态分布

4、随机变量函数Y=g（X）的分布

离散型：

连续型：

①分布函数法，②公式法

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布

分布律：

边缘分布律：

条件分布律：

2、连续型二维随机变量及其分布

①分布函数及性质

分布函数：

性质：

②边缘分布函数与边缘密度函数

密度函数：

③条件概率密度

3、随机变量的独立性

随机变量X、Y相互独立，

，连续型：

4、二维随机变量和函数的分布

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

①定义：

离散型，连续型

②性质：

，，

，当X、Y相互独立时：

2、方差

，，

当X、Y相互独立时：

3、协方差与相关系数

①协方差：

，当X、Y相互独立时：

②相关系数：

（X,Y不相关）

③协方差和相关系数的性质：

4、常见随机变量分布的数学期望和方差

分布

数学期望

方差

0-1分布

p

p（1-p）

np

np（1-p）

五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若对于任意有

2、大数定律：

①切比雪夫大数定律：

若相互独立，

且，则：

②伯努利大数定律：

设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则，有：

③辛钦大数定律：

若独立同分布，且，则

3、中心极限定理

①列维—林德伯格中心极限定理：

独立同分布的随机变量，均值为，方差为，当n充分大时有：

②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：

随机变量，则对任意x有：

③近似计算：

六、数理统计的基本概念

1、总体和样本的分布函数

设总体，则样本的联合分布函数

2、统计量

样本均值：

，样本方差：

样本标准差：

，样本阶原点距：

样本阶中心距：

3、三大抽样分布

（1）分布：

设随机变量且相互独立，则称统计量服从自由度为的分布，记为

①②设且相互独立，则

（2）分布：

设随机变量，且X与Y独立，则称统计量：

服从自由度为的分布，记为

①②

（3）分布：

设随机变量，且与独立，则称统计量服从第一自由度为m，第二自由度为n的分布，记为，性质：

设，则

七、参数估计

1.参数估计

用估计总体参数，称为的估计量，相应的为总体的估计值。

②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值

2.点估计中的矩估计法：

基本思想：

用样本矩来估计相应的总体矩

求法步骤：

设总体X的分布中包含有未知参数，它的前k阶原点

矩中包含了未知参数，

即；

又设为总体X的n个样本值，用样本矩代替，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数的矩估计量。

注意：

分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。

3.点估计中的极大似然估计

设取自的样本，设或，求法步骤：

①似然函数：

②取对数：

或

③解方程：

，解得：

4.估计量的评价标准

估计量的评价标准

无偏性

设为未知参数的估计量。

若E（）=，则称为的无偏估计量。

有效性

设和是未知参数的两个无偏估计量。

若，则称有效。

一致性

设是的一串估计量，如，有则称为的一致估计量（或相合估计量）。

5.单正态总体参数的置信区间

条件

估计

参数

枢轴量

置信水平为的置信区间

已知

未知

八、假设检验

1.假设检验的基本概念

基本思想

假设检验的统计思想是小概率原理。

小概率事件的概率就是显著性水平α，常取α=0.05，0.01或0.10。

基本步骤

①提出原假设H0；

②选择检验统计量；

③对于α查表找分位数λ，使，从而定出拒绝域W；

④由样本观测值计算统计量实测值；

并作出判断：

当实测值落入W时拒绝H0，否则认为接受H0。

两类错误

第一类错误

当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。

这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：

P{拒绝H0|H0为真}=；

第二类错误

当H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0。

这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：

P{接受H0|H1为真}=。

两类错误的关系

人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。

但是，当容量n一定时，变小，则变大；

相反地，变小，则变大。

取定要想使变小，则必须增加样本容量。

2.单正态总体均值和方差的假设检验

原假设

检验统计量

统计量

拒绝域

或

（少见）