初中二次函数知识点汇总Word格式.docx
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故:
①b0时,对称轴为y轴;
②bo(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;
a
3b0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
⑶c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时,yc,:
抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c0,抛物线经过原点;
②c0,与y轴交于正半轴;
③c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则卫0.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当a0时
开口向上
x0(y轴)
(0,0)
(0,k)
(h,0)
(h,k)
开口向下
/b4acb、(c,,)
2a4a
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.
⑵顶点式:
yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:
已知图像与x轴的交点坐标花、X2,通常选用交点式:
yax人xX2.
12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)
(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标Xj、x?
,是对应一元二次方程
ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
1有两个交点0抛物线与x轴相交;
2有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;
3没有交点0抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标
相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根.
(5)一次函数
由方程组
ykxnk0的图像1与二次函数yax2bxca0的图像G的交点,
ykx
n的解的数目来确定:
yax2bxc
1方程组有两组不同的解时I与G有两个交点;
2方程组只有一组解时I与G只有一个交点;
③方程组无解时I与G没有交点.
⑹抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线yax2bxc与x轴两交点为
A%,0,
BX2,0,由于X1、X2是方程ax2bxc0的两个根,故
bc
x1%
_,x1X?
一aa
13.二次函数与一元二次方程的关系:
(1)一元二次方程yax2bxc就是二次函数yax2bxc当函数y的值为0时的情况.
(2)二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、有一个交点、没有交点;
当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当
y0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc0的根.
(3)当二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程yax2bxc有两个不相等的实数根;
当二次函数yax2bxc的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根;
当二次函数yax2bxc的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程ax2bxc0没有实数根
14.二次函数的应用:
(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;
(2)二次函数的应用包括以下方面:
分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
15.解决实际问题时的基本思路:
(1)理解问题;
(2)分析问题中的变量和常量;
(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;
(4)利用二次函数的有关性质进行求解;
(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.
二次函数知识点
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做
二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可
以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
yax2的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
y轴
x0时,y随x的增大而增大;
x0时,y随x的增大而减小;
x0时,y有最小
值0.
向下
x0时,y随x的增大而减小;
x0时,y随x的增大而增大;
x0时,y有最大
质:
上加下减。
a的绝对值越大,
抛物线的开口越
小。
2.
yax
的性
的符号
开口方
向
顶点坐
对称
轴
x0时,
y随x的增大而减小;
质:
左加右减。
对称x
轴轴
0时,y随x的增大而减小;
刃随x的增大而增大;
xh时,y随x的增大而增大;
xh时,
值c.
X=h
xh时,y有最小
xh时,y随x的增大而减小;
y随x的增大而增大;
xh时,y有最大
xh时,
值k.
4.yaxhk的性质:
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2
,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,
处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;
k值正上移,概括成八个字“左加右减,上加下减”•
方法二:
负下移”.
⑴yax2bx
c沿y轴平移:
向上(下)平移m个单位,y
ax2bxc变成
m(或yax2bxcm)
⑵yax2bx
c沿轴平移:
向左(右)平移m个单位,
ya(xm)b(xm)c(或ya(xm)b(xm)
c化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方般我们选取的五点为:
顶点、2h,c、与x轴的交点为,0,x2,0(若
x轴的交点,与y轴的交点.
五点绘图法:
利用配方法将二次函数yax2bx
向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与
六、二次函数yax2bxc的性质
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,
a的正负决定开口方向,a的大小决
y有最小值4a^-b-
4a
大;
大.
定开口的大小.
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下,
当b0时,
_b_
0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
0,即抛物线的对称轴就是y轴;
当b
0时,
0,
即抛物线对称轴在y轴的右侧.
在a
0的前提下,
结论刚好与上述相反,即
即抛物线的对称轴在
y轴右侧;
即抛物线的对称轴就是
y轴;
即抛物线对称轴在y轴的左侧.
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
ab的符号的判定:
对称轴x—在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概
括的说就是“左同右异”
总结:
3.常数项c
⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1.关于x轴对称
yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于x轴对称后,得到的解析式是yaxhk;
2.关于y轴对称
yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxhk关于y轴对称后,得到的解析式是yaxhk;
3.关于原点对称
yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxhk关于原点对称后,得到的解析式是yaxhk;
4.关于顶点对称(即:
抛物线绕顶点旋转180°
)
b2
yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc一;
22
yaxhk关于顶点对称后,得到的解析式是yaxhk.
5.关于点m,n对称
yaxhk关于点m,n对称后,得到的解析式是yaxh2m2nk
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数:
次方程ax2bxc0a0的两根.这两点间的距离
AB
X2为
当b24ac0时,图象与x轴交于两点,0,Bx?
,0(为x?
),其中的为,x?
是一元二
2当0时,图象与x轴只有一个交点;
3当0时,图象与x轴没有交点
1'
当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
2'
当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
2.抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,
或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x
的二次函数;
下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内
抛物线与x轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与x轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与x轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
在联系:
图像参考:
十一、函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
二次函数考查重点与常见题型
1•考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m2的图像经过原点,则m的值是_
2•综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内,那么函数ykx2bx1的图像
5
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x-,求这条抛物线的解析式。
3
4•考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线yax2bxc(0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵
坐标是—2
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5•考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1
(1)二次函数yax2bxc的图像如图1,则点M(b,C)在()
A•第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象如图2所示,?
则下列结论:
①a、b同号;
②当x=1和x=3时,函数值相等;
③4a+b=0;
④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(1)
(2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0)、(xi,0),且1<
xi<
2,与y
轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方.下列结论:
①a<
b<
0;
②2a+c>
0③4a+c<
④2a-b+1>
0,其中正确结论的个数为()
A1个B.2个C.3个D.4个
答案:
D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知:
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c
的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()
A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)
C
例4、(2006年烟台市)如图(单位:
m,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym.
(1)写出y与x的关系式;
(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,
三角形移动了多长时间?
求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y=—x2+x--.
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为AB,求线段AB的长.
【点评】本题
(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第
(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.
例6.已知:
二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(x1,0),B(x2,0)
两点(冷X2),交y轴负半轴于C点,且满足3A0=0B
(1)求二次函数的解析式;
⑵在二次函数的图象上是否存在点M使锐角/MC0ZAC0若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围;
若不存在,请你说明理由.
(1)解:
如图•••抛物线交x轴于点A(X1,0),B(x2,0),
则X1•X2=3<
0,又tX1<
x,
X2>
0,X1<
0,■/30A=0BX2=-3x1.
•X1•X2=-3x1=-3.•X1=1.
x1<
0,二X1=-1.•.X2=3.
•••点A(-1,0),P(4,10)代入解析式得解得a=2b=3
•.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.
⑵存在点M使/MC0<
AC0
⑵解:
点A关于y轴的对称点A'
(1,0),
•直线A,C解析式为y=6x-6直线A'
C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).
•符合题意的x的范围为-1<
x<
0或0<
当点M的横坐标满足-1<
5时,/MC07AC0
例7、“已知函数y—x2bxc的图象经过点A(c,-2),II
求证:
这个二次函数图象的对称轴是x=3。
题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(—)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?
若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;
若不能,请说明理由。
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
点评:
对于第(—)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。
对于第
(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是
所以所求二次函数解析式为y
—
(2)在解析式中令y=0,得-x
—2
x
23x
3x
2.图象如图所示。
0,解得x—3.5,X23.5.
可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标
第(—)小题中的解析式就可以了。
而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,等。
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+.5,0)”或“抛物线与x轴的一
个交点的坐标是(3.5,0).
令x=3代入解析式,得y5,
—25
所以抛物线y-x3x2的顶点坐标为(3,-),
所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,5)等等。
函数主要关注:
通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;
借助多种现实背景理解函数;
将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;
渗透函数的思想;
关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例—已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE如图),其中AF=2BF=—试
在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.
【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力•同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间.
例2某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)?
与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
10
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?
?
此时每日销售利润是多少元?
15kb25
【解析】
(1)设此一次函数表达式为y=kx+b•则b'
解得k=-1,b=40,?
2kb20
即一次函数表达式为y=-x+40.
(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元
w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225.
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有