函数的奇偶性与周期性Word文档格式.docx
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【例1－2】
（1）若函数f（x）＝
在区间[－3，5]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为（）
A.2B.1C.6D.3
（2）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－3）＝________.
【训练1】
（1）下列函数既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（）
A.y＝x3B.y＝x
C.y＝|x|D.y＝|tanx|
（2）（角度1）设函数f（x）＝
＋b（a>
0且a≠1），则函数f（x）的奇偶性（）
A.与a无关，且与b无关B.与a有关，且与b有关
C.与a有关，但与b无关D.与a无关，但与b有关
（3）若f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝________.
考点二函数的周期性及其应用
【例2】
（1）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x＋2π）＝f（x），当x∈（0，π）时，f（x）＝2sin
，则f
＝（）
A.
C.1D.
（2）已知函数f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，且当x∈（1，4]时，f（x）＝3x－1，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（100）＝________.
【训练2】
（1）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝x＋2，则f
（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<
2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
考点三函数性质的综合运用
角度1函数的单调性与奇偶性
【例3－1】
（1）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（）
A.a<
b<
cB.c<
aC.b<
a<
cD.b<
c<
a
（2）设函数f（x）＝ln（1＋|x|）－
，则使得f（x）>
f（2x－1）成立的x的取值范围为________________.
角度2函数的奇偶性与周期性
【例3－2】
（1）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则f（2023）＝（）
A.20192B.1C.0D.－1
（2）已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f
（1）<
1，f（5）＝
，则实数a的取值范围为（）
A.（－1，4）B.（－2，0）
C.（－1，0）D.（－1，2）
【训练3】
（1）（角度1）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（lnx）<
f
（2），则x的取值范围是（）
A.（0，e2）B.（e－2，＋∞）C.（e2，＋∞）D.（e－2，e2）
（2）（角度2）函数y＝f（x）和y＝f（x＋2）均是偶函数，且f
（1）＝
，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝（）
C.πD.
【典例】（一题多解）（2018·
全国Ⅱ卷）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f
（1）＝2，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（）
A.－50B.0C.2D.50
【训练】设f（x）是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f（x－1）≥f（3）的解集为（）
A.[－3，3]B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6]
类型1奇函数的最值性质
已知函数f（x）是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0.
【例1】设函数f（x）＝
的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
类型2抽象函数的周期性
（1）如果f（x＋a）＝－f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T＝2a.
（2）如果f（x＋a）＝
（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
（3）如果f（x＋a）＝－
（4）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
【例2】已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋3）＝－f（x），且当x∈（0，3）时，f（x）＝x＋1，则f（－2023）＋f（2024）＝（）
A.3B.2C.1D.0
类型3抽象函数的对称性
已知函数f（x）是定义在R上的函数.
（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝
对称，特别地，若f（a＋x）＝f（a－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a－x）＝0，即f（x）＝－f（2a－x），则f（x）的图象关于点（a，0）对称.
【例3】已知定义在R上的函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减，且f（x＋1）是偶函数，不等式f（m＋2）≥f（x－1）对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A.[－3，1]B.（－∞，－3）∪[1，＋∞）
C.[－4，2]D.（－∞，－4]∪[2，＋∞）
【例4】函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋2）＝f（－x）成立，且函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，f
（1）＝4，则f（2020）＋f（2021）＋f（2022）的值为________.
一、选择题
1.下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）
A.y＝－
B.y＝2x－2－xC.y＝sinxD.y＝x2
2.已知函数f（x）＝
为奇函数，则a＝（ ）
A.－1B.1C.0D.±
1
3.若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<
x<
1时，f（x）＝4x，则f
＋f
（2）＝（）
A.－2B.0C.1D.2
4.若定义域为R的函数f（x）在（4，＋∞）上为减函数，且函数y＝f（x＋4）为偶函数，则（）
A.f
（2）>
f（3）B.f
（2）>
f（5）C.f（3）>
f（5）D.f（3）>
f（6）
5.定义在R上的奇函数f（x）满足f
＝f（x），当x∈
时，f（x）＝log
（1－x），则f（x）在区间
内是（）
A.减函数且f（x）>
0B.减函数且f（x）<
C.增函数且f（x）>
0D.增函数且f（x）<
二、填空题
6.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f
（2）＝________.
7.奇函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f（6）＋f（－3）的值为________.
8.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是单调递增的.如果实数t满足f（lnt）＋f
≤2f
（1），那么t的取值范围是________.
三、解答题
9.已知函数f（x）＝
是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
10.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f
＝－f
成立.
（1）证明y＝f（x）是周期函数，并指出其周期；
（2）若f
（1）＝2，求f
（2）＋f（3）的值；
（3）若g（x）＝x2＋ax＋3，且y＝|f（x）|·
g（x）是偶函数，求实数a的值.
11.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝f（－x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－cosx，则下列结论正确的是（）
A.f
<
f
f（2018）B.f（2018）<
C.f（2018）<
D.f
f（2018）
12.已知函数f（x）＝x（|x|＋1），则不等式f（x2）＋f（x－2）>
0的解集为（ ）
A.（－2，1）B.（－1，2）C.（－∞，－1）∪（2，＋∞）D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
13.若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）>
0，f（x＋2）＝
对任意x∈R恒成立，则f（2023）＝________.
14.设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.
（1）求f（π）的值；
（2）当－4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积.
15.（开放题）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则有
①2是函数f（x）的周期；
②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
答案
解析
（1）由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在（0，＋∞）上不具有奇偶性，
（1）错.
（2）由奇函数定义可知，若f（x）为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f（0）＝0，
（2）错.
答案
（1）×
（2）×
（3）√ （4）√
解析 A项中y＝ex是非奇非偶函数，B，C中的函数均为偶函数，D项中函数y＝ex－e－x为奇函数.
答案D
解析 由题意得，f
＝f
＝－4×
＋2＝1.
答案 1
解析 由题意，得b＝0，且2a＝－（a－1），解得a＝
，则a＋b＝
.
答案 B
解析 由题意知，当x<
0时，f（x）＝－f（－x）＝－（e－x－1）＝－e－x＋1.
答案 D
解析 由f（x＋2）＝f（x）知f（x）的最小正周期T＝2，当x∈[1，3）时，f（x）＝log2x＋1，
∴f（2021）＝f
（1）＝log21＋1＝1.
答案1
考点一函数的奇偶性及其应用
解
（1）由
得x2＝3，解得x＝±
，
即函数f（x）的定义域为{－
}，
从而f（x）＝
＝0.
因此f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），
∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数.
（2）显然函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.
∵当x<
0时，－x>
0，
则f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；
当x>
0时，－x<
则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x）；
综上可知：
对于定义域内的任意x，总有f（－x）＝－f（x）成立，∴函数f（x）为奇函数.
（3）显然函数f（x）的定义域为R，
f（－x）＝log2（－x＋
）＝log2（
－x）
＝log2（
＋x）－1＝－log2（
＋x）＝－f（x），
故f（x）为奇函数.
规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.
解析
（1）因为f（x）＝
＝3－
所以f（x）－3＝－
，∴f（t＋1）－3＝－
，t∈[－4，4].
又f（t＋1）－3为奇函数，所以它在区间[－4，4]上的最大值、最小值之和为0，也是p－3＋q－3＝0，所以p＋q＝6.
（2）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，
即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f（x）＝2x－1（x≥0），
则f（－3）＝－f（3）＝－（23－1）＝－7.
答案
（1）C
（2）－7
规律方法利用函数奇偶性可以解决以下问题：
（1）求函数值：
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.
（2）求解析式：
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.
（3）求解析式中的参数：
利用待定系数法求解，根据f（x）±
f（－x）＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程（组），进而得出参数的值.
（4）画函数图象：
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.
（5）求特殊值：
利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
解析
（1）对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；
对于B，y＝x
是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，y＝|tanx|是偶函数，但在区间（0，＋∞）上不单调递增.故选C.
（2）f（－x）＝
＋b＝
＋b≠f（x），
所以f（x）一定不是偶函数；
设f（x）为奇函数，则由奇函数的定义知f（－x）＋f（x）＝0.
即
＋b＋
＋2b＝－2＋2b＝0，解得b＝1，
即当b＝1时，f（x）为奇函数，
当b≠1时，f（x）为非奇非偶函数，
所以f（x）的奇偶性与a无关，但与b有关.
（3）由于f（－x）＝f（x），
即ln（e－3x＋1）－ax＝ln（e3x＋1）＋ax，
化简得2ax＋3x＝0（x∈R），则2a＋3＝0，
解得a＝－
答案
（1）C
（2）D（3）－
解析
（1）因为f（x＋2π）＝f（x），所以f（x）的周期为2π.
所以f
又因为当x∈（0，π）时，f（x）＝2sin
＝2sin
＝1.
（2）由题意，得f
（1）＝f（4）＝11，f
（2）＝5，f（3）＝8.
故f
（1）＋f
（2）＋f（3）＝24，
所以f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（100）＝33×
[f
（1）＋f
（2）＋f（3）]＋f（33×
3＋1）＝803.
答案
（1）C
（2）803
规律方法1.注意周期性的常见表达式的应用.
2.根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式（或函数值）得到整个定义域内的解析式（或相应的函数值）.
解析
（1）依题意得f（－x）＝f（x）且f（x＋2）＝f（x），
∴f
又当x∈[0，1]时，f（x）＝x＋2，
＝
＋2＝
（2）因为当0≤x<
2时，f（x）＝x3－x.又f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且f（0）＝0，
则f（6）＝f（4）＝f
（2）＝f（0）＝0.
又f
（1）＝0，∴f（3）＝f（5）＝f
（1）＝0，
故函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
答案
（1）
（2）7
解析
（1）易知g（x）＝xf（x）在R上为偶函数，
∵奇函数f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0.
∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数.
又3>
log25.1>
2>
20.8，且a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），
∴g（3）>
g（log25.1）>
g（20.8），则c>
a>
b.
（2）由已知得函数f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（|x|），
由f（x）>
f（2x－1），可得f（|x|）>
f（|2x－1|）.
0时，f（x）＝ln（1＋x）－
因为y＝ln（1＋x）与y＝－
在（0，＋∞）上都单调递增，所以函数f（x）在（0，
＋∞）上单调递增.
由f（|x|）>
f（|2x－1|，可得|x|>
|2x－1|，
两边平方可得x2>
（2x－1）2，整理得3x2－4x＋1<
解得
1.
所以符合题意的x的取值范围为
答案
（1）C
（2）
规律方法1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）>
f（x2）的形式，再结合单调性，脱去法则“f”变成常规不等式，如x1<
x2（或x1>
x2）求解.
，则实数a的取值范围为（ ）
解析
（1）根据题意，函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），则有f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，则f（2023）＝f（－1＋2024）＝f（－1），又函数y＝f（x）为奇函数，且x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则f（－1）＝－f
（1）＝－1，故f（2023）＝－1.
（2）因为f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数.
∴f（5）＝f（－1）＝f
（1）<
从而
1，解得－1<
4.
答案
（1）D
（2）A
规律方法 1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
2.函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
f
（2），则x的取值范围是（ ）
A.（0，e2）B.（e－2，＋∞）
C.（e2，＋∞）D.（e－2，e2）
，设F（x）＝f（x）＋f（－x），
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